Harmonique, nique, nique…

Ce matin, Dominique, routier de son métier, part d’une ville A et doit rejoindre une ville C. Pour cela, son itinéraire le fait passer par une ville B qui est à la même distance de la ville A que de la ville C.

L’histoire ne dit pas ce que transporte Dominique dans son camion… (Source: Wikipédia)

Lors de la première partie de son trajet allant de A à B, Dominique (nique, nique) roule doucement (sans doute était-il mal réveillé) et effectue le trajet de la ville A à la ville B à une vitesse de 60km/h. Arrivé à la ville B, Dominique (nique, nique) se rend compte qu’il est en retard et décide de rouler plus vite: bravant les limitations de vitesse et les forces de l’ordre, Dominique (nique, nique la police) effectue alors le trajet de la ville B à la ville C à une vitesse de 100 km/h.

Quelle était la vitesse moyenne de Dominique sur la totalité de son trajet, c’est-à-dire de la ville A à C ?

Si vous avez répondu que la vitesse moyenne de Dominique est de 80km/h, vous vous êtes malheureusement trompé car Dominique a roulé en moyenne à 75km/h. Pour l’anecdote, Dominique fut fier de dire au juge qu’il avait roulé seulement à 75km/h en moyenne, soit en dessous de la limite des 80km/h autorisés sur les routes nationales.

On the road again

Si vous ne saisissez toujours pas pourquoi il a roulé à 75km/h de moyenne pour aller de la ville A à la ville C (et il n’y a pas de honte à avoir car cela n’a rien d’intuitif), faisons les calculs pour comprendre. Attention, les calculs suivants demandent un tout petit peu de technique (nique, nique) mais pas de panique (niq… OK, on a compris).

Notons d la distance séparant la ville A de la ville B, qui est aussi la distance séparant la ville B de la ville C. On note respectivement t_1 et t_2 les temps mis par Dominique pour aller de la ville A à la ville B et de la ville B à la ville C.

Je suppose que vous vous souvenez parfaitement de la formule donnant la vitesse v moyenne en fonction de la distance d parcourue et du temps t pour la parcourir:

v = \dfrac{d}{t}

Puisqu’il a roulé à 60 km/h de moyenne entre la ville A et la ville B, on a donc 60 = \dfrac{d}{t_1}. De même, pour le trajet entre la ville B et la ville C, on a l’égalité 100 = \dfrac{d}{t_2}. En inversant, on a donc les relations t_1 = \dfrac{d}{60} et t_2 = \dfrac{d}{100}.

Maintenant, intéressons-nous à la totalité du trajet. La distance totale parcourue est d+d = 2d. Le temps total mis est t_1 + t_2. La vitesse moyenne v pour aller de la ville A à la ville C est

v = \dfrac{\text{distance totale}}{\text{temps total}} = \dfrac{2d}{t_1+t_2} = \dfrac{2d}{\dfrac{d}{60} + \dfrac{d}{100}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{100}}

Je suppose aussi que vous savez qu’un dénominateur commun à 60 et 100 est 300 (je suppose quand même pas mal de choses sur mes lecteurs !), ce qui donne

v = \dfrac{2}{\dfrac{5}{300} + \dfrac{3}{300}} = \dfrac{2}{\dfrac{8}{300}} = 300 \times \dfrac{2}{8} =  75

J’espère que cela vous convainc définitivement que la vitesse moyenne de notre zélé routier n’était pas de 80km/h mais de 75km/h.Moyenne harmonique

Dans le cas général où les vitesses v_1 et v_2 des deux trajets sont quelconques, on peut démontrer de la même manière que la vitesse moyenne v est donnée par la formule :

\boxed{ v = \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}} }

Ce nombre s’appelle la moyenne harmonique des nombres v_1 et v_2. En général, ce nombre est différent de la moyenne simple \dfrac{v_1 + v_2}{2} qu’on appelle aussi moyenne arithmétique.

Par exemple, si au début vous avez répondu que la vitesse moyenne de Dominique est de 80km/h, c’est probablement parce que vous avez fait une moyenne arithmétique: \dfrac{60 + 100}{2} = 80.  Le cas de Dominique illustrait donc que, parfois, la moyenne arithmétique ne permet pas de calculer la valeur d’une moyenne et que, dans le cas d’une vitesse moyenne de deux vitesses sur des trajets de même longueur, il faut utiliser une moyenne harmonique.

Lien entre moyenne harmonique et moyenne arithmétique

Bien qu’elles ne soient en général par égales, les moyennes harmoniques et arithmétiques sont tout de même liées par une jolie relation que nous allons voir.

Avant cela, notons qu’on peut calculer la moyenne harmonique d’autant de nombres que l’on veut. Par définition, la moyenne harmonique H(x_1, x_2, \cdots, x_n) de n nombres x_1, x_2, \cdots, x_n est

H(x_1, x_2, \cdots, x_n) =\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}

Par analogie, nous noterons

A(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

la moyenne arithmétique de ces nombres. On voit alors immédiatement que

H(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \dfrac{1}{A\left( \frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \cdots, \frac{1}{x_n}\right) }

Autrement dit, la moyenne harmonique de n nombres est égale à l’inverse de la moyenne arithmétique de leurs inverses. C’est pas beau ça ?

On comprend donc un peu mieux dans quels cas utiliser la moyenne harmonique: dans des phénomènes où les grandeurs sont des quotients et qu’on souhaite déterminer un rapport moyen.

Problèmes avec des moyennes harmoniques

Maintenant qu’on sait mieux ce que représente une moyenne harmonique, j’aimerais vous présenter deux petits problèmes amusants qui la font intervenir. N’hésitez pas à essayer de les résoudre par vous-même ou bien à les proposer à votre entourage pour voir les réponses qu’on vous donne.

Le problème des peintres

Supposons qu’on ait un mur à peindre. Quatre peintres s’affairent à la tâche (d’ailleurs, un des quatre peintres est Dominique, effectuant une peine de travaux d’intérêt général, mais peu importe). Le 1er peintre pourrait peindre le mur entier tout seul en 6 heures. Le second peintre pourrait peindre tout le mur en 3 heures. Le troisième pourrait peindre tout le mur en 2 heures et le quatrième pourrait le faire en 1 heure (toujours aussi rapide ce Dominique). Si les 4 peintres peignaient ce mur en même temps, combien de temps mettraient-ils ?

Carré blanc sur fond blanc par Kasimir Malevitch (Source: Wikipédia)
Combien de temps a-t-il fallu à Kasimir Malevitch pour peindre un mur blanc en blanc ?

Tout le monde a envie de répondre \dfrac{6+3+2+1}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 heures. Tout le monde.  Sauf vous.

D’une part, parce que vous comprenez tout de suite que s’il y a un peintre capable de peindre le mur en 1 heure, le résultat ne peut pas être supérieur à 1. D’autre part, car vous êtes érudit à présent : vous savez ce qu’est une moyenne harmonique (et je suis fier de vous !).

Si on note S la surface à peindre et v_1 = \dfrac{S}{6}, v_2 = \dfrac{S}{3}, v_3 = \dfrac{S}{2} et v_4 = \dfrac{S}{1} les vitesses de peinture des 4 peintres, alors la vitesse moyenne est:

v = \dfrac{4}{ \dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2} + \dfrac{1}{v_3} + \dfrac{1}{v_4}} = \dfrac{4}{\dfrac{S}{6} + \dfrac{S}{3} + \dfrac{S}{2} + \dfrac{S}{1}} = \dfrac{4}{S \times \dfrac{12}{6}} = \dfrac{2}{S}

Attention à l’interprétation: cela signifie que si ces 4 peintres peignaient chacun successivement 4 murs identiques, alors il faudrait en moyenne à un peintre seul une vitesse de v = \dfrac{2}{S} pour peindre ces 4 murs, ce qui donne un temps t = S \times v = 2 heures pour peindre ces 4 murs. Par conséquent, il faudrait \dfrac{2}{4} = 0,5 heure à ce peintre moyen pour peindre un seul mur.

Autrement dit, si les 4 peintres peignaient un seul mur tous en même temps, cela leur prendrait une demi-heure. On aurait pu trouver ce résultat directement en calculant la moyenne harmonique des temps, qu’on aurait divisée par 4:

\dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1}} =  \dfrac{1}{\dfrac{2}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{6}{12} + \dfrac{12}{12}} = \dfrac{1}{\dfrac{24}{12}} = 0,5

Ce qui est bien, c’est que ce genre de problème se multiplie à l’infini: par exemple, si une poule pond 1 œuf tous les 2 jours et une autre poule pond 1 œuf tous les 3 jours, en moyenne, combien d’œufs pondent-elle à elles deux par jour ?

Le problème des échelles qui se croisent

Voici un deuxième exemple amusant où intervient une moyenne harmonique. Deux échelles sont posées dans un couloir (devinez qui les a posées là ? Oui, c’est bien lui…). La première échelle touche le mur de gauche à une hauteur de 1,5 mètre. L’autre échelle touche le mur de droite à une hauteur de 2,5 mètre. A quelle hauteur les deux échelles se croisent-elles ?Il s’agit ici d’un problème géométrique, où donc se cache la moyenne harmonique me direz-vous ? Pour le découvrir, nous allons nous aider du théorème de Thalès et des notations suivantes: Dans le triangle ABD, on a \dfrac{NM}{AB} = \dfrac{DN}{DA} c’est-à-dire \dfrac{h}{1,5} = \dfrac{\ell_2}{\ell}. Ainsi, \ell_2 = \ell \times \dfrac{h}{1,5}.

De même dans le triangle ACD, on a \dfrac{NM}{CD} = \dfrac{AN}{AD} donc \dfrac{h}{2,5} = \dfrac{\ell_1}{\ell} d’où \ell_1 = \ell \times \dfrac{h}{2,5}.

Comme \ell_1 + \ell_2 = \ell, on a donc \ell \times \dfrac{h}{2,5} + \ell \times \dfrac{h}{1,5} = \ell. Par conséquent, \dfrac{h}{2,5} +  \dfrac{h}{1,5} = 1 donc

\boxed{ h = \dfrac{1}{\dfrac{1}{1,5} + \dfrac{1}{2,5}}}

Autrement dit, la hauteur à laquelle se croisent les échelles est la moitié de la moyenne harmonique des hauteurs atteintes par les échelles sur les murs du couloir. Un simple calcul donne alors h = 0,9375 mètre.

D’autres moyennes ?

Outre les moyennes harmonique et arithmétique, il existe une troisième  moyenne dont je n’ai pas parlé dans cet article, qu’on appelle moyenne géométrique. Vous ne la connaissez pas ? Ne m’obligez pas à écrire un article qui s’appellerait « Géométrique, trique, trique »…

Sources

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91 commentaires pour Harmonique, nique, nique…

  1. Celine dit :

    Merci,
    J’ai beaucoup ri…

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  2. Anonyme dit :

    Une référence musicale a été oubliée :

    Je suis déçu. 😉

    J’aime bien la conclusion et je crois qu’il va falloir l’écrire cet article. 🙂

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  3. Anonyme dit :

    Il reste encore la moyenne quadratique ; en traçant deux segments [AB] et [BC] de longueurs respectives a et b, avec B sur [AC], on peut faire apparaître les quatre moyennes par des constructions géométriques, en plaçant le milieu de [AC], en construisant le point D à l’intersection d’un demi-cercle de diamètre [AC] et de la perpendiculaire à (AC) en B, et pour harmonique et quadratique je soupçonne l’utilisation de Thalès et de Pythagore respectivement (me rappelle plus).

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  4. Ping : Les moyens de moyenner | Automaths

  5. Blacksheep dit :

    Très intéressant!
    On attend la suite!

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  6. Anonyme dit :

    la selexion a l’université c une catastrophe
    en vrai c les cours qui vont pas

    toute la teory doit etre my sur internet
    toute les excercice corygé

    chez toi tu ly la teory et les excercice corygé

    a l’ecole on te fait passé 50 DS de suite
    par an

    et normalment le nivo devrait remonté

    c com le simplexe

    le prof oublie completement d’expliquer comment il fait sont choix
    entre les variable de depart et d’aryvé

    en vrai le croisement du max pour le min te donne le croisement de la variable d’entré pour la variable de sorty

    et sa peut etre modifié plusieur fois une variable de sorty

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  7. Anonyme dit :

    o cp
    fer du Français
    d math
    de la logique
    de l’anglais

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  8. Anonyme dit :

    le theine ordonne o cellul graisseuse de se suicider
    le thé ca fait maigryr

    le thé et le café peuv pas etre pris prêt des repas
    il fo eloigner de 4h

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  9. Anonyme dit :

    certain gene peuv iniber d’autre gene
    epigenetyk

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  10. Anonyme dit :

    le poison qe tu mange est remply de mercure

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  11. Anonyme dit :

    pour manger d œuf de tortue de plage
    instoré des cota
    pour eviter de detruire les tortue

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  12. Anonyme dit :

    pour le poisson les japonais et les chinois peche tro de poisonn
    interdire defynytyvment la peche a la balaine ( esquimo et inuite ossi)
    metre d cota o japonais et o chinois
    il peche tro de poisson

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    • Anonyme dit :

      le pistolet a souder meulese perforateur scie circulaire est equipé d’un pety filtre a air pour les vapeur de metal
      c qatre aparey son equipé d’un mini aspirateur incorporé dessus
      ca eviter de trinbalé un gro aspirateur
      aspirateur Dyson leger silencieux avec batry

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  13. Anonyme dit :

    le pistolet a souder meulese perforateur scie circulaire est equipé d’un pety filtre a air pour les vapeur de metal
    c qatre aparey son equipé d’un mini aspirateur incorporé dessus
    ca eviter de trinbalé un gro aspirateur
    aspirateur Dyson leger silencieux avec batry

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  14. Anonyme dit :

    defiscalisé la carte bancaire mondial

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  15. Anonyme dit :

    bafrycation de 5biblioteqe de tout internet ot qalité ot definition ds du verre de qartz

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  16. Anonyme dit :

    une viseuse tres lente est plu efficace
    pour percer etre lent c mieux
    ca evite de fer fondre le coupant

    metre 1miliard
    pour le rein artificiel
    1
    pour le foie artificiel
    1 pour le pancréas artificiel
    1 pour les intestin artificiel
    1 pour l’anus artificiel com un vrai et non une poche avec un bouchon
    1 pour le cœur artificiel
    1 pour la main artificiel
    1 pour le bras artificiel
    1 pour la jambe artificiel
    1 pour la protese de cervo
    1 pour l’hypocampte artificiel pour alzeimer

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  17. Anonyme dit :

    defiscalyzé les caissiere de super marché a condition de metre le max de caissiere utyl 5 a 15 a 50 a 75
    le but c de defiscalisé pour pouvoir metre plus de caissiere
    la carte de fidelité c une perte de temps pour passer a la caisse
    la carte de fidelité est otomatyc sans carte par l’informatique du magasin
    oui c a dire qe tu n’a plu besoin de carte
    avec ta carte bancaire
    la carte de fidelité est ds la carte bancaire
    sans changer de carte bancaire
    c fait otomatycment par l’ordy du magasin
    plus de perte de temps a la caisse

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  18. Anonyme dit :

    androide recouvert de pano soler pour l’alimenter
    il pe fer d bond d 10m
    il pe couryr a 100kmh
    il sav fer de lescalade
    il sav monter entre deux mur par bond ou par pression
    il a detecteur ultra son infrason aigu grave
    il a detecteur infrarouge ultraviolet rouge vert bleu ond radio micrond gamma x

    il a d detecteur de toute sorte
    sur toute la tete
    tout otour de la tete
    otour de main otour d pied

    toute les heure l’androide se conecte qd c possible
    pour fer sa sovagard et l’anti virus
    l’androide met sa mémoire ds internet en se conectant régulièrement

    l’android evite de te pousser qd tu tenetoie les orey
    l’androide se balad par avec d poele chode ou d couteau

    l’androide a 3 joj
    un joj pour le processeur
    un joj pour la ram
    un pour le disc dur

    l’androide connait
    l’ortograf academic
    fonetic
    sms
    verlan
    patois
    il connait toute les langue du monde
    l’androide a tout le savoir humain
    les telephone portable certain on 4 sorte de camera
    installé ca sur l’androide

    robot reparable
    pour les vieux androide la mémoire est recupéré ds un nouvo abitacle de robot
    de toute facon il y a les sovagarde sur le net

    androide c geré humain en colere ou en fury

    il a 10 popiere
    exemple une pour le soleil
    ou pour voir loin
    une microscorpe
    etc

    il doit pas etre agassant
    ou foutre la honte
    ou metre en colere

    il est protégé de l’electrocution
    il est resistant o choc

    il est equipé de laser telemetre et teletermometre

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  19. Anonyme dit :

    les androide son des sur homme

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  20. Anonyme dit :

    voir un psy tout les mois dd bb
    d qe t bébé tu vois un psy

    il exyste
    environ 10maladie principale
    schizzofrenie voir et entendre d halucination
    pyschose cervo defoncé
    bipolaire joie a tristesse aleterné
    asocial
    suicide
    paranoya
    etc

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  21. Anonyme dit :

    bocou de gens sav pa se qe c qe la malady mental

    une jamb cassé tu le vois

    un espry abymé tu le vois pas

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  22. Anonyme dit :

    je serais capable de monter d pc
    mais ca m’interrese pa
    ce qui m’interesse c les invention

    ma mere on luy a fait fer une formation secretaire
    or qel c coudre
    el m bien coudre
    el fait bocou d’erreur
    mais au bout de 2 a 3 jour le vetement est cousu

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  23. Anonyme dit :

    ton cor stoc

    il stoc de tou

    il stoc bien sur d graisse

    mais ossy plin de conery

    com d toxyne

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  24. Anonyme dit :

    matier a l’ecol construire d moteur et des machine et l’apareyage electromenager vehicule etancheité orlogeri difrent rubikub invention et idee
    matier a l’ecol pa vid teori d ensenbl teori d ne soudur tourneur fraiseur mecanicien ouvrié secretér jestionér jeometr macon charpentié odora
    matier a l’ecol aprendr tou ls tabl 10×10 100×100 1000×1000 adition multiplication soustraxion division modulo pintur de tablo poteri secourizm
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    matiere a l’ecole packaging marketing le gout l’odora totem emotion sentyment joi peur colere aine amour jalousie vertige efori rationalité
    matiere a l’ecole archytecture survalisme strategie d’economie survie en cas de guerre cours militaire entretient du corps nutrition parfaite
    matiere a l’ecole code la route mot fléché simple electronic anagramic synonymic ifleche self defense economie ecologie meteo recett depens
    matiere a l’ecole cromoterapy cromoponctur phitoterapy epigenetyk bioresonance toxynologie ( le corp en acumul ) la moral le bien et le mal
    matiere a l’ecole dessein simple coloriage dessein industriel fonxionement laser frigo roulment a bille moteur minato stirling vulcano pantone
    matiere a l’ecole jeux de société jeux video sport agriculteur eleveur robotyc inteligence artificiel domotyc 800courelectronic processeur ram
    matiere a l’ecole magnetiseur rebouteux sourcier bareur de feux religieux exorsiste ingenierie desiner des carte uziné deep learning ia machine
    matiere a l’ecole numerolojy astrolojy equilibre entre (indivudualisme et colectisme) et (socialisme et capitalisme) spectacl diversion comedi teatr
    matiere a l’ecole radiestezy kinestologie intuition premonition aprendre et s’entrainer a se concentrer conscientisation de rev irisolog alergolog
    matiere analys du discour d’une histoir et de l’Histoir crop circle les umo strateji et tactyc o comba fyzyc et mental self defens musculation

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  25. Anonyme dit :

    il y a 10matiere obligatoire traditionel

    l’eleve choizy les matiere qui l’interresse or d dix matiere

    l’eleve pe se concentré unicment sur les math com guauss

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  26. Anonyme dit :

    androide c tout c matiere
    l’androide conné les geste de secours
    il est equipé de poumon pour fer du bouche a bouche
    il c aplé les secours

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  27. Anonyme dit :

    ostheopathie et le kiropractie
    c bougé les os pour les decoincé

    je me suis pri une rafale de vent ds la anche on moment ou je soulevé la jambe
    mon articulation c deformé
    le tendon frote
    il fo fer d mouvement de deboitage sans forcé
    pour remetre l’os a sa place

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  28. Anonyme dit :

    la po et les grain d tomat
    fo pa la mangé
    c remply de lectine qui perce les intestin

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  29. Anonyme dit :

    avec le lepticure g pry double dose
    g senty ds la pom de la main est vague/boule d’energie
    qd g aproché ma main pret du processeur
    ca fait pas mal

    après g vu le christ o reveil il y a de ca 10ans
    o reveil un cor o desu de moi
    un corp floté o desu de moi
    il été tout blanc
    c un halo d’energie pure blanche
    c t remply d’amour
    ca paralisé mé bras
    c resté 5s
    ca avait une force fyzyc incroyable se truc
    je pouvait plus bougé
    ma pensé été paralyzé
    il esayé d’araché mon ame de mon corp
    g luté de toute mes force
    il est party ossi sec qu’il est venu

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  30. Anonyme dit :

    les atenta du bataclan et du supermarché et du concert de chanteuse
    g u une premonition 3jour avant qe sa allait aryvé

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  31. Anonyme dit :

    g entendu la voie de ma grand mere depuis l’odela
    el aplé sa chienne nina

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  32. Anonyme dit :

    ds les super marché
    il fo cré un super marché total
    il a tout les fruit et legume du monde entier
    tout les poison
    tout les produit du monde entier
    oursin ormo etc ca avec d cota bien sur
    sa serait une pile geante de 500 magasin empilé les un sur les otre
    magasin brico depot empilé avec carrefour

    une super pile de tout les magasin

    un parking geant de 2km x2km
    tout les produit de mon entier
    ordy
    télé
    machine a laver
    baignoire
    douche
    voiture
    livre
    tout est uny

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  33. Anonyme dit :

    metre 7 fibre optique enroulé ensemble pour chac batyment

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  34. Anonyme dit :

    qd un vetement a été livré et qil va pa le livreur vient le reprendre avec une date

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  35. Anonyme dit :

    on a fait une petite usine
    qd on fezait une erreur c t a la chaine
    ca coute

    si tu ve fer une uzine
    je te consey de pas emprunter
    je te consey d’avoir plin de sou d’avance

    fait pas une uzine a credit

    commence ds ton garage

    n’achete pas un grand batyment et d machine a 30 000euro

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  36. Anonyme dit :

    recuperer le methane d ocean pour les voiture et avion et bato et train

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  37. Anonyme dit :

    cultiver le sahara et tout les desert
    ca permet de nouryr 500 miliard d’homme

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  38. Anonyme dit :

    manger d insecte

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  39. Anonyme dit :

    envoyer o frere qui sont devenu les sœurs de matrix
    ds matrix c domage qu’il ont pas utyzé par les machine la puissance du cervo humain pour donner de la puissance de calcul a la matrice

    la matrice est pas un si movez system
    on entasse un maximom d’humain pour un minimom de place
    qd on est nombré c pluto utyl
    la matrice les robot continu a protégé les humain
    il sont en form de symbiose

    domage qe les machine cache la vérité o humain

    vivre ds une matrice peut etre bien ds une matrice bien faite

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  40. Anonyme dit :

    le changement climatyc aryv tout les 1000ans

    construire un processeur atmosferyc com ds alien 2 pe baisser un pe la temperatur

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  41. Anonyme dit :

    la terre a d ressource pour 500 miliard d’humain
    d ville 3d
    manger d insecte
    cultiver le sahara
    cultiver sur la lune
    cultiver sur toute les lune du system

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  42. Anonyme dit :

    installer 500 desalinisateur pour toute la planete

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  43. Anonyme dit :

    fabriker 10 000 batyment de 500 place pour acceuillir les imigré dignement ds d condition humaine
    dc chac pays d’Europe qu’il l’accepte

    chac pays donne un pety morso de territoire sur la cote

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  44. Anonyme dit :

    central nucleaire o thorium

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  45. Anonyme dit :

    tout se qui souffre
    terapy gratuite par le massage

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  46. Anonyme dit :

    marque en gro sur ls boisson
    si ca contient ou pa de l’alcool

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  47. Anonyme dit :

    le sucre a un gout tres fort
    il y a pa besoin de bocou de sucre
    d boison peu sucré et yaourt peu sucré
    ca marche ossi

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  48. Anonyme dit :

    o etat zuni
    ds toute l’Europe
    ds tout les pays du monde
    qu’il est la securité social maladie et handicap

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  49. Anonyme dit :

    l’etat n’aide pas la création d’entreprise
    pour créer une entreprise il fo une somme d’argent du genre 250 000euro

    l’etat juj qe les entreprise sont pas importante
    dc il n’aide pas les entreprise

    l’etat meprise les petite entreprise et la création d’entreprise

    pour créer une entreprise il fo un gro paquet de blé
    250 000euro c’est ce qu’il fo

    les patron
    n’ont ni chomage
    ni capital de depart de 250 000euro

    tu m’etone qe 4 entreprise sur 5 coule rapidement

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  50. Anonyme dit :

    chez le docteur il fai la list dega sur ton cor et la list efet seconder d medoc

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  51. Anonyme dit :

    mes idee tecnoljic
    d espion lise
    g pa compry pourquoi
    il se serve pa de mes idee

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  52. Anonyme dit :

    il y a un gro probleme avec ce qu’on mange

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  53. Anonyme dit :

    fer d aparey qui dure longtemps ca fait moins de dechet

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  54. Anonyme dit :

    la douleur est utyl
    se n’est pas notre enemi

    le mal de tete est utyl
    il fo pas l’empeché

    l’empeché est pire qe le mal de tete

    ca ve dire qe ton cor se netoie d toxyne
    et ca fait mal
    bien sur

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  55. Anonyme dit :

    le system se complixify pa mal

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  56. Anonyme dit :

    manger boire se laver aller o toilette est devenu fatygant

    je me lavé avec bocou de dificulté
    c t tres penible
    j’avais plus envie de me laver

    la nourriture est fade
    c penible a manger

    aller est o toilette est devenu une corvé

    g fait une priere pour avoir la force de me laver
    une decharge electric ds le cerveau gauche c opéré

    j’aryve a me laver otomatycment sans souffryr
    je prend ocun plaisir
    c com un robot
    je le fait robotycment

    le bon dieu m’a fait la grace de la penibilité

    g fait une priere pour qe le mal disparaisse de la terre
    ca a pas trop marché aparament

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  57. Anonyme dit :

    il y a encore plein d’usine pas robotyzé
    le semi robotyzation
    ou la robotyzation total
    d tache les plus ingrate et repetitive

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  58. Anonyme dit :

    defiscalyzé l’emprunt pour la maison et la voiture et le materiel informatyc
    c tout simple
    le cout de la vie est tres cher

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  59. Anonyme dit :

    tu vois
    il sont 4 a fer de la compete
    il s’agit de 4idiot
    il sont tous en compete
    l’avenir c la partage de puissance entre ordy
    si il partage la puissance il aryve a environ 28Ghz de puissance

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  60. Anonyme dit :

    competition versus cooperation
    qui l’emporte

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  61. Anonyme dit :

    ce qu’il te dise pas
    c qe c la puissance colective des piece de l’ordy qui compte plus qe la puissance d’un seul morso de l’ordy

    le cache l1 l2 l3 est généralement pety

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  62. Anonyme dit :

    une fois qe ta un comportement de renfermement
    si impossible de te fer d amy
    tu te desociabilise

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  63. Anonyme dit :

    coupe ongl et razoir
    avec un sac pour recuperer les dechet

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  64. Anonyme dit :

    ca peut etre barbant
    la facon don son fait les cours
    c triste c long d fois tu comprend rien
    tout est abstrait tout est teoryc tu bouge pa de ta chaise
    les cours sous forme de jeu
    esayé les cours sous forme de jeu

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  65. Anonyme dit :

    rien qe fer lever le bras en fin de cours
    fer le ver le bras en demandant a ce qui comprenne rien de lever le bras

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  66. Anonyme dit :

    ya un moment je regarde
    le prof avait melanger tout les explication
    les 4 pety tablo été melanger
    je refleshyssait pour comprendre
    après je m »aperçoit qu’il a tout melanger
    on sait plus ou été la tete ou la que

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  67. Anonyme dit :

    double vitrage et triple vitrage
    les gens se rende pa compte qu’il fo porter ca
    c pas leger

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  68. Anonyme dit :

    g régulièrement d maux de tete infernal
    a la longue j’en pe plu

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  69. Anonyme dit :

    tout les papier soi le fer sur papier soi sur ordy par internet soi par un agent admi qd ta un andicap
    tou les papier public et privé on c 3 possibilité

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  70. Anonyme dit :

    mon prof de math universitaire

    a rezolu une matrice

    le calcul final

    était 0x=0

    le prof a ecrit x=0

    ce qui est totalment fo

    x= ds les math ancienne version vo tout les nombres plus qu’un otre

    dc il y a une incoherence

    le prof de math universitaire est incoherent

    0x=0

    x=0/0 tout les ancienne math ca pose problem

    de ce constat

    g lu 30 000 site internet

    un site proposait

    de dire si

    1/0 exyste alors 0phi=1 est vrai

    tout en pensant qe c impossible

    il dy c impossible

    mais il m’a ouvert la voix a la vérité

    0p=1 est vrai ds un nouvelle ensemble de nombre qui inclus les reel

    les complexe inclus les reel

    les complexe n’inclus pas les neo complexe et les neo complexe inclus pas les complexe tout deux inclus les reel

    les super complexe inclus complexe et neo complex

    les qaternion inclus les complexe
    les neo qaternion inclus les neo complexe

    neo qaternion et qaternion sont inclus ds les super qaternion

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  71. Anonyme dit :

    pour la scolarité
    on fait d tartine a toute les soce
    il fo bocou de mémoire
    il y a un moment ou le cerveau est saturé

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  72. Anonyme dit :

    chretien musulman juif
    c le mem dieu
    pourquoi se bate t’yl ensemble or qe c le mem dieu
    c absurde

    les frontiere d’un pays
    c une construxion mental

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  73. Anonyme dit :

    https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ponge_de_Menger
    l’eponde de Mandelbrot
    permet un processeur 3d et sa ventilation optimal pour right here right now

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  74. Anonyme dit :

    créer un site nomé la boite a idee du net et d invention en idee

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  75. Anonyme dit :

    si tu fait une usine
    c plu lojic d’avoir d ouvrier a mon avis

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  76. Anonyme dit :

    une raison lojic
    pour capitalisé une usine

    c qe demarer sans capital
    ou a credit
    c ryské

    je pense qe l’etat devrait donner un capital de 250 000 euro
    pour la création d’usine
    fo achter
    d machine
    un batyment
    d bureau
    d chaise
    d ordy
    du materiel en tout genre
    fo payer des ouvrier

    sans capital de depart t’aryve pas a fer tout sa

    comment ve tu fer

    tout en sachant qe 4 sur 5 ce casse la figur

    je pense qe capitalisé une entreprise permet a l’entreprise de survivre mieux

    regarde

    tu capitalise une usine de 250 000euro

    l’usine emboche
    l’usine pay
    d taxe
    de l’ursaf
    de l’impot
    de la taxe professionnel qui te fourny d gens pas former mais ca c pas grave

    l’usine va fer tourner l’economie en produisant d bien et en payant d impot et taxe

    si tu capitalise de 250 000euro

    et qe l’usine paye 100 000euro d’impot
    en trois ans
    l’etat a gagner son paris de recuperer c sou
    son capital de depart
    et a presant une usine fourny bien et argent en impot

    o contraire
    l’aissé les usine sans aide
    elle creve
    c des chomeur en plus
    c des impot en moins

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  77. Anonyme dit :

    en seconde
    g redoublé

    ma premiere seconde
    a la fin de l’annee mes resultat été catastrophique

    c t ma vision qui avait besoin de lunette
    et g t completement sonné mentalment

    je prend d gelul de myrtille pour la vue
    plus besoin de lunette

    ma premiere seconde
    a la fin de l’anne le prof de math fait un teste de qi
    il demande o eleve de trouvé une enygmene mathematique
    personne ne trouve les eleve avec 18 de moyenne en math trouve pas

    o bout d’une minute
    je trouve la solution or qe j’avais 2 de moyenne en math

    il fait fer tourner mentalment le rayon de la bille de le coin anglé aigu
    donnant l’hypothenuse et en utylysant la tangeante

    le prof avait fait express qu’il falait tourner mentalment le rayon pour trouver la solution

    il avait promis un 20 a seluy qui trouve
    mais c t un menteur
    il atenté qe les eleve avec 18 de moyenne trouve et non un 2 de moyenne

    après j’avais l’abitude de trouver d solution variante et alternative ds les calcul

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  78. Anonyme dit :

    qe l’etat passe des pub sur youtube de 45s pour expliquer
    comment bien trier c dechet

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  79. Anonyme dit :

    tu vois le frelon c une grosse abey qui mange d abey
    tu vois l’orc c un gro dauphin qui mange d dauphin
    le chat c une grosse souris qui mange d souris
    ds l’espace il y aura le mem fenomene pour l’homme
    ds mes vision je vois

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  80. Anonyme dit :

    les homme capturé par les sur homme des super predateur
    c homme serve de nourriture ou d’esclage ou pour les experience de piece detaché

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  81. Anonyme dit :

    g imagyné des solution pour les lojiciel de jeu et de travail
    personne m’aide

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  82. Anonyme dit :

    imobilisme generalisé

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  83. Anonyme dit :

    ma mere c coudre et fer d tablo en peinture
    si elle travayairait la deds il gagnerai rien

    je c inventer bocou de chose
    mais j’interresse personne

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  84. Anonyme dit :

    je me sens vyde

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  85. Anonyme dit :

    l’alcool le sucre la drog les medicament le tabac
    qd t’arete tu te sens pas bien

    une fois qe ta pry d neuroleptyc tu pe plu arété
    les otre addixion sont dur a combatre
    le cervo une fois acro a une substance

    ca va etre compliqué de fer machine arriere

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  86. Anonyme dit :

    des idees nazy existe encore
    en europe de l’est il sont extrem droite avec c povre malheueux immigré qui fuy la guerre

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  87. Anonyme dit :

    pas d’acceuil chaleureux
    acceuyi par la haine pure

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