2013, un quart de siècle après…

Une nouvelle année commence… voilà donc pour moi l’occasion d’écrire un nouvel article. J’avais, en 2011, écrit un article recensant certaines particularités du nombre 2011. Manquant cruellement d’originalité, je me suis dit que j’allais faire la même chose en 2013 et que mes lecteurs n’y verront que du feu. Malheureusement, le nombre 2013 est particulièrement inintéressant. Pour dire, sur une échelle d’ennui de 1 à 10, le nombre 2013 aurait la note de « Dictionnaire des roches et des minéraux en cinq volumes ». Pour voir quelques (maigres) propriétés du nombre 2013, voir ce lien.

Cependant, 2013 a une particularité qui a retenu mon attention. C’est la première année depuis 1987 où aucun chiffre ne se répète. N’est-ce pas étonnant ? On vient de vivre vingt-cinq années consécutives qui contiennent au moins deux fois le même chiffre (1988, 1989, …, 2011, 2012). Il fallait bien que cela cesse.

Dans cet article, nous allons porter notre attention sur les nombres qui ne contiennent pas deux fois le même chiffre (comme 42, 103, 2049, 38295…). Y en a-t-il beaucoup ? Une infinité ? Un nombre fini ? S’il y en a un nombre fini, quel est le plus grand ? Le plus petit ?

Tous les nombres considérés dans cet article seront écrits en base dix (car il me semble que c’est celle qu’on utilise pour écrire les années. A vérifier.)

Faisons les fonds de tiroirs…

Faisons un bond dans le temps et allons en l’an 10 000 000 000 ap. J.-C. A cet époque, les gens seront tristes. Tristes parce qu’il sauront que plus aucune année n’aura la même particularité que 2013. Toutes les années alors auront au moins un chiffre qui se répète.

Plus précisément, tout nombre à 11 chiffres (ou plus) possède au moins deux chiffres qui se répètent. Et cela, c’est de la faute du principe des tiroirs (encore appelé principe des cases à pigeons par nos amis anglo-saxons) que nous allons tenter d’expliquer ici.

Si vous possédez 4 chaussettes et que vous les disposez dans 3 tiroirs alors il y aura au moins un tiroir qui contiendra au moins deux chaussettes. Vous pouvez essayer chez vous, ça marche ! De même, si vous possédez 11 chaussettes et que vous les disposez dans 10 tiroirs alors il y aura un tiroir qui contiendra au moins deux chaussettes. Maintenant, imaginez que ces 11 chaussettes sont les 11 places de votre nombre à 11 chiffres (il y a la place du chiffres des unités, la place du chiffre des dizaines, etc.) et que les 10 tiroirs sont les chiffres de 0 à 9. Et bien il y aura deux emplacements (chaussettes) qui auront un même chiffre (tiroir) en commun.

Si cela ne vous convainc pas, essayez par vous même, écrivez un nombre à 11 chiffres sans utiliser deux fois le même chiffre. Puis cognez-vous la tête contre le mur suffisamment fort pour comprendre que ça n’est pas possible.

En clair, il n’y a qu’un nombre fini de nombres dont tous les chiffres sont différents. Et tout nombre de ce type aura donc 10 chiffres ou moins.

Dénombrons-les tous !

On a donc vu qu’il n’y a qu’un nombre fini de nombres qui ne possèdent aucun chiffre qui se répète. Mais combien y en a-t-il en tout ? Afin de les compter, nous allons nous intéresser successivement aux nombres à 1 chiffre, puis aux nombres à 2 chiffres, etc. jusqu’aux nombres à 10 chiffres. On a vu qu’au-délà (11 chiffres), tout nombre a forcément deux chiffres identiques (au moins).

• Un chiffre: Tout nombre a un chiffre vérifie forcément la propriété qu’il n’existe pas deux chiffres identiques. Cela en fait 10 au total.
• Deux chiffres: On considère un nombre a deux chiffres, dont les deux chiffres sont différents. Le premier chiffre (chiffre des dizaines) ne pouvant valoir 0 (sinon ce serait un nombre à un chiffre !), il y a donc 9 possibilités pour le choisir. Une fois le premier nombre fixé entre 0 et 9, il faut choisir le deuxième nombre de telle sorte qu’il soit différent du premier. Par exemple, si le premier chiffre est 3, alors le deuxième chiffre peut être choisi parmi les chiffres 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cela fait neuf choix possibles pour le deuxième nombre une fois le premier chiffre fixé. Au total, il y a donc nombres à deux chiffres, dont les chiffres sont différents.
• Trois chiffres: Vous avez sans doute saisi le principe. On choisit le premier chiffre (chiffre des centaines) parmi 0, 1, 2, …, 9 ce qui donne neuf choix. Pour chacun de ces choix, on choisit le deuxième chiffre (chiffre des dizaines) parmi neuf chiffres restants. Enfin, on choisit le troisième chiffre en évitant de prendre le même chiffre que les deux premier chiffres choisis, ce qui laisse huit choix. Au total, le nombre de nombres à trois chiffres dont tous les chiffres sont différents est .
• Quatre chiffres: Le raisonnement est le même. Il y en a .
• etc.

Finalement, le nombre d’entiers naturels dont l’écriture en base 10 ne contient aucun chiffre qui se répète est

ce qui donne . Il y a donc exactement 8 877 681 nombres qui n’ont aucun chiffre qui se répète dans leur écriture en base 10. Je sais pas vous, mais moi, ça m’en bouche un coin.

Pour l’anecdote, le plus petit de ces nombres est 0 (évidemment) et le plus grand est 9 876 543 210 (qui possède dix chiffres). L’année 9 876 543 211 sera donc une année noire. L’année de la fin des années sans deux fois le même chiffre !

Bonne année 2013 à tous !

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