Comment tracer un pentagone régulier ?

Un pentagone régulier est un polygone à cinq côtés tous de même longueur. Il est possible de construire un tel pentagone à l’aide de la règle (non graduée) et du compas, ce qui sera décrit ci-dessous. Notons qu’il n’est pas possible de construire tous les pentagones réguliers à l’aide de la règle et du compas: en effet, de tels outils ne sont pas suffisant pour construire de manière exacte un heptagone (polygone régulier à sept côtés).

Cet article commence avec une proposition de méthode de construction d’un pentagone régulier P_0P_1P_2P_3P_4, puis une justification mathématique de cette construction.

Voici une animation de la construction. Les différentes étapes sont décrites en-dessous.

Etapes de la construction:

  1. Tracer un cercle c de centre O, ainsi que deux diamètres perpendiculaires que nous nommerons [AB] et [C P_0].Début de la construction du pentagone régulier
  2. Placer un point M au milieu de [CO], et, à l’aide du compas, tracer un arc de cercle centré en M, passant par B. Il coupe le segment [OP_0] en D. (Remarque: la construction de M peut se faire en traçant la médiatrice de [CO] au compas).
  3. Tracer la médiatrice de [OD] (on note I le milieu de ce segment). Elle coupe le cercle c en P_1.
  4. Tracer le segment [P_0P_1] et à l’aide du compas, reporter ce segment le long du cercle pour obtenir les points P_2, P_3,P_4, Puis relier les sommets du pentagone.

La construction est maintenant terminée !

Pourquoi cette construction marche ?

Après avoir fait un joli dessin, intéressons-nous un peu plus à la théorie mathématique qui prouve que ces étapes de construction nous donnent bel et bien un pentagone régulier. Le principe de cette construction est de placer 5 points régulièrement espacés sur un cercle, ce qui revient à couper le cercle en cinq parts égales. Puisqu’un tour complet vaut 2\pi, le principe est donc de découper le cercle en cinq angles faisant chacun \frac{2\pi}{5} radians. Dans toute la suite, et pour simplifier les explications, nous nous contenterons d’un cercle de rayon 1.

Mais alors, comment tracer un angle de \frac{2\pi}{5} radians ? Pour cela, on a besoin de construire un segment de longueur cos(\frac{2\pi}{5}).  Plus généralement, si on sait construire un segment [OI] de longueur cos(\alpha) alors on sait construire un angle de \alpha radians en traçant la perpendiculaire à [OI] passant par I, comme le montre la figure ci-dessous (le rayon de ce cercle étant 1):

Toute la question de la construction d’un pentagone régulier se résume donc à la construction d’un segment de longueur cos(\frac{2\pi}{5}). Il se trouve que ce nombre peut se calculer très simplement puisque cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}. Nous allons démontrer cette affirmation en utilisant des outils empruntés à l’algèbre:

  • Posons z=e^{\frac{i2\pi}{5}}. On remarque immédiatement que cos(\frac{2\pi}{5})=Re(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{z+\frac{1}{z}}{2}.
  • Le nombre complexe z est une racine du polynôme X^5-1 = (X-1) (X^4 + X^3 + X^2+X+1) et comme z est différent de 1, ce même nombre vérifie la relation:
    z^4 + z^3 + z^2+ z+1 = 0
  • Puisque z est non nul, on peut diviser la relation précédente par z^2 ce qui donne (en regroupant les termes):
    (z^2+\frac{1}{z^2}) + (z+\frac{1}{z}) + 1 = 0
    donc:
    (z+\frac{1}{z})^2 - 2 + (z+\frac{1}{z}) + 1 = 0 (car a^2+b^2=(a+b)^2-2ab) c’est-à-dire
    (z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=0.
  • Enfin, en divisant la dernière égalité par 4 et en utilisant le fait que cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{z+\frac{1}{z}}{2}, on obtient finalement:
    cos(\frac{2\pi}{5})^2+\frac{1}{2}cos(\frac{2\pi}{5})-\frac{1}{4}=0.
  • Cela signifie que le nombre cos(\frac{2\pi}{5}) est une racine du polynôme X^2+\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}. Or, d’après les formules bien connues, ce polynôme possède exactement deux racines à savoir:
    X_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} >0 et X_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4} <0.

Puisque cos(\frac{2\pi}{5}) >0 (le cosinus d’un angle aigu est toujours positif !), c’est qu’on a nécessairement  cos(\frac{2\pi}{5})= X_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}. CQFD.

Pour terminer de justifier notre construction, il faut montrer que le segment [OI] que nous avons construit dans l’étape n°4 vaut bien \frac{-1+\sqrt{5}}{4}. Cela prouvera qu’effectivement l’angle P_1OP_0 vaut \frac{2\pi}{5}. Rappelons que nous avions pris M comme le milieu d’un rayon, ce qui donne donc OM=\frac{1}{2}.

Comme OI= \frac{OD}{2} (voir figure de l’étape 4), il est donc équivalent de montrer que OD = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}. Or, OD = DM -OM = BM - OM.  D’après le théorème de Pythagore, BM=\sqrt{1^2 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}, ce qui implique donc que OD = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}.

Nous sommes rassurés, nous avions bien construit un angle de \frac{2\pi}{5} !

A voir: Pour ceux qui souhaitent aussi apprendre à tracer un décagone, vous pouvez vous rendre sur cet autre article de ce blog: Tracer un décagone "pour les nuls".

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28 réponses à Comment tracer un pentagone régulier ?

  1. blablastuce dit :

    merci pour la technique

  2. Bijour c misi ben ladoun dit :

    il es tro maran ton commentair signer misi ben ladon (pas lardon hihihi ^^prout^^et jtdr les ptit oiseaus long et moux^^

  3. sweet dit :

    moi je sais tu fait un point sur ta feuille preférence milieu,, si tu veut que les coté de ton pentagone fasse 5 cm par exemple,, tu fait 5 diviser par 1,25 = (4) donc du point tu trace un trai vers la droite horizontalement de 4 cm "ce trai que tu viens de faire on l’appel base"" reviens au point du debut et la tu fait un trai vers le bas de 3/4 (trois quart) la base c’est a dire 3 cm ensuite du point de dépard tu fait un grand trai vers le haut de 3 fois base c’est a dire de 12 cm ensuite tu relie les extremité et tu duplique la base a gauche pour obtenir la geometri de ton pentagone le point de depard prend le nom de Z en haut A a droite B en bas C et a gauche D,,, la longeur de Z’A et égale a douze cm tu fait 12 diviser par 10 fois 4 (4 dizieme) cela donne 4,8 tu part de Z puis tu suis la ligne vers le haut jusqu’a 4,8 cm et la tu trace une droite paralelle a la base c’est a dire horizontalement et la ton pentagone et fait et encore mieux de se point au sommet point A il reste 7,2 cm ben tu le divise en deux ca donne 3,6 cm et se 3,6 cm c’est le rayon de ton pentagone "" tu gomme les reste et redessine ton pentagone au propre et depuis le milieu de tes coté tu trace un trai bien droit de 3,6 cm et tu as ton point et tous ca sans compas

  4. comment on la trace la médiatrice?
    Dans quels paramètres?

    • BDM dit :

      1 Carré : VOILA TOUT LES POLYGONE REGULIER

      a) Si on connaît le côté AB , tracer en A et B les perpendiculaires à AB et porter AD = AB = BC

      b) Si on dessine d’abord une circonférence , tracer deux droites « diamètres » perpendiculaires .

      2 – Triangle équilatéral : INFO PLUS ! ! ! ! !

      Si on connaît le côté AB , tracer les cercles des centres A et B et de rayon AB .

      Si on trace d’abord une circonférence , porter 6 cordes consécutives égales au rayon du cercle et joindre les points comme l’indique la figure .

      3 ) Hexagone régulier INFO PLUS ! ! ! !

      a) Si on connaît le coté AB tracer les cercles de centres A et B et de rayon AB , puis le cercle de rayon OA et de centre O . Tracer à partir de A , 6 cordes consécutives égales à AB

      b) Si on dessine d’abord une circonférence, porter 6 cordes consécutives égales au rayon du cercle.

      Remarque importante : possibilités de tracés à partir d’un carré

      En traçant l’axe de symétrie d’un côté ( exemple AB) du carré , on partage l’arc AB en deux parties égales.
      En portant des cordes successives égales à MA ou MB , on forme un polygone régulier de 8 côtés ( octogone) . En faisant une construction analogue sur ce nouveau polygone , on tracerait un polygone régulier de 16 côtés .

      Autre méthode :
      Une autre construction possible : faire à partir de l’hexagone régulier permet de tracer un polygone régulier de 12 côtés ( dodécagone), puis de 24 côtés .

      Troisième possibilité.
      A partir d’un carré de centre O. Le carré A BCD , tracer les diagonales puis les cercles de centres A ; B ; C ; D et de rayons AO ; BO ; CO ; DO

      4°) Dodécagone régulier (12 côtés) INFO PLUS ! ! ! !

      Tracer deux diamètres perpendiculaires AB et CD .
      De A ; B ; C , C décrire des arcs de cercles de rayon AO ; BO ; CO ; DO .

      5°) Pentagone régulier: ( 5 côtés) INFO PLUS ! ! !

      Tracer deux droites perpendiculaires , de diamètre AB et CD .
      Déterminer M milieu de OD . Décrire le cercle de centre M et de rayon MA et déterminer E . Porter ensuite 5 cordes successives égales à AE à partir de A .

      6°) Décagone régulier ( 10 côtés) INFO PLUS ! ! !

      Sur la figure précédente , porter à partir de A , 10 cordes successives égales à OE ( voir OE ci dessus)

  5. Lol dit :

    Merci beaucoup !!!

  6. Kix dit :

    Superbe explication !! =)
    Dites moi, comment peut-on retrouver le nombre d’or (1.618033…….) a partir de ce pentacle svp ?
    Merci.

  7. Anonyme dit :

    ca ne marche pas! ;(

    • blogdemaths dit :

      La démonstration mathématique en fin d’article prouve qu’il est impossible que ça ne marche pas…

      Soufflez et reprenez les étapes calmement.

  8. Anonyme dit :

    Moi non plus ca marche pas

  9. Anonyme dit :

    Merci j’ai ressayé et sa marche (réponse a Blog de maths le 25 juin à 15h22)

  10. Anonyme dit :

    perso la première explication est de loin la pus simple . sur le terrain une ficelle et un mètre suffise

  11. anaismusso dit :

    Merci ! ! Y a-t-il un moyen de connaitre le rayon du cercle en partant des segment d’un pentagramme croisé, c-a-d trouver la mesure de OA à partir du segment P1P4 ?

  12. Anonyme dit :

    Merci! Ma prof de maths nous a demander de construire un pentagone régulier en devoir maison et d en faire une éolienne. C pour un petit concours. Encore merci!!!!

  13. Nulleenmaths dit :

    Explication complète mais un peu compliquée ;)
    Merci!!

  14. Catoche dit :

    Pour améliorer l’animation, essaye de mettre un bouton "pause ll " , pour que ça soit plus facile :p
    Merci encore pour ton explication :D

  15. Anonyme dit :

    merci beaucoup pour toutes ses explications

  16. bonjour
    pour vous amuser, ajoutez la 3D
    cordialement

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