Un critère visuel de divisibilité par 7

Nous avons (presque) tous appris à l’école Primaire ou au Collège à savoir si un nombre entier donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 6 ou 10. Parfois même, pour les plus chanceux d’entre nous, on nous a appris à reconnaître les nombres qui sont divisibles par 8. Mais s’il y a bien un critère qu’on se garde bien de nous expliquer, c’est celui de la divisibilité par 7.

Est-il vraiment si difficile à faire apprendre ou comprendre aux élèves ? Nous allons tenter de décrire un critère plutôt simple dans cet article. D’ici la fin, vous devriez être capables de dire si 198749502 est divisible par 7 sans avoir fait aucun calcul.

Le critère de divisibilité par 7 que je vais décrire a été posté sans véritable explication par un certain David Wilson sur ce blog. J’avoue ne pas savoir s’il en est l’auteur initial ou si cela est connu depuis bien plus longtemps. Peu importe, vous allez voir, c’est à la fois simple et beau !

Un joli graphe orienté

Voici le très esthétique et mystérieux graphe que nous allons utiliser pour savoir si un nombre est divisible par 7. (Il s’agit d’une reproduction du graphe donné dans le lien sus-mentionné réalisée à l’aide de Tikz).

graphe_divisibilite_par_7Comme vous le voyez, il y a deux types de flèches sur ce graphe: les flèches noires et les flèches bleues. Chaque type de flèche va être utilisé à tour de rôle.

Avant de donner le mécanisme de fonctionnement général, nous allons donner un exemple afin d’illustrer la démarche.

exemple-349-par-7Principe général

Pour savoir si un nombre N est divisible par 7, on effectue les étapes suivantes:

  • Partir du noeud 0
  • Parcourir autant de flèches noires que le chiffre de gauche de N
  • Parcourir une flèche bleue
  • Parcourir autant de flèches noires que le chiffre suivant
  • Parcourir une flèche bleue
  • etc.
  • Parcourir autant de flèches noires que le dernier chiffre de N
  • Si le nœud d’arrivée est 0 alors N est divisible par 7, sinon il ne l’est pas.

En gros, on parcourt autant de flèches noires que chaque chiffre, et on parcourt une flèche bleue chaque fois qu’on change de chiffre. Facile, non ?

Remarque: si à un moment on tombe sur le noeud 0, vu qu’il n’y a pas de flèche bleue partant de ce noeud, on passe directement au chiffre suivant.

Mais pourquoi ça marche ?

J’avoue que la première fois que j’ai vu ce critère, j’étais assez étonné par le caractère quasiment magique de cette recette. Il m’a fallu un bon petit moment avant de comprendre les raisons qui font que cela marche (je suis long à la détente parfois).

Tout se passe modulo 7, comme on pouvait s’y attendre.

Les flèches noires – Leur fonction est très simple. Chaque flèche noire représente l’addition de 1 modulo 7. Par exemple, quand on part du noeud 3 et qu’on parcourt 6 flèches noires, cela correspond à effectuer l’opération 3+6 \mod 7. Comme le résultat de cette opération est 2 \mod 7, on arrive bien au noeud 2.

Les flèches bleues – Pour comprendre leur utilité, partons du noeud 1 et parcourons toutes les flèches bleues. Le cycle obtenu est le suivant: 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1.  Si on observe bien, cela correspond aux différents restes des puissances de 10 modulo 7:

\begin{array}{c|c}  10^k & \text{Reste modulo 7} \\  \hline  10^0 & 1 \\  10^1 & 3 \\  10^2 & 2 \\  10^3 & 6 \\  10^4 & 4 \\  10^5 & 5 \\  10^6 & 1\\  \end{array}

Ainsi, parcourir une flèche bleue revient à multiplier le numéro du noeud sur lequel on se situe par 10 modulo 7.

Résumons:

  • une flèche noire = +1 \mod 7.
  • une flèche bleue = \times 10 \mod 7.

Cela est bien beau mais ne nous explique pas pourquoi on commence par le chiffre le plus à gauche de N, ni pourquoi on parcourt une flèche bleue à chaque changement de chiffre.

Pour tenter d’expliquer cela, reprenons notre exemple N=349. L’astuce consiste à écrire

\begin{array}{ccc}  N &=& 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 9 \\  &=& (((3\times 10 +4) \times 10)+9  \end{array}

et à utiliser les propriétés de compatibilité de l’addition et de la multiplication modulo 7. Ainsi, on commence par calculer 3 modulo 7 (parcours de trois flèches noires) puis à multiplier par 10 modulo 7 (parcours d’une flèche bleue), puis à ajouter 4 modulo 7 (parcours de 4 flèches noires, puis à multiplie par 10 modulo 7 (parcours d’une flèche bleue), et enfin à ajouter 9 modulo 7 (parcours de neuf flèches noires).

Ce graphe nous donne donc plus que la divisibilité par 7 car le résultat final est le reste modulo 7 de N. Si on arrive sur le noeud 0, c’est que N \equiv 0 \mod 7 et donc que N est divisible par 7. Par exemple, le noeud d’arrivée de N=349 est 6, donc 349 \equiv 6 \mod 7 et n’est donc pas divisible par 7.

Pour le plaisir des yeux, voici dans le fichier pdf suivant une animation qui permet de visualiser que 532 est divisible par 7:

Animation de la divisibilité par 7

Alors, 198749502 est-il divisible par 7 ?

Une généralisation

A moindres frais, nous pouvons sur le même principe avoir des critères de divisibilité par 11, 13, 17 etc. car, comme on l’a vu, il suffit de connaître les différents résultats de la multiplication par 10 modulo 11, 13 ou 17.   Voici les graphes obtenus en faisant joujoux avec Tikz:

graphe_divisibilite_par_11graphe_divisibilite_par_13graphe_divisibilite_par_17

Je n’ai pas été au-delà car le nombre de flèches commençait à rendre les graphes assez moches, mais vous avez compris le principe !

Notes:

1) La belle symétrie du graphe pour 11 montre que tout nombre palindrome avec un nombre pair de chiffres est divisible par 11 !

2) Pour les gens intéressés, voici le code Tikz que j’ai écrit pour obtenir ces graphes: http://pastebin.com/nisvHkxQ

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30 commentaires pour Un critère visuel de divisibilité par 7

  1. Anonyme dit :

    vous dites :
    « J’avoue que la première fois que j’ai vu ce critère, j’étais assez étonné par le caractère quasiment magique de cette recette.  »
    Cette figure est similaire à ce que certains nomment l’énéagramme (auquel on a retiré le triangle 3 6 9)
    avec la correspondance
    9 – 0 ; 1 – 6 ; 2 – 5 ; 4 – 4 ; 5 – 3 ; 7 – 2 ; 8 – 1

    • Giuseppe dit :

      Il n’y a pas un graphe pour ressembler à un autre graphe… On place les chiffres sur un cercle par commodité. Imaginez qu’on fasse ça n’importe comment… Donc revenons à l’ennéagramme (avec cette orthographe) : il y a plusieurs figures à 9 points. Voir un article de Wikipedia pour les détails. Ce dont vous parlez est sans doute celui à connotation ésotérique. Il est formé d’un triangle équilatéral, et d’un hexagramme qui possède des points de rebroussement (l’énergie part à l’envers). Ici, pour les schémas d’opérations arithmétiques décrits par l’auteur, il n’y a pas vraiment un tel circuit. Il n’y rien de magique, ni de similitude avec la circulation des chiffres 142857 de l’ennéagramme… Enfin, comptez mieux car , comme on divise un nombre par 7, il y a 7 restes possibles dans la division euclidienne. Cela fait donc 7 points contre 6 pour l’hexagramme qui fait partie de l’ennéagramme (dans lequel il n’y a pas de 0). En fait, c’est une représentation graphique, point ! Bonne journée quand même, l’Anonyme !

  2. Il y a une autre méthode qui fonctionne pour une base b et un diviseur d quelconques.

    On place d sommets, à raison d’un par reste possible de la division par d; on les nomme 0,1,2,…,d-1. De chaque sommet partent b arcs, à raison d’un par chiffre et étiquetés par ceux-ci, et construit comme ceci : partant du sommet s, l’arc étiqueté par le chiffre c aboutit au sommet relatif au reste de la division de sb+c par d.

    On utilise le graphe comme ceci. Pour connaitre le reste de la division de n exprimé en base b par d, on se place en le sommet zéro puis, en lisant les chiffres de n de gauche à droite, on suit les arcs dont ce sont les étiquettes. Lorsque le dernier chiffre est lu, on se trouve en le sommet dont le nom est le reste cherché.

    Pour de petits b, d, on sait faire cela avec un dessin. Pour les autres, il est facile de programmer une machine pour que, recevant b, d, n elle ‘construise’ le graphe, l’applique à n et donne le résultat (elle ne doit pas vraiment le construire mais peut se contenter de construire le chemin suivi).

    Sur le plan théorique, un intérêt de cette construction est de prouver que tous les caractères de divisibilités ont une formulation purement syntaxique, i. e. s’exprimant uniquement en termes de propriétés de la forme des mots représentant les nombres dans la bas donnée.

    • blogdemaths dit :

      Bonjour Pierre,

      Cela a l’air très intéressant et j’avoue que je ne connaissais pas… Le nombre de flèches à l’air d’être assez conséquent pour une représentation en pratique mais j’essaierai dès que j’aurai le temps de faire le graphe pour b=2 et d=7.
      Merci pour cette remarque en tout cas !

      P.S: il y a une petite coquille, tu voulais sans doute écrire « on place d sommets » dans ta deuxième phrase.

      • Oui, effectivement! Merci pour la remarque.

        En fait, c’est un exemple assez connu d’automate fini. Il est minimal lorsque b et d sont premiers entre eux. Minimal signifie, en particulier, que tout automate acceptant le même langage sur le même alphabet aura au moins autant de sommets que celui-ci.

      • Et, tant qu’à faire : désolé pour tous ces bugs. Tu peux les corriger et ôter tous les commentaires qui s’y rapportent. Cela polluera moins ton beau blog!

    • Merci pour votre explication détaillée. Pour la construction automatique du graphe je suis intéresser pour savoir avec quel(s) langage(s) et/ou logiciel(s) la réaliser. Là comme ça je pense que je pourrais programmer un petit code en python pour afficher les noms des sommets du graphe mais pour le construire je vois pas trop comment.
      Est-ce que vous auriez des références ou des tutoriels à proposer ?

  3. Yves dit :

    Petite amélioration, avec détection-suppression des arcs stationnaires:

    %%%% Dessin des flèches bleues %%%%
    \foreach \u in {0,…,\nmoinsun}
    \pgfmathtruncatemacro{\v}{mod(\u * 10,\n)}
    \pgfmathtruncatemacro{\vplusun}{mod(\v+1,\n)}
    \pgfmathtruncatemacro{\uplusun}{mod(\u+1,\n)}
    \ifthenelse{\uplusun=\v}
    {\draw[-latex, blue, thick, dotted] (\u) to[bend right=45] (\v);}
    {\ifthenelse{\vplusun=\u}
    {\draw[-latex, blue, thick, dotted] (\u) to[bend left=45] (\v);}
    {\ifthenelse{\u=\v}{}
    {\draw[-latex, blue, thick, dotted] (\u) edge (\v);}
    ;};};

  4. Anonyme dit :

    Que c’est joli comme critère ! En existe-t-il d’autres de ce type ?

  5. Ping : Dividiendo por 7… sin necesidad de hacer operaciones | Cuaderno de Cultura Científica

  6. Anonyme dit :

    Pour 11, il y a aussi un critère, similaire à celui pour 9, consistant à faire la somme alternée des chiffres :
    Par exemple 15041707 n’est pas divisible par 11 car 1-5+0-4+1-7+0-7 = -21, qui n’est pas divisible par 11.

  7. Rabix dit :

    Peut être arrivera t’on un jour à trouver une formule pour ces fichus nombres premiers qui m’énervent vu leurs caractères aléatoires . GOLDBACH et premiers jumeaux infinis folie des grandeurs…

  8. Ping : Critères de divisibilité | L'Endormitoire

  9. Article très bien articulé qui permet de comprendre ce critère. Etant moi-même en Terminale S spécialité maths, j’ai du les apprendre et les utiliser. Cela parait tout bête, mais pourtant très utilie en artihmétique de base.

    • Anonyme dit :

      Bonjour.

      Ce critère n’est pas à connaître en Spé Math (je suis enseignant de maths). Par contre, le connaître est un vrai plus d’autant plus qu’il est très simple à retenir pour peu que l’on ait une mémoire visuelle.

  10. Touti dit :

    Il est compliqué votre site

  11. François77R dit :

    Autre méthode pour savoir si un nombre est divisible par 7 :
    un entier n peut s’écrire de la façon suivante : n = 10 x a + b, avec a entier, et b un entier compris entre 0 et 9.
    Il suffit de faire a – 2b puis de recommencer le procédé autant de fois que nécessaire pour tomber sur 0 ou 7.
    Exemple avec le nombre de l’article : 198749502
    19874950 – 2×2 = 19874946, puis 1987494 – 2×6 = 1987482 puis 198748 – 2×2 = 198744 puis 19874 – 2×4 = 19866 puis 1986 – 2×6 = 1974 puis 197 – 2×4 = 189 puis 18 – 2×9 = 0 donc oui il est divisible par 7.
    Algorithme un peu long lorsque le nombre a beaucoup de chiffres, mais très puissant pour les nombres de 3 ou 4 chiffres.
    Il s’agit tout bêtement de congruences, à la place de retirer 2b on peut rajouter 5b ça revient au même.
    Pour la petite histoire, j’ai listé tous les critères par congruences pour la divisibilité par des nombres premiers de 7 à 97 si ça intéresse quelqu’un…mais c’est tout bête à faire y’en a pour moins d’une heure en se creusant la tête!

  12. Très bel article et très beau blog. Merci également pour les commentaires constructifs.

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