Un tour de magie mathématique…

Ce que je vais vous apprendre dans cet article va changer votre vie. Vous allez passer de simple inconnu banal à star mondiale de la magie. Vous allez faire passer David Copperfield pour un amateur.

Aller, trêve de publicité mensongère et d’accroche gratuitement racoleuse, je vais vous présenter un petit tour de magie mathématique bien sympathique. La seule chose dont vous aurez besoin, ce sont les 10 cartes suivantes (que j’ai confectionnées moi-même… elles sont pas trop PIMP mes cartes « blogdemaths » ?):

Jeu de 10 cartes magiques

Pour une version imprimable (en pdf), cliquez ici: Cartes magiques. Pour information, ces cartes ont été réalisées (par mes soins) en LaTeX et plus précisément à l’aide du (génialissime) package Tikz.

Mise en œuvre 

Voici comment se déroule le tour:

  1. Demandez à un spectateur de choisir un nombre au hasard entre 1 et 100 et de l’inscrire sur une feuille de papier  à l’abri des regards indiscrets.
  2. Montrez-lui tour à tour chacune des 10 cartes ci-dessus, et demandez-lui à chaque fois si le nombre qu’il a choisi est inscrit sur la carte.
  3. Faites semblant de réfléchir/de regarder dans votre boule de cristal/d’invoquer l’esprit de l’accordéon Yvette Horner… Bref, faites votre magicien.
  4. Annoncez-lui le nombre qu’il avait choisi au départ. Demandez-lui de retourner le papier pour confirmer que c’était bien le nombre qu’il avait choisi.
  5. Récoltez les fruits de votre nouvelle célébrité.

(Remarque: Le fait d’écrire le nombre sur un papier n’est pas nécessaire mais il y a toujours des enf…. des plaisantins qui changeront de nombre à la fin et diront que ce n’est pas le nombre qu’ils avaient choisi juste pour nous prouver que notre tour ne marche pas… mais on ne blague pas avec les mathématiques. ON NE BLAGUE PAS AVEC LES MATHÉMATIQUES.)

Mais comment marche ce tour ? On est sur blogdemaths, donc vous vous doutez bien qu’il n’y a pas de sorcellerie derrière tout cela, mais seulement des mathématiques.

Un petit exemple…

Imaginons que vous soyez le spectateur et que vous choisissiez le nombre 32. Voyons toutes les cartes qui contiennent le 32:

Voici les 3 seules cartes qui contiennent le numéro 32

Voici les 3 seules cartes du jeu qui contiennent le numéro 32

Maintenant, je vous laisse essayer de deviner comment on peut trouver le nombre 32 à partir de ces cartes.

Vous avez trouvé ? Il suffit d’additionner les nombres les plus en haut à gauche.

3+8+21 = 32. Le compte est bon.

3+8+21 = 32. Le compte est bon.

Ainsi, chaque fois que la personne vous dit que le nombre qu’elle a choisi est inscrit sur une carte, vous additionnez le nombre qui apparaît en haut à gauche de cette carte. Le total de tous ces nombres vous donnera le nombre choisi par le spectateur.

On ne peut pas faire de tour plus simple à exécuter ! (A condition bien entendu de savoir additionner mentalement quelques nombres…) Et très franchement, très peu de gens s’apercevront qu’on n’a fait qu’une simple somme.

Explication mathématique du tour

L’explication, même si elle est simple a posteriori, est loin d’être évidente et requiert l’utilisation d’un théorème que nous avons déjà démontré dans ce blog: le théorème de Zeckendorf. Rappelons ce que nous dit ce théorème:

Tout entier naturel non nul s’écrit de manière unique comme la somme de nombres de Fibonacci non consécutifs.

Si vous remarquez bien, le premier nombre de chaque carte est un nombre de Fibonacci. Rappelons que la suite de Fibonacci est la suivante: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Et tout nombre inférieur à 100 peut s’écrire comme une somme de ces nombres, et ce, de manière unique.

Ainsi, chaque nombre entier compris entre 1 et 100 n’apparaît que sur une unique combinaison de cartes. Par exemple, le nombre 32 est l’unique nombre à apparaître à la fois sur les cartes commençant par 3, 8 et 21 et à n’apparaître sur aucune autre carte. On ne peut pas se tromper !

Comment a-t-on réalisé ces cartes ? Très simplement, en commençant par prendre 10 cartes vierges, et en écrivant 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 sur chacune d’entre elle. Puis, pour tout entier inférieur à 100, on a effectué sa décomposition de Zeckendorf, et on a inscrit ce nombre sur chacune des cartes correspondant. Par exemple, puisque la décomposition de 32 est 32=3+8+21, on a écrit le nombre 32 sur les trois cartes comportant le 3, le 8 et le 21.

Comment rendre le tour encore plus spectaculaire ?

Afin de renforcer l’impact émotionnel de ce tour vous pouvez:

  • Présenter les cartes dans un ordre différent que celui qui consiste à montrer d’abord la carte commençant par le 1, puis la carte commençant par le 2, etc.
  • Dire que ces cartes comportent chacune des nombres choisis aléatoirement entre 1 et 100 (on sait que cela est faux, mais ce petit mensonge renforcera l’effet du tour). De toute façon, rare sont les personnes qui connaissent la suite de Fibonacci, et encore plus rares sont les gens qui s’apercevront que les nombres inscrits sur ces cartes suivent un schéma « régulier » (si tant est que la décomposition de Zeckendorf soit quelque chose qu’on puisse qualifier de régulier). Personnellement, je pense que la force de ce tour est ici.
  • Faire croire que la couleur de chaque carte joue un rôle (c’est vicieux ça !) dans le fait de trouver le nombre.
  • Faire croire que vous êtes le fils spirituel de Madame Soleil (risqué).

J’espère que ce tour vous a plu, moi je retourne auprès de Claudia Schiffer…

Sources:  Fibonacci Magic Cards Brother Alfred Brousseau, Fibonacci Quarterly 10 (Janvier 1972)

Et pour une vidéo (en Anglais) expliquant le même tour, mais cette fois en utilisant la décomposition en base 2 d’un nombre (qui est unique, elle aussi !), vous pouvez regarder ceci.

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49 commentaires pour Un tour de magie mathématique…

  1. Ping : Yo también quiero hacer magia… ¿o son matemáticas? « :: ZTFNews.org

  2. Anonyme dit :

    Très bon tour, juste un petit correctif s’impose: 32 = 1 + 8 + 21 est faux.
    Il faut le remplacer par 32 = 3 + 8 + 21. Cette erreur apparaît 2 fois.
    Désolé d’être aussi pointilleux.

  3. Bonjour,
    J’ai utilisé votre idée dans un programme en FLASH :
    http://rdassonval.free.fr/flash/magie.swf
    Merci !

  4. Anonyme dit :

    Bonjour,
    très bien vu ! Ceci étant, on me présent un tour comme cela je pense tout de suite à un codage particulier et du coup je ne suis pas bluffé. Je me dis juste qu’il y a une sacrée astuce derrière.

    PS : pourrait-on avoir le code LaTeX des acrtes ?

  5. Anonyme dit :

    Bonjour,
    Il n’y a pas que le 32 qui apparaît sur les trois feuilles, il y a aussi le 33 regardez bien

    • blogdemaths dit :

      Tout à fait, ce qu’il faut lire est « 32 est l’unique nombre à apparaître sur ces trois cartes et sur aucune autre carte ».
      Je vais éditer mon article pour que ce soit plus clair.

  6. Anonyme dit :

    Bonjour
    juste une question quant à l’unicité de la décomposition : je trouve plusieurs décompositions pour certains nombres.
    Le 11 par exemple , 8+3 mais aussi 8+2+1.
    Le 14, 13+1 ou 8+5+1 ou encore8+3+2+1

    • blogdemaths dit :

      Bonjour,

      En effet, on n’a unicité de la décomposition que quand on impose que les nombres de Fibonacci ne soient pas consécutifs.
      Par exemple, dans la décomposition 14=8+5+1, les nombres 5 et 8 sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Par contre, dans la décomposition 13+1, les nombres 13 et 1 ne sont pas consécutifs et c’est cette décomposition là qui est unique.

      • Anonyme dit :

        Merci pour votre réponse.
        J’avais juste mal interprété une somme « de nombres non consécutifs », pensant qu’il suffisait que 2 nombres de la suite ne soient pas consécutifs (un peu comme en logique la négation de « quel que soit » c’est « il existe au moins un »).
        Peut-être faudrait-il préciser nombres « non consécutifs deux à deux » ou « tous non consécutifs », bien que je ne sois pas sûr que ce soit plus clair…
        En tout cas, bravo pour votre blog, un vrai plaisir!

  7. sabaa dit :

    Bonjours ,
    Pour l’explication mathématique je n’arrive pas a la comprendre je suis juste une 4 eme et jai besoin d’une explication pour un projet math. Pouvez-vous adaptez l’explication plus simple svp !

  8. Rabix dit :

    Bonjour,
    Le tour de magie n’a rien de spectaculaire il suffit de prendre le chiffre qui se répète le plus. avec 10 carte on peut avoir une Combinaison de C de 3 parmi 10 = 120 chiffre on peut même faire deviner 113 avec 10 cartes. il suffit par exemple de mettre 1, 1, 1 dans les 3 premières cartes et puis 2, 2, rien, et 2 dans la 4m carte ainsi de suite avec 3 jusqu’à 120 et quand l’utilisateur choisira ces 3 cartes on prend le chiffre qui se répète 3 fois.

  9. jaja jalil dit :

    très amusant

  10. Plutôt subtil !
    Et derrière celui-là, y’a-t-il un principe mathématique derrière ce tour de magie / mentalisme ?
    http://www.adonfff.com/149-transmission-de-pensee.html

    • blogdemaths dit :

      Bonjour,

      Je ne sais pas si on peut appeler cela un principe mathématique mais voici l’idée de votre tour:

      Lors du premier choix de prénom, vous indiquez un goupe de cinq prenoms (donc cinq possibilités de prénoms). Puis, dans l’étape de confirmation, les cinq prénoms précédents sont chacun mis dans un groupe différent de sorte que lorsqu’on indique le groupe dans lequel appartient le prénom choisi, il n’y a plus qu’une seule possibilité.

  11. HappyGaby dit :

    Hello ! Super ! J’ai été attirée par ce blog (même si les maths ce n’est pas mon fort ! 🙂 ) « Un tour de magie avec des maths ?! » Vraiment bien ! Je vais imprimer les cartes et faire le coup à ma famille et mes amis… ils vont être bluffés !
    Merci, bonne chance pour le blog ! ;D

  12. fiengo dit :

    Joli tour de magie de mathématique , hélas très peu de magicien l’utilise
    Commentaire de l’or au bout des doigts http://www.magienantes.com/
    à bientôt jean paul

  13. ezechiel dit :

    trop cool!..

  14. pigeot dit :

    trop cool j’adore

  15. Anonyme dit :

    trop cool

  16. Nono dit :

    Franchement génial ce tour. J’ai bluffé pleins de pote avec. Par contre, un vrai magicien ça envoie aussi.

  17. michel dit :

    Pour un nombre de 1 à 127, pas besoin de 10 feuilles, avec 7, ça suffit, basé sur le système binaire

  18. Pachoutine dit :

    Bonjour, merci pour ce blog. Je ne suis pas matheuse moi-même, mais je trouve cela souvent amusant, et aussi souvent ardu… Voici ma question : je connaissais ce « tour » appris dans mon enfance; aujourd’hui, je constate que j’utilisais 7 cartes (nombres de 1 à 100) , quand vous en utilisez 10, et que Normand Baillargeon (http://nbaillargeon.blogspot.fr) évoque un tour avec 9 cartes. La dernière remarque postée ici m’interpelle donc (7 cartes, système binaire) : comment ça marche, dans ce cas-là ? Merci !

    • blogdemaths dit :

      Tout dépend de deux choses: d’une part du système de représentation choisi (par exemple, le binaire) et d’autre part du nombre de nombres parmi lesquels on doit choisir (par exemple, de 1 à 100).

      Pour connaître le nombre de cartes, on regarde le nombre de nombres du système de représentation choisi qui sont inférieurs à 100 (si on veut que le spectateur choisisse entre 1 et 100).

      Pour le système binaire, il faut regarder le nombre de puissances de 2 inférieures à 100. Ce sont les suivantes: 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64. Ce qui fait 7 valeurs; il y aura donc besoin de 7 cartes !

      Pour le système des nombres de Fibonacci dont je parle dans cet article, les nombres inférieurs à 100 sont: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 et 89. Ce qui donne 10 cartes !

      Quant à savoir comment ça marche dans le système binaire, c’est le même principe que celui que je donne dans l’article. Tout nombre entre 1 et 100 s’écrit de manière unique comme une somme des nombres 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64. Par exemple, 37 = 1 + 4 + 32 donc il faudra écrire le nombre 37 sur trois cartes: celle où il y a 1, celle où il y a 4 et celle où il y a 32 !

      J’espère avoir répondu à votre question 🙂

      • michel dit :

        J’ai trouvé il y a une dizaine d’années une autre manière de présenter ce tour, j’ai une feuille avec 16 dessins d’animaux et une autre avec les lettres de l’alphabet, 16 d’un coté et 16 de l’autre, la personne doit se concentrer sur la 1er lettre de l’animal pensé pendant 2 secondes puis 2 secondes sur la 2ème lettre, 2 sur le 3ème et 2 sur la 4ème. Ensuite le magicien se concentre et dit l’animal pensé. Basé sur le fait on non de retourner la feuille avec les lettres, 0 pour face et 1 ou 2 ou 4 ou 8 pour l’autre coté, additionné donne le nom de l’animal pensé. Peut aussi se faire avec une carte pensée d’un jeu de carte, avec 5 cartes transparentes superposées donne directement la carte pensée sans calcul, etc,…

      • Pachoutine dit :

        Je voudrais m’écrier : « c’est merveilleux ! », mais je suppose que « c’est mathématique ! » est plus juste ! Merci beaucoup !

  19. michel dit :

    Chiffre 1 sur 1ere carte, le 2 sur 2ème carte, le 3 sur 1ère carte et 2ème carte car 1+2 = 3, le 4 sur 3ème carte, le 5 sur 1ère carte et 3 ème carte car 1 + 4 = 5, le 6 sur 2ème carte et 3ème carte car 2+4 = 6, etc jusque 100. Il y aura donc 7 cartes clés ( 1, 2 ,4, 8 , 16 , 32 , 64) Vous pouvez mettre le chiffres mélangés sur chaque carte en repérant ou se trouve le chiffre clé ou au verso avec un point de repère, on peut aussi remplacer les chiffres par des dessins, pour 1 une bougie, 2 une croix, 4 une tables, 8 une étoiles, etc,,

  20. michel dit :

    Le système binaire est le plus court existant forcément, il y a d’autres manières aussi de faire ce genre de tour de magie  »mentalisme »

  21. Bertrand dit :

    je viens d’apprendre un tour de magie très super j’aime ce tour

  22. Ping : Actividades matemáticas para la primera semana de clase (III): Magia matemática | Blog de Antonio Omatos

  23. Ping : Actividades matemáticas para la primera semana de clase (3/3): Magia matemática | MatemaTICzando la realidad

  24. arman dit :

    tres bien ce blog je suis en 5eme et je comprend très bien maintenant faisons un petit tour en ville !!!

  25. Anonyme dit :

    Vous le trouverez également sur ce site : http://www.blablagues.net/magie2.html

  26. Bezeau dit :

    J ai pas compris expliquer moi merci

  27. Avec un peu d’entrainement je pense que ca doit le faire !

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