La spirale d’Ulam

La spirale d’Ulam est une de ces curiosités qui font sentir la beauté des mathématiques. C’est le thème que j’ai traité dans la dernière vidéo postée sur ma chaîne Youtube et que je vous invite à regarder :

Dans cet article, nous allons préciser certaines choses sur les polynômes du second degré dont il est fait mention dans cette vidéo.

« Oh, la belle bleue ! »

Une spirale à prendre au second degré

Vous l’aurez donc compris, l’existence de nombres premiers sur des diagonales est intimement liée à l’existence de polynômes du second degré à coefficients entiers dont les images des entiers naturels sont souvent des nombres premiers.

Même si cela est illustré sur un exemple dans la vidéo, il serait tout de même bon de préciser pourquoi chaque diagonale peut être représentée à l’aide d’un de ces polynômes du 2^nd degré car cela peut sembler sortir de nulle part.

Remarquons que, lorsqu’on écrit les entiers naturels non nuls en spirale, nous pouvons constater que cette spirale est constituée de plusieurs carrés concentriques :

Cette spirale peut donc être découpée en plusieurs « anneaux ». Le premier anneau contient uniquement le nombre 1 et possède donc un seul élément.

Le second anneau, qui contient les nombres 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, possède 8 éléments. Une façon de calculer cela serait de dire qu’on fait la différence entre le nombre d’éléments dans le carré intérieur qui est de côté 1 (1² éléments) et le nombre d’éléments dans le carré extérieur qui est de côté 3 (3² éléments) c’est-à-dire 3²-1² = 8 éléments.

De cette façon, on voit donc que le nombre d’éléments du troisième anneau (celui qui contient les nombres de 10 à 25) s’obtient en faisant la différence du nombre d’éléments d’un carré de côté 5 (ce qui donne 5² éléments) et du nombre d’éléments d’un carré de côté 3 (ce qui donne 3²). Le troisième anneau possède donc 5² – 3² = 16 éléments.

De même, le 4^ème anneau possédera 7² – 5 ² = 24 éléments et, plus généralement, si n>1, le n-ème anneau contiendra (2n-1)² – (2(n-1)-1)² = 8(n-1) éléments.

Autrement dit, et c’est ce qu’il faut retenir ici, chaque anneau possède 8 éléments de plus que l’anneau précédent (hormis pour les 1^er et 2^ème anneau, mais il fallait bien qu’il y ait un cas casse-pieds…).

Le seigneur des anneaux

A présent, nous sommes en mesure de comprendre pourquoi les diagonales sont représentées par des polynômes du second degré. On considère des nombres de cette spirale situés sur une même ligne diagonale.

Si on part du nombre pour aller, en suivant la spirale, au nombre , on parcourra nombres.

De même, en partant de pour aller à , on parcourra nombres mais on peut aussi dire qu’on parcourra 8 nombres de plus que pour aller de à puisque nous avons vu que chaque anneau possède 8 nombres de plus que l’anneau précédent. On a donc la relation

Si on note le nombre alors . Autrement dit, est une suite arithmétique de raison 8, d’où

Autrement dit, est de la forme où est un nombre entier constant (en fait, ). Ainsi, . Par somme télescopique,

En utilisant des résultats classiques sur la somme des entiers, on a alors

On en déduit que

D’où:

avec et

Ainsi, avec un polynôme du second degré à coefficients entiers. Cela veut bien dire que les nombres sur une diagonale sont des images par les entiers naturels de polynômes du second degré à coefficients entiers.

Un dernier exemple pour la route

Si on reprend les calculs précédents, nous pouvons même trouver explicitement le polynôme associé à une diagonale donnée. Par exemple, si on prend la diagonale , , , ,… montrée dans la vidéo:

celle-ci peut être représentée par le polynôme avec

et

c’est-à-dire par le polynôme . Vous pouvez vérifier que , , et valent respectivement 4, 14, 32 et 58.

Enfin, si vous vous demandez pourquoi le polynôme montré dans la vidéo est (et non pas ), cela vient tout simplement d’un décalage d’indice. Ces polynômes sont liés par la relation . Autrement dit , , etc.

Bref, tout ça pour dire que les diagonales de la spirale d’Ulam sont bien représentées par des polynômes du second degré !