La spirale d’Ulam

La spirale d’Ulam est une de ces curiosités qui font sentir la beauté des mathématiques. C’est le thème que j’ai traité dans la dernière vidéo postée sur ma chaîne Youtube et que je vous invite à regarder :

Dans cet article, nous allons préciser certaines choses sur les polynômes du second degré dont il est fait mention dans cette vidéo.

« Oh, la belle bleue ! »

Une spirale à prendre au second degré

Vous l’aurez donc compris, l’existence de nombres premiers sur des diagonales est intimement liée à l’existence de polynômes du second degré P à coefficients entiers dont les images des entiers naturels P(n) sont souvent des nombres premiers.

Même si cela est illustré sur un exemple dans la vidéo, il serait tout de même bon de préciser pourquoi chaque diagonale peut être représentée à l’aide d’un de ces polynômes du 2nd degré car cela peut sembler sortir de nulle part.

Remarquons que, lorsqu’on écrit les entiers naturels non nuls en spirale, nous pouvons constater que cette spirale est constituée de plusieurs carrés concentriques :

Cette spirale peut donc être découpée en plusieurs « anneaux ». Le premier anneau contient uniquement le nombre 1 et possède donc un seul élément.

Le second anneau, qui contient les nombres 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, possède 8 éléments. Une façon de calculer cela serait de dire qu’on fait la différence entre le nombre d’éléments dans le carré intérieur qui est de côté 1 (1² éléments) et le nombre d’éléments dans le carré extérieur qui est de côté 3 (3² éléments) c’est-à-dire 3²-1² = 8 éléments.

De cette façon, on voit donc que le nombre d’éléments du troisième anneau (celui qui contient les nombres de 10 à 25) s’obtient en faisant la différence du nombre d’éléments d’un carré de côté 5 (ce qui donne 5² éléments) et du nombre d’éléments d’un carré de côté 3 (ce qui donne 3²). Le troisième anneau possède donc 5² – 3² = 16 éléments.

De même, le 4ème anneau possédera 7² – 5 ² = 24 éléments et, plus généralement, si n>1, le n-ème anneau contiendra (2n-1)² – (2(n-1)-1)² = 8(n-1) éléments.

Autrement dit, et c’est ce qu’il faut retenir ici, chaque anneau possède 8 éléments de plus que l’anneau précédent (hormis pour les 1er et 2ème anneau, mais il fallait bien qu’il y ait un cas casse-pieds…).

Le seigneur des anneaux

A présent, nous sommes en mesure de comprendre pourquoi les diagonales sont représentées par des polynômes du second degré. On considère des nombres a_1, a_2, a_3, \dots , a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots de cette spirale situés sur une même ligne diagonale.

Si on part du nombre a_n pour aller, en suivant la spirale, au nombre a_{n+1}, on parcourra a_{n+1} - a_n nombres.

De même, en partant de a_{n+1} pour aller à a_{n+2}, on parcourra a_{n+2} - a_{n+1} nombres mais on peut aussi dire qu’on parcourra 8 nombres de plus que pour aller de a_n à a_{n+1} puisque nous avons vu que chaque anneau possède 8 nombres de plus que l’anneau précédent. On a donc la relation

a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n + 8

Si on note u_n le nombre a_{n+1} - a_n alors u_{n+1} = u_n + 8. Autrement dit, (u_n) est une suite arithmétique de raison 8, d’où

u_n = u_1 + 8(n-1)

Autrement dit, u_n est de la forme u_n = 8n + mm est un nombre entier constant (en fait, m=a_2 - a_1 - 8). Ainsi, a_{n+1} - a_n = 8n + m. Par somme télescopique,

\displaystyle a_{n+1} - a_1 = \sum_{k=1}^{n} (8k + m)

En utilisant des résultats classiques sur la somme des entiers, on a alors

a_{n+1} - a_1 = 8 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + m \times n

On en déduit que

a_{n+1} = 4(n^2+ n) + mn + a_1

D’où:

a_{n+1} = 4n^2 + bn + c avec b = 4+m et $latec c=a_1$

Ainsi, a_{n+1} = P(n) avec P un polynôme du second degré à coefficients entiers. Cela veut bien dire que les nombres sur une diagonale sont des images par les entiers naturels de polynômes du second degré à coefficients entiers.

Un dernier exemple pour la route

Si on reprend les calculs précédents, nous pouvons même trouver explicitement le polynôme associé à une diagonale donnée. Par exemple, si on prend la diagonale a_1 = 4, a_2 = 14, a_3 = 32, a_4 =58,… montrée dans la vidéo:

celle-ci peut être représentée par le polynôme P(n) = 4n^2 + bn + c avec

b = 4 + m = 4 + a_2 - a_1 - 8 = 4 + 14  - 4 - 8 = 6

et

c = a_1 = 4

c’est-à-dire par le polynôme P(n) = 4n^2 + 6n + 4. Vous pouvez vérifier que P(0), P(1), P(2) et P(3) valent respectivement 4, 14, 32 et 58.

Enfin, si vous vous demandez pourquoi le polynôme montré dans la vidéo est Q(n) = 4n^2 - 2n + 2 (et non pas P(n) = 4n^2 + 6n + 4), cela vient tout simplement d’un décalage d’indice. Ces polynômes sont liés par la relation Q(n) = P(n-1). Autrement dit a_1 = P(0)= Q(1), a_2 = P(1) = Q(2), etc.

Bref, tout ça pour dire que les diagonales de la spirale d’Ulam sont bien représentées par des polynômes du second degré !

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Fabriquez vos propres critères de divisibilité

Tout le monde connaît les critères de divisibilité par 2, par 3, par 4, par 5 ou par 6. Je vous les rappelle : un nombre est divisible par

  • 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8
  • 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3
  • 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4
  • 5 s’il se termine par 0 ou 5
  • 6 s’il est divisible par 2 et par 3

Cependant, si on demande de dire si un nombre est divisible par 7, je ne suis pas sûr que tout le monde sache répondre. En Novembre 2019, un jeune Nigérian vivant au Royaume-Uni du nom de Chika Ofili a reçu un « TruLittleHero Awards » pour avoir découvert un critère de divisibilité par 7.  Voici l’énoncé du test de Chika (comme il l’a nommé) pour lequel il a été récompensé:

Un nombre est divisible par 7 si, et seulement si, la somme de son nombre de dizaines et de 5 fois son nombre des unités est divisible par 7.

Même si ce critère n’était en fait pas du tout nouveau et qu’il était déjà connu depuis longtemps, c’est une belle performance pour un jeune de cet âge de l’avoir trouvé.

Le test de Chika permet en particulier de savoir si les Sept nains sont bien au complet.

Un exemple

Voyons comment utiliser ce critère pour déterminer si 651 est divisible par 7. Le nombre de dizaines est 65 et le nombre des unités est 1. On calcule:

65+ 5 \times 1 = 70

Comme 70 est un multiple de 7, il en va de même pour 651 qui est donc divisible par 7. Bien entendu, on peut répéter cette opération si l’on tombe sur un nombre dont on ne voit pas tout de suite qu’il est divisible par 7. Par exemple, pour savoir si  4826 est divisible par 7, on calcule successivement:

482 + 5 \times 6 = 512

51 + 5 \times 2 = 61

6 + 5 \times 1 = 11

Comme 11 n’est pas divisible par 7,  4826 non plus n’est pas divisible par 7. Facile, non ?

Une démonstration

Ce critère ayant quand même été parachuté brutalement, il serait de bon ton de le démontrer afin de comprendre pourquoi il marche et, pour cela, nous allons utiliser le très élégant langage des congruences inventé par Gauss. On considère un nombre n dont le nombre de dizaines est a et le nombre d’unités est b. Autrement dit, n= 10a +b.

• Si n est divisible par 7, alors n \equiv 0 \mod[7] donc

10a+b \equiv 0 \mod[7]

En multipliant les deux membres par 5, on obtient:

50a + 5b \equiv 0 \mod[7]

Comme 50 \equiv 1 \mod[7] (car 50 = 7 \times 7 + 1) alors

a + 5b \equiv 0 \mod[7]

ce qui montre que la somme du nombre de dizaines et de 5 fois le nombre des unités est divisible par 7.

• Réciproquement, si a + 5b \equiv 0 alors en multipliant par 10 de chaque côté,

10a+50b \equiv 0 \mod[7]

d’où

10a+b \equiv 0 \mod[7]

ce qui veut bien dire que n=10a+b est divisible par 7.

Analyse de la démonstration

Le point clé de cette démonstration est d’avoir multiplié les deux membres par 5 pour le sens direct et par 10 pour la réciproque. Les nombres 5 et 10 ne sont pas là par hasard et un lien les unis modulo 7 : le nombre 5 \times 10 est un multiple de 7 augmenté de 1, c’est-à-dire que 5 \times 10 \equiv 1 \mod[7]. On dit aussi que 5 est inversible modulo 7 et que « son » inverse est 10 (et, inversement si je puis dire, le nombre 10 est inversible modulo 7 et « son » inverse est 5).

Il se trouve qu’il existe d’autres nombres qui sont inversibles modulo 7 (en fait, tous sauf les multiples de 7 mais c’est une autre histoire). Si nous prenons par exemple le nombre 4, dont l’inverse modulo 7 est 2 (car 4 \times 2 \equiv 1 \mod[7]) alors, en reprenant la démonstration précédente, mais en multipliant par 4, on a

10a +b \equiv 0 \mod[7] \Longrightarrow 40a + 4b \equiv 0 \mod[7] \Longrightarrow 5a + 4b \equiv 0 \mod[7]

car 40 \equiv 5 \mod[7]. Réciproquement, en multipliant par 2,

5a+4b \equiv 0 \mod[7] \Longrightarrow 10a + 8b \equiv 0 \mod[7] \Longrightarrow 10a + b \equiv 0 \mod[7]

car 8 \equiv 1 \mod[7]. Nous venons donc fièrement de fabriquer un nouveau critère de divisibilité qui est le suivant:

Un nombre est divisible par 7 si, et seulement si, la somme de 5 fois son nombre de dizaines et de 4 fois son nombre des unités est divisible par 7.

Par exemple, pour voir que 105 est bien divisible par 7, il suffit de voir que 5\times 10 + 4 \times 5 = 70 est lui-même divisible par 7. Nous méritons aussi notre récompense !

Des critères de divisibilité pour d’autres nombres

Les critères de divisibilité par 7, c’est bien (quoique vous n’auriez peut-être pas dit cela avant de lire cet article) mais les triskaïdékaphobes veulent eux savoir si les nombres qu’ils manipulent sont des multiples de 13. Et bien, je leur dis de prendre un nombre inversible modulo 13 et de faire leur propre critère. Par exemple, si on prend le nombre 2 (qui est bien inversible modulo 13 car 2 \times 20 = 3 \times 13 + 1) alors

2 \times (10a + b) = 20a + 2b \equiv 7a + 2b \mod[13]

On en déduit le critère de divisibilité par 13 suivant:

Un nombre est divisible par 13 si, et seulement si, la somme de 7 fois son nombre de dizaines et de 2 fois son nombre des unités est divisible par 13.

Des critères plus simples

Vous avez probablement dû vous insurger en lisant le critère précédent (sinon, vous devriez). Multiplier un nombre de dizaines par 7 n’est clairement pas chose aisée de tête. Tous ces critères que l’on peut créer ne se valent donc pas tous, et ceux pour lesquels on doit multiplier le nombre de dizaines par un nombre supérieur ou égal à 2 sont évidemment moins pratiques. L’idéal est donc d’avoir un critère où il n’y a pas besoin de multiplier le nombre de dizaines, comme dans le critère énoncé par le jeune Chika. Reprenons donc le nombre 13 et trouvons en un critère de divisibilité plus simple.

Si l’on en croit les démonstrations précédentes,  cela revient donc à trouver un nombre k tel que k \times 10 \equiv 1 \mod[13]. Autrement dit, il s’agit de trouver un inverse de 10 modulo 13.

Pour cela, on peut utiliser un algorithme bien connu qu’on nomme l’algorithme d’Euclide étendu (que je ne détaillerai pas ici… mais il existe des calculateurs en ligne). Sachant que 4 est un inverse de 10 modulo 13, en mutlipliant n=10a +b par 4, il vient

10a + b \equiv 0 \mod[13] \Longrightarrow 40a + 4b \equiv 0 \mod[13] \Longrightarrow a + 4b \equiv 0 \mod[13]

La réciproque étant aussi vraie, on en déduit alors le critère de divisibilité par 13 suivant:

Un nombre est divisible par 13 si, et seulement si, la somme de son nombre de dizaines et de 4 fois son nombre des unités est divisible par 13.

Généralisation

Vous l’aurez compris, pour obtenir un critère de divisibilité simple par un nombre m donné, il suffit de trouver un inverse de 10 modulo m. Par exemple, comme un inverse de 10 modulo m=19 est 2, alors un nombre sera divisible par 19 si, et seulement si, la somme de son nombre de dizaines et de 2 fois son nombre des unités est divisible par 19.

Une dernière question se pose alors: que se passe-t-il si 10 ne possède pas d’inverse modulo m ? Par exemple, si m=14 ou m=420, un tel inverse de 10 n’existe pas (on peut en fait montrer qu’un inverse existe si, et seulement si, 10 et m sont premiers entre eux c’est-à-dire si, et seulement si, m n’est divisible ni par 2, ni par 5). Dans ce cas, il faut se ramener à d’autres nombres, un peu comme pour savoir si un nombre est divisible par 6 il faut et il suffit qu’il soit divisible par 2 et 3.

Prenons le cas de m=420: comme les plus grandes puissances de 2 et de 5 divisant 420 sont 2^2 et 5 et que 420 = 2^2 \times 5 \times 21, il suffit alors de connaitre un critère de divisibilité par 4, par 5 et par 21. Vous connaissez déjà des critères de divisibilité par 4 et 5, et vous venez d’apprendre comment créer un critère de divisibilité par 21 donc vous pouvez facilement savoir si un nombre est divisible par 420. Mieux encore: comme 21 = 3 \times 7, il suffit en fait de connaître un critère de divisibilité par 3 et par 7.

Plus généralement, pour obtenir un critère de divisibilité par un nombre quelconque, il suffit de connaître des critères de divisibilité par 2^k et par 5^k mais aussi de fabriquer des critères de divisibilité par p^kp est un nombre premier différent de 2 et de 5. Et ça, vous savez le faire maintenant.

Notes:

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2019, année heureuse, année chanceuse

Les années se suivent et ne se ressemblent pas. Comme chaque année, il est temps de voir ce que 2019 va nous réserver comme lot de surprises mathématiques. Après tout, un peu de maths pour décuver, ça n’a jamais fais de mal à personne (sans doute car personne n’a jamais essayé de décuver en faisant des maths).

Quelques propriétés de 2019

Contrairement à 2018, 2019 ne peut pas s’écrire comme une somme de deux carrés (#déception) mais peut en revanche s’écrire comme une somme de trois carrés:

2019 = 43^2 + 13^2 + 1^2

ce qui n’est déjà pas mal, me direz-vous, car ce n’est pas donné à tous les nombres d’être décomposable en une somme de trois carrés comme le stipule un théorème de Legendre.

Autre propriété intéressante de 2019: c’est un nombre semi-premier c’est-à-dire le produit de deux nombres premiers (2019 = 3 \times 673). Pour être honnête, il n’y a jusque là rien de bien croustillant car 2018 était aussi un nombre semi-premier et que cela se reproduira en 2021. Là où c’est étonnant, c’est que si vous prenez les facteurs premiers de 2019, à savoir 3 et 673, et si vous les concaténez (dans un sens ou dans l’autre) alors vous obtenez encore des nombres premiers car 3673 et 6733 sont aussi des nombres premiers !

Cela est plutôt amusant mais, comme nous allons le voir, toutes ces propriétés font pâle figure à côté de ce que nous réservera réellement 2019. Je peux déjà vous dire que l’année qui vient s’annonce sous les meilleures auspices parce que 2019 est un nombre heureux, mais aussi car c’est un nombre chanceux ! De la joie et de la chance, n’est-ce pas tout ce qu’on attend finalement de la nouvelle année ? Eh bien 2019 va vous l’offrir… du moins, mathématiquement.

Vous ne savez pas ce qu’est un nombre heureux, ni ce qu’est un nombre chanceux ? Lisez donc la suite pour le savoir…

Heureux qui comme 2019…

Commençons par expliquer ce qu’est un nombre heureux. Prenez un nombre entier positif non nul, élevez chacun des chiffres qui le composent au carré et faites la somme des résultats.

Par exemple, si on prend le nombre 45 au départ, le nombre obtenu avec ce processus est

4^2 + 5^2 = 41.

Rien ne vous empêche de recommencer cette opération avec le dernier nombre obtenu à chaque fois, et vous obtenez alors une suite de nombres entiers. Par exemple, avec le nombre 45 au départ, vous obtenez la suite:

45 \longrightarrow 41 \longrightarrow 17 \longrightarrow 50\longrightarrow \cdots

Avant de dire ce qu’est un nombre heureux (je sais que vous trépignez d’impatience), remarquons qu’il y a deux nombres entiers qui ont statut très particulier quand il s’agit de faire la somme des carrés des chiffres: il s’agit de 1 et de 4. En effet,

  • pour n=1, la somme des carrés des ses (!) chiffres est 1^2=1. Cela veut dire que si on tombe sur le nombre 1 à une étape donnée, on retombera uniquement sur 1 à tous les tours suivants:
    \cdots \longrightarrow 1 \longrightarrow 1 \longrightarrow 1\longrightarrow \cdots
  • pour n=4, on obtient successivement les nombres 4^2 = 16, 1^2+6^2=37, 3^2+7^2 = 58, 5^2 + 8^2 =  89, 8^2 + 9^2 = 145, 1^2 + 4^2 + 5^2 =  42 (!), 4^2 + 2^2 = 20 et finalement 2^2 + 0^2 = 4. Autrement dit, si à un moment donné on tombe sur le nombre 4, on entre alors dans un cycle qui va se répéter indéfiniment, à savoir le cycle 4, 37, 58, 89, 145, 42, 20:
    \cdots \longrightarrow 4 \longrightarrow 37 \longrightarrow 58 \longrightarrow 89 \longrightarrow 145 \longrightarrow 42 \longrightarrow  20 \longrightarrow  4 \cdots

On peut démontrer (voir en fin d’article) que quelque soit l’entier naturel n>0 depuis lequel on part, on tombera toujours soit sur 1 (et dans ce cas, à partir d’un moment la suite ne contiendra que des 1), soit sur 4 (et dans ce cas, à partir d’un moment, le cycle 4, 37, 58, 89, 145, 42, 20 se répétera).

Autrement dit, le monde se divise en deux catégories. Ceux qui tombent un jour sur 1 et ceux qui tombent sur 4.

Les nombres qui atteindront à un moment le nombre 1 par ce processus s’appellent des nombres heureux. Les autres (ceux qui tomberont sur 4) s’appellent des nombres malheureux.

Revenons à 2019. La suite des nombres obtenus en partant de 2019 est la suivante:

2019 \longrightarrow 86 \longrightarrow 100 \longrightarrow  1

Vous comprenez maintenant pourquoi 2019 est un nombre heureux. Au fait, est-ce rare une année heureuse ? Si on compte depuis l’an I alors 2019 sera la 301ème année heureuse. Ce n’est pas très fréquent mais ça n’est pas si rare que cela non plus.

Une chance au grattage, une chance au tirage

Comme nous l’avons dit, 2019 est aussi ce qu’on appelle un nombre chanceux. Pour comprendre ce que c’est, nous allons écrire à la suite tous les nombres entiers et nous allons « tuer » (sans pitié !) certains nombres en suivant les règles suivantes:

  • On épargne 1. Il ne sera pas tué.
  • On tue tous les nombres en allant de 2 en 2.
  • On épargne le plus petit nombre n restant qu’on n’a pas déjà épargné.
  • On tue tous les nombres parmi ceux qui ne sont pas encore tués en allant de n en n.
  • Et on recommence ainsi de suite.

Pour bien comprendre ces règles (momentanément) obscures, appliquons-les pas à pas:

1. On commence par écrire la liste de tous les entiers.2. On épargne 1 et, pour représenter cela, on l’entoure.3. On barre (c’est moins violent que tuer !) tous les nombres en allant de 2 en 2.4. On entoure le plus petit nombre parmi ceux n’ont pas été barrés, c’est-à-dire 3.5. Parmi les nombres restants (ceux qui n’ont pas été barrés), on barre tous les nombres en allant de 3 en 3.6. On entoure le plus petit nombre restant qui n’ pas encore été entouré, à savoir 7.7. Parmi tous les nombres restants, on barre tous les nombres en allant de 7 en 7.

8. Etc.

Si vous voulez vous amuser à faire cela pour 100 nombres, je vous ai mis ci-dessous une grille à imprimer soi-même et à barrer. Croyez-moi, c’est mieux que les mots croisés ou que les sudokus (mais moins bien que des Chiffres et des Lettres quand même). Pour la correction, voir en fin d’article.

Lorsqu’on a terminé ce processus, tous les survivants (les nombres entourés) sont appelés des nombres chanceux. Là aussi, vous comprenez maintenant d’où vient le terme (et contrairement à Highlander, à la fin, il ne doit pas forcément n’en rester qu’un).

Pour voir que 2019 est un nombre chanceux, il « suffit » de faire le tableau des nombres allant de 1 à 2019 et de barrer méthodiquement (jusqu’à ce que mort d’ennui s’en suive) tous les nombres jusqu’à voir que 2019 est épargné. Si vous ne me croyez pas, regardez donc le tableau ci-dessous et vous pourrez constater que 2019 a échappé à son destin. Une année chanceuse, je vous dis !

Cliquez sur l’image pour l’agrandir (mais je trouve qu’on arrive quand même très bien à lire comme ça).

Nous sommes donc ravis d’apprendre que 2019 est un nombre chanceux. Cependant, ce n’est pas non plus une chose si rare que cela que d’être un nombre chanceux car, depuis l’an I, il y a eu 278 années chanceuses (2019 y compris). Et pourtant…

La chance sourit aux nombres heureux

Ce qui fait la particularité de 2019 dans tout cela, c’est qu’il y a eu très peu d’années qui cumulaient à la fois le fait d’être heureuses et chanceuses. Pour tout vous dire, 2019 ne sera que la 46ème année à avoir cette particularité. La dernière fois qu’une année était heureuse et chanceuse, c’était en 1995 et cela ne se reproduira plus avant 2115 (on a donc le temps de voir venir !).

Je vous souhaite une très bonne année et j’espère qu’elle sera aussi heureuse et chanceuse pour vous qu’elle l’est pour le nombre 2019 !

Notes :

Sources :

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Harmonique, nique, nique…

Ce matin, Dominique, routier de son métier, part d’une ville A et doit rejoindre une ville C. Pour cela, son itinéraire le fait passer par une ville B qui est à la même distance de la ville A que de la ville C.

L’histoire ne dit pas ce que transporte Dominique dans son camion… (Source: Wikipédia)

Lors de la première partie de son trajet allant de A à B, Dominique (nique, nique) roule doucement (sans doute était-il mal réveillé) et effectue le trajet de la ville A à la ville B à une vitesse de 60km/h. Arrivé à la ville B, Dominique (nique, nique) se rend compte qu’il est en retard et décide de rouler plus vite: bravant les limitations de vitesse et les forces de l’ordre, Dominique (nique, nique la police) effectue alors le trajet de la ville B à la ville C à une vitesse de 100 km/h.

Quelle était la vitesse moyenne de Dominique sur la totalité de son trajet, c’est-à-dire de la ville A à C ?

Si vous avez répondu que la vitesse moyenne de Dominique est de 80km/h, vous vous êtes malheureusement trompé car Dominique a roulé en moyenne à 75km/h. Pour l’anecdote, Dominique fut fier de dire au juge qu’il avait roulé seulement à 75km/h en moyenne, soit en dessous de la limite des 80km/h autorisés sur les routes nationales.

On the road again

Si vous ne saisissez toujours pas pourquoi il a roulé à 75km/h de moyenne pour aller de la ville A à la ville C (et il n’y a pas de honte à avoir car cela n’a rien d’intuitif), faisons les calculs pour comprendre. Attention, les calculs suivants demandent un tout petit peu de technique (nique, nique) mais pas de panique (niq… OK, on a compris).

Notons d la distance séparant la ville A de la ville B, qui est aussi la distance séparant la ville B de la ville C. On note respectivement t_1 et t_2 les temps mis par Dominique pour aller de la ville A à la ville B et de la ville B à la ville C.

Je suppose que vous vous souvenez parfaitement de la formule donnant la vitesse v moyenne en fonction de la distance d parcourue et du temps t pour la parcourir:

v = \dfrac{d}{t}

Puisqu’il a roulé à 60 km/h de moyenne entre la ville A et la ville B, on a donc 60 = \dfrac{d}{t_1}. De même, pour le trajet entre la ville B et la ville C, on a l’égalité 100 = \dfrac{d}{t_2}. En inversant, on a donc les relations t_1 = \dfrac{d}{60} et t_2 = \dfrac{d}{100}.

Maintenant, intéressons-nous à la totalité du trajet. La distance totale parcourue est d+d = 2d. Le temps total mis est t_1 + t_2. La vitesse moyenne v pour aller de la ville A à la ville C est

v = \dfrac{\text{distance totale}}{\text{temps total}} = \dfrac{2d}{t_1+t_2} = \dfrac{2d}{\dfrac{d}{60} + \dfrac{d}{100}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{100}}

Je suppose aussi que vous savez qu’un dénominateur commun à 60 et 100 est 300 (je suppose quand même pas mal de choses sur mes lecteurs !), ce qui donne

v = \dfrac{2}{\dfrac{5}{300} + \dfrac{3}{300}} = \dfrac{2}{\dfrac{8}{300}} = 300 \times \dfrac{2}{8} =  75

J’espère que cela vous convainc définitivement que la vitesse moyenne de notre zélé routier n’était pas de 80km/h mais de 75km/h.Moyenne harmonique

Dans le cas général où les vitesses v_1 et v_2 des deux trajets sont quelconques, on peut démontrer de la même manière que la vitesse moyenne v est donnée par la formule :

\boxed{ v = \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}} }

Ce nombre s’appelle la moyenne harmonique des nombres v_1 et v_2. En général, ce nombre est différent de la moyenne simple \dfrac{v_1 + v_2}{2} qu’on appelle aussi moyenne arithmétique.

Par exemple, si au début vous avez répondu que la vitesse moyenne de Dominique est de 80km/h, c’est probablement parce que vous avez fait une moyenne arithmétique: \dfrac{60 + 100}{2} = 80.  Le cas de Dominique illustrait donc que, parfois, la moyenne arithmétique ne permet pas de calculer la valeur d’une moyenne et que, dans le cas d’une vitesse moyenne de deux vitesses sur des trajets de même longueur, il faut utiliser une moyenne harmonique.

Lien entre moyenne harmonique et moyenne arithmétique

Bien qu’elles ne soient en général par égales, les moyennes harmoniques et arithmétiques sont tout de même liées par une jolie relation que nous allons voir.

Avant cela, notons qu’on peut calculer la moyenne harmonique d’autant de nombres que l’on veut. Par définition, la moyenne harmonique H(x_1, x_2, \cdots, x_n) de n nombres x_1, x_2, \cdots, x_n est

H(x_1, x_2, \cdots, x_n) =\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}

Par analogie, nous noterons

A(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

la moyenne arithmétique de ces nombres. On voit alors immédiatement que

H(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \dfrac{1}{A\left( \frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \cdots, \frac{1}{x_n}\right) }

Autrement dit, la moyenne harmonique de n nombres est égale à l’inverse de la moyenne arithmétique de leurs inverses. C’est pas beau ça ?

On comprend donc un peu mieux dans quels cas utiliser la moyenne harmonique: dans des phénomènes où les grandeurs sont des quotients et qu’on souhaite déterminer un rapport moyen.

Problèmes avec des moyennes harmoniques

Maintenant qu’on sait mieux ce que représente une moyenne harmonique, j’aimerais vous présenter deux petits problèmes amusants qui la font intervenir. N’hésitez pas à essayer de les résoudre par vous-même ou bien à les proposer à votre entourage pour voir les réponses qu’on vous donne.

Le problème des peintres

Supposons qu’on ait un mur à peindre. Quatre peintres s’affairent à la tâche (d’ailleurs, un des quatre peintres est Dominique, effectuant une peine de travaux d’intérêt général, mais peu importe). Le 1er peintre pourrait peindre le mur entier tout seul en 6 heures. Le second peintre pourrait peindre tout le mur en 3 heures. Le troisième pourrait peindre tout le mur en 2 heures et le quatrième pourrait le faire en 1 heure (toujours aussi rapide ce Dominique). Si les 4 peintres peignaient ce mur en même temps, combien de temps mettraient-ils ?

Carré blanc sur fond blanc par Kasimir Malevitch (Source: Wikipédia)
Combien de temps a-t-il fallu à Kasimir Malevitch pour peindre un mur blanc en blanc ?

Tout le monde a envie de répondre \dfrac{6+3+2+1}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 heures. Tout le monde.  Sauf vous.

D’une part, parce que vous comprenez tout de suite que s’il y a un peintre capable de peindre le mur en 1 heure, le résultat ne peut pas être supérieur à 1. D’autre part, car vous êtes érudit à présent : vous savez ce qu’est une moyenne harmonique (et je suis fier de vous !).

Si on note S la surface à peindre et v_1 = \dfrac{S}{6}, v_2 = \dfrac{S}{3}, v_3 = \dfrac{S}{2} et v_4 = \dfrac{S}{1} les vitesses de peinture des 4 peintres, alors la vitesse moyenne est:

v = \dfrac{4}{ \dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2} + \dfrac{1}{v_3} + \dfrac{1}{v_4}} = \dfrac{4}{\dfrac{S}{6} + \dfrac{S}{3} + \dfrac{S}{2} + \dfrac{S}{1}} = \dfrac{4}{S \times \dfrac{12}{6}} = \dfrac{2}{S}

Attention à l’interprétation: cela signifie que si ces 4 peintres peignaient chacun successivement 4 murs identiques, alors il faudrait en moyenne à un peintre seul une vitesse de v = \dfrac{2}{S} pour peindre ces 4 murs, ce qui donne un temps t = S \times v = 2 heures pour peindre ces 4 murs. Par conséquent, il faudrait \dfrac{2}{4} = 0,5 heure à ce peintre moyen pour peindre un seul mur.

Autrement dit, si les 4 peintres peignaient un seul mur tous en même temps, cela leur prendrait une demi-heure. On aurait pu trouver ce résultat directement en calculant la moyenne harmonique des temps, qu’on aurait divisée par 4:

\dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1}} =  \dfrac{1}{\dfrac{2}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{6}{12} + \dfrac{12}{12}} = \dfrac{1}{\dfrac{24}{12}} = 0,5

Ce qui est bien, c’est que ce genre de problème se multiplie à l’infini: par exemple, si une poule pond 1 œuf tous les 2 jours et une autre poule pond 1 œuf tous les 3 jours, en moyenne, combien d’œufs pondent-elle à elles deux par jour ?

Le problème des échelles qui se croisent

Voici un deuxième exemple amusant où intervient une moyenne harmonique. Deux échelles sont posées dans un couloir (devinez qui les a posées là ? Oui, c’est bien lui…). La première échelle touche le mur de gauche à une hauteur de 1,5 mètre. L’autre échelle touche le mur de droite à une hauteur de 2,5 mètre. A quelle hauteur les deux échelles se croisent-elles ?Il s’agit ici d’un problème géométrique, où donc se cache la moyenne harmonique me direz-vous ? Pour le découvrir, nous allons nous aider du théorème de Thalès et des notations suivantes: Dans le triangle ABD, on a \dfrac{NM}{AB} = \dfrac{DN}{DA} c’est-à-dire \dfrac{h}{1,5} = \dfrac{\ell_2}{\ell}. Ainsi, \ell_2 = \ell \times \dfrac{h}{1,5}.

De même dans le triangle ACD, on a \dfrac{NM}{CD} = \dfrac{AN}{AD} donc \dfrac{h}{2,5} = \dfrac{\ell_1}{\ell} d’où \ell_1 = \ell \times \dfrac{h}{2,5}.

Comme \ell_1 + \ell_2 = \ell, on a donc \ell \times \dfrac{h}{2,5} + \ell \times \dfrac{h}{1,5} = \ell. Par conséquent, \dfrac{h}{2,5} +  \dfrac{h}{1,5} = 1 donc

\boxed{ h = \dfrac{1}{\dfrac{1}{1,5} + \dfrac{1}{2,5}}}

Autrement dit, la hauteur à laquelle se croisent les échelles est la moitié de la moyenne harmonique des hauteurs atteintes par les échelles sur les murs du couloir. Un simple calcul donne alors h = 0,9375 mètre.

D’autres moyennes ?

Outre les moyennes harmonique et arithmétique, il existe une troisième  moyenne dont je n’ai pas parlé dans cet article, qu’on appelle moyenne géométrique. Vous ne la connaissez pas ? Ne m’obligez pas à écrire un article qui s’appellerait « Géométrique, trique, trique »…

Sources

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Galilée et les nombres impairs

Formez la somme des quatre premiers nombres impairs: 1+3+5+7=16. Faites de même avec la somme des quatre nombres impairs suivants: 9+11+13+15=48. Calculez alors la fraction obtenue en divisant la première somme par la seconde:

\dfrac{1+3+5+7}{9+11+13+15}= \dfrac{16}{48}

Le résultat est donc égal à 1/3. Magique, non ? Hum, non pas vraiment. Pas encore.

Recommencez ce que vous venez de faire avec, non pas la suite des quatre premiers entiers impairs et des quatre suivants, mais avec la suite des cinq premiers entiers impairs et des cinq suivants. Cela donne:

\dfrac{1+3+5+7+9}{11+13+15+17+19}= \dfrac{25}{75} = \dfrac{1}{3}

et on constate qu’on retrouve \dfrac{1}{3}. Vous pouvez même essayer avec autant de termes que vous souhaitez, cela marchera encore:

\dfrac{1}{3} = \dfrac{1+3}{5+7} = \dfrac{1+3+5}{7+9+11} = \dfrac{1+3+5+7}{9+11+13+15} =\cdots

Autrement dit, il semblerait que la somme des n premiers entiers impairs soit toujours trois fois inférieure à la somme des n premiers entiers impairs suivants.

« L’important, c’est pas la chute… »

Ce résultat amusant, que vous venez peut-être de découvrir, est connu depuis au moins 400 ans (!) car il a été découvert par Galilée en 1615, alors qu’il travaillait sur la chute des corps.

Exprimée mathématiquement, voici ce que dit le la propriété trouvée par Galilée:

Pour tout entier naturel n \geqslant 1,

\dfrac{1+3+\cdots + (2n-1) }{(2n+1) + (2n+3) + \cdots + ( 2(2n-1)+1)} = \dfrac{1}{3}

Il existe une jolie preuve visuelle de ce résultat, que je ne vais pas commenter (puisqu’elle est visuelle !) et que voici:

Source: Nelsen, Roger B., Proof without Words: On a Property of the Sequence of Odd Integers (Galileo, 1615).

Une autre démonstration, plus calculatoire, est basée sur un résultat bien connu, à savoir que la somme des n premiers entiers impairs est égale à n^2 (voir un très vieil article de ce blog à ce sujet… ah, nostalgie) c’est-à-dire:

1+3+\cdots+(2n-1)=n^2

D’autre part, pour trouver la somme des n nombres impairs suivants, il suffit de faire la somme des 2n premiers nombres impairs moins la somme des n premiers nombres impairs:

(2n+1) + \cdots + (2(2n-1)+1) = \left[ 1+3+\cdots + (2(2n-1)+1) \right] - \left[ 1+3+ \cdots + (2n-1)\right]

c’est-à-dire

\begin{array}{rcl} (2n+1) + (2n+3) + \cdots + (2(2n-1)+1) &=& (2n)^2 - n^2 \\ &=& 4n^2 - n^2 \\ &=& 3n^2 \end{array}

On en déduit alors que:

\dfrac{1+3+\cdots + (2n-1) }{(2n+1) + (2n+3) + \cdots +  ( 2(2n-1)+1)} = \dfrac{n^2}{3n^2} = \dfrac{1}{3}

Faites comme Galilée

Après avoir lu le résultat de Galilée, vous vous êtes peut-être demandé si cela marchait aussi avec les entiers pairs. Malheureusement, cela ne fonctionne pas du tout, car, par exemple,

\dfrac{0}{2} = 0       \dfrac{0+2}{4+6} = \dfrac{1}{5}       \dfrac{0+2+4}{6+8+10} = \dfrac{1}{4}

Nous allons donc nous poser une question un peu plus générale: quelles sont les suites arithmétiques dont la somme des n premiers termes divisée par la somme des n termes suivants est constante ? Pour cela, considérons une suite arithmétique (u_n) de raison r telle que la somme des n premiers termes divisée par la somme des n termes suivants soit toujours constante c’est-à-dire telle que pour tout entier n,

\dfrac{u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}}{u_n + u_{n+1} \cdots + u_{2n-1}} = k

Avant de continuer, rappelons un petit résultat utile sur la somme des termes d’une suite arithmétique:

Si (u_n) est une suite arithmétique, la somme de n termes consécutifs de cette suite est égale à n fois la moyenne du premier et du dernier terme.

Autrement dit, u_p + u_{p+1} + \cdots + u_{p+n-1} = n \times \dfrac{u_p + u_{p+n-1}}{2}.

Grâce à ce résultat, on peut donc écrire que

\begin{array}{rcl} \dfrac{u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}}{u_n + u_{n+1} + \cdots + u_{2n-1}} &=& \dfrac{n \times \dfrac{u_0+u_{n-1}}{2}}{ n \times \dfrac{u_n + u_{2n-1}}{2}} \\[20pt] &=& \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{u_{n}+u_{2n-1}} \end{array}

Comme la suite (u_n) est arithmétique de raison r, on sait alors que u_n = u_0 + n \times r. Ainsi,

\begin{array}{rcl} \dfrac{u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}}{u_n + u_{n+1} + \cdots + u_{2n-1}} &=& \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{u_{n}+u_{2n-1}} \\[20pt] &=& \dfrac{u_0 + u_{0}+ (n-1) \times r }{u_{0} + n \times r + u_{0} + (2n-1) \times r}\\[20pt] &=& \dfrac{2u_0 + (n-1) r}{ 2u_0 + (3n-1) r} \end{array}

A partir de là, on voit que le quotient de la somme des n premiers termes par  la somme des n termes suivants sera constant s’il existe un nombre k tel que pour tout n,

\dfrac{2u_0 + (n-1) r}{ 2u_0 + (3n-1) r} = k

Cette relation est équivalente à

2u_0 + (n-1)r = k(2u_0 + (3n-1)r) \iff 2u_0 (1-k) =r ( (3k-1)n + 1 - k)

Autrement dit, si le quotient est toujours constant, alors la raison de la suite (u_n) doit être égal à r = \dfrac{2u_0 (1-k)}{(3k-1)n - k + 1}.

Comme la raison de cette suite est une constante, elle ne dépend donc pas de n, ce qui impose la condition 3k-1 = 0 c’est-à-dire k = \dfrac{1}{3}.

A ce stade, on peut donc affirmer que si la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique divisée par la somme des n termes suivants est constante, alors cette constante est nécessairement \dfrac{1}{3}, comme dans la relation de Galilée !

D’autre part, comme k = 1/3, la raison de cette suite doit alors être

r = \dfrac{2u_0 (1- 1/3) }{ (3 \times (1/3) - 1) n + 1 - 1/3 } = \dfrac{2 u_0 \times 2/3}{0 \times n + 2/3} = 2u_0

Autrement dit, la raison d’une telle suite doit être égale au double du premier terme. Cela était bien le cas avec la suite des nombres impairs car le premier terme est u_0=1 et la raison de la suite des nombres impairs est r=2 = 2 \times 1.

Réciproquement, si une suite (u_n) est arithmétique de raison r= 2 \times u_0 alors, en reprenant une égalité vue plus haut, on a

\dfrac{u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}}{u_n + u_{n+1} + \cdots + u_{2n-1}} = \dfrac{2u_0 + (n-1) r}{ 2u_0 + (3n-1) r} = \dfrac{2u_0 + (n-1) \times 2u_0}{2u_0 + (3n-1)\times 2u_0 }

En simplifiant par 2u_0 au numérateur et au dénominateur, on obtient alors

\dfrac{u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}}{u_n + u_{n+1} + \cdots + u_{2n-1}} = \dfrac{1 + (n-1) }{ 1 + (3n-1)} = \dfrac{n}{3n} = \dfrac{1}{3}

Voici résumé ce que nous avons prouvé:

Soit (u_n) est une suite arithmétique de raison r.

Le quotient de la somme des n premiers termes par la somme des n termes suivants est constant si, et seulement si, r= 2 u_0. Cette constante est alors \dfrac{1}{3}.

Avec cela, vous êtes maintenant capables de construire autant de suites « à la Galilée » que vous le souhaitez (si, si !). Par exemple, prenons la suite arithmétique de premier terme u_0 = 4 et de raison r= 2 \times u_0 = 8 (c’est-à-dire la suite dont les premiers termes sont 4, 12, 20, 28, 36, 44, \cdots). Vous pouvez vérifier qu’on a bien

\dfrac{4}{12} = \dfrac{4+ 12}{20 + 28} = \dfrac{4+12+20}{28+36+44} = \cdots = \dfrac{1}{3}

Magie !

Ce qui est bien avec tout ce qu’on vient de voir, c’est qu’on peut faire un petit tour de magie très facile car il ne vous demandera que de mémoriser un nombre: 3 (ça ne devrait pas être trop dur… sinon, c’est que la magie n’est vraiment pas faite pour vous). Voici le tour:

  • Demandez à une personne de choisir un nombre entier u_0 au hasard mais sans vous le dire.
  • Demandez-lui d’écrire sur une feuille la suite des nombres obtenus en partant du nombre u_0 choisi au départ et en ajoutant 2 \times u_0 à chaque étape. Dites à cette personne qu’elle peut écrire autant de termes qu’elle souhaite de cette suite, du moment qu’il y en a un nombre pair 2n.
  • Demandez-lui ensuite de couper la liste en deux parts égales, de calculer la somme des n plus grands nombres et de la diviser par la somme des n plus petits nombres de la liste, sans jamais vous donner le résultat (éventuellement à l’aide d’une calculatrice).
  • Comme dans tout tour de magie qui se respecte, faites semblant de réfléchir et de calculer dans votre tête, tout en rigolant intérieurement.
  • Annoncez-lui que le nombre obtenu est 3.
  • Ne répondez surtout pas à la question « Mais comment t’as fait, quoi ?« .

Par exemple, la personne choisit secrètement le nombre 3. Elle écrit sur sa feuille les 10 (nombre pair) premiers termes de la suite de nombres obtenue en partant de 3 et en ajoutant 3 \times 2 = 6 à chaque fois:

3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57

La personne coupe alors sa liste en deux au milieu et fait la somme de chaque morceau:

3 + 9 +  15 +  21 + 27=75 et 33 + 39 + 45 + 51 + 57 = 225

Elle divise enfin la somme des cinq derniers termes par la somme des cinq premiers:

\dfrac{225}{75} = 3

et vous lui annoncez alors qu’elle a trouvé 3 !

Heureusement quand même qu’il y a des gens très sérieux qui ont utilisé les résultats de Galilée pour approfondir notre connaissance des lois de la Physique parce que si Galilée avait su que, 400 ans après, on utiliserait un de ses résultats mathématiques pour en faire un tour de magie foireux, pas sûr qu’il ait eu envie de continuer sa belle carrière de scientifique !

Notes et références:

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