La loi de Poisson… avec des poissons

La loi de Poisson (du mathématicien Siméon Denis Poisson) est une loi de probabilité permettant de mesurer le nombre d’événements qui se produisent dans un intervalle de temps donné, lorsque ces événements sont plutôt rares et indépendants. Par exemple, la loi de Poisson permet de décrire plutôt précisément le nombre X de voitures qui passent dans votre rue dans un laps de temps donné (sauf si vous habitez en face du périph’).

Dans le cas d’une loi de Poisson, la probabilité que $k$ événements se produisent dans un intervalle de temps fixé (par exemple, que 10 voitures passent dans votre rue en une heure) est donnée par la formule:

$P(X=k)= \dfrac{\lambda^k\text{e}^{-\lambda}}{k!}$

où $\lambda$ est un paramètre donné.

C’est une formule étonnante et qui a l’air compliquée… la première fois que je l’ai vue, j’ai vraiment eu le sentiment qu’elle sortait de nulle part. Comment une exponentielle et une factorielle peuvent se retrouver à expliquer plutôt correctement des phénomènes rares ?

Nous allons tenter d’expliquer d’où vient cette expression qui semble tomber du Ciel. Et pour cela, quoi de mieux que des poissons pour illustrer la loi de Poisson ?

La cabane du pêcheur

Tous les dimanches, un pêcheur s’installe au bord d’une rivière pour pêcher la truite cendrée. On sait qu’en moyenne il attrape $\lambda =2,4$ poissons par heure.

Notre pêcheur vient de s’installer à son endroit favori pour commencer sa partie de pêche hebdomadaire. Quelle est la probabilité qu’il attrape k poissons en une heure ? (où k est un entier naturel quelconque).

Ca, c’est de la punchline où je ne m’y connais pas en truites.

Découpages temporels

Tout d’abord, on peut raisonnablement faire les hypothèses suivantes sur cette partie de pêche:

Le fait d’attraper un poisson à une minute donnée est indépendant du fait d’attraper un poisson à la minute suivante
Le pêcheur attrape au plus une truite à chaque minute (le temps de la sortir de l’eau, de la décrocher de l’hameçon et de boire une gorgée de Heineken…)
Le pêcheur a autant de chances d’attraper un poisson à chaque minute, donc la probabilité d’attraper une truite à une minute donnée est $p=\frac{2,4}{60}$ .

Si on découpe une heure en 60 minutes, une heure de pêche revient donc à considérer qu’on répète 60 fois de suite et de manière indépendante une même expérience aléatoire à deux issues (« j’attrape un poisson » ou « je n’attrape pas un poisson ») . Vous reconnaissez ainsi une bonne vieille loi binomiale: si on note X le nombre de poissons pêchés en une heure, alors X suit la loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=\frac{2,4}{60}$ .

Si notre pêcheur attrape 3 poissons en une heure, on peut considérer cela comme 60 expériences d'une minute durant lesquelles soit il attrape un poisson, soit il n'en attrape pas.

Si notre pêcheur attrape k=3 poissons en une heure, on peut considérer cela comme 3 succès lors de 60 expériences aléatoires indépendantes d’une minute chacune.

Si vous vous souvenez de vos années lycée, vous devriez vous rappeler de cette formule pour la loi binomiale:

$\displaystyle P(X=k) = {60 \choose k} \left(\frac{2,4}{60} \right)^k \left(1-\frac{2,4}{60} \right)^{60-k}$

Mais où sont les exponentielles et les factorielles dont je vous ai parlé au départ ? Elles arrivent, patientez encore un peu…

Chasse, pêche, nature et traditions

Il y a peut-être des spécialistes de la pêche (ils sont nombreux à lire ce blog, je le sais) qui vont me dire qu’il se peut qu’un bon pêcheur puisse attraper plus d’un poisson en une minute. Cela remettrait donc en cause notre loi binomiale précédente.

Pour ne pas les contrarier, nous allons affiner notre raisonnement précédent et, au lieu de découper une heure en 60 minutes, nous allons la découper en 3600 secondes (car je doute fort qu’un pêcheur attrape plus d’un poisson par seconde !).

Autrement dit, le nombre X de poissons pêchés suit là encore une loi binomiale, mais les paramètres sont cette fois $n=3600$ et $p=\frac{2,4}{3600}$ . Ainsi, la probabilité de pêcher k poissons en une heure est:

$\displaystyle P(X=k) = {3600 \choose k} \left( \frac{2,4}{3600} \right)^k \left( 1- \frac{2,4}{3600}\right)^{3600-k}$

Mais si on y réfléchit bien, au lieu de découper une heure en 60 minutes ou en 3600 secondes, on peut la découper en $n$ unités de temps quelconques, sans que cela change grand chose si $n$ est assez grand, c’est-à-dire si cette unité de temps est suffisamment petite pour que le pêcheur ne puisse pas attraper plus d’un poisson pendant celle-ci. Ainsi,

$\displaystyle P(X=k) = {n \choose k} \left( \frac{2,4}{n} \right)^k \left( 1- \frac{2,4}{n}\right)^{n-k}$

Si on considère que plus nos intervalles de temps sont fins (c’est-à-dire plus $n$ est grand), plus notre modèle se rapproche de la réalité, alors on peut affirmer que la probabilité de pêcher k poissons en une heure est:

$\displaystyle P(X=k) = \lim_{n \to \infty} {n\choose k} \left( \frac{\lambda}{n} \right)^k \left( 1- \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

(où $\lambda=2,4$ ). Il nous reste à présent à calculer cette limite pour voir apparaître une factorielle et une exponentielle.

Calcul de la limite

La première chose à faire pour calculer cette limite va être d’exprimer le coefficient binomial ${n \choose k}$ en fonction de $n$ et $k$ . Vous n’êtes sans doute pas sans connaître la formule suivante:

$\displaystyle {n \choose k} = \dfrac{n!}{(n-k)! k!} = \dfrac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}$

Nous voyons déjà apparaître notre factorielle. De cela et de quelques manipulations algébriques élémentaires, on en déduit que:

$\begin{array}{ccl} \displaystyle {n \choose k} \left( \frac{\lambda}{n} \right)^k \left( 1- \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} &=& \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k!} \left( \frac{\lambda}{n} \right)^k \left( 1- \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\ & & \\ & = & \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{n^k} \frac{\lambda^k}{k!} \left( 1- \frac{\lambda}{n}\right)^{n} \left( 1- \frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\ \end{array}$

Pour trouver la limite de cette expression quand $n$ tend vers $+\infty$ , il nous suffit donc de trouver la limite de chacun des facteurs de cette expression.

Tout d’abord, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{n^k} = \lim_{n\to \infty} \frac{n^k}{n^k} = 1$ car la limite en l’infini d’une fraction rationnelle est la limite des monômes de plus haut degré.

D’autre part, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\lambda^k}{k!}$ car cette expression ne dépend pas de $n$ .

Ensuite, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n = \text{e}^{-\lambda}$ (c’est donc de là que vient notre exponentielle !). On peut prouver cela de manière élémentaire et j’ai mis les détails en fin d’article pour ceux que ça intéresse.

Enfin, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} = 1$ car $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 1 - \frac{\lambda}{n}=1$ (n’oublions pas que $k$ est fixé et que la limite d’un produit (fini) est le produit des limites).

En mettant cela bout à bout, on trouve ainsi que :

$\begin{array}{cl} \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k} \frac{\lambda^k}{k!} \left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^n \left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^{-k}=& \displaystyle 1\times \frac{\lambda^k}{k!} \times \text{e}^{-\lambda} \times 1 \\ & \end{array}$

Nous retrouvons donc bien la formule annoncée au début de l’article:

$P(X=k) = \dfrac{\lambda^k \text{e}^{-\lambda}}{k!}$

Mais au fait, c’est quoi la différence entre un bon pêcheur et un mauvais pêcheur ?

Notes

L’idée d’expliquer la loi de Poisson en découpant une heure en 60 minutes puis en 3600 secondes vient de ce très bel article (en Anglais): Poisson as a limit case of binomial distribution.
La preuve de la limite de $\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n$ est disponible ici.
Francis Cabrel a vraiment dû fumer (du saumon) avant d’écrire les paroles de sa chanson…

11 commentaires pour La loi de Poisson… avec des poissons

Céline dit :

16 mai 2015 à 16 h 09 min

C’est toujours un petit bonheur de la journée de recevoir un nouvel article. Merci.
Je me le garde pour ce soir…

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- blogdemaths dit :
  
  16 mai 2015 à 16 h 23 min
  
  Dégustez-le bien ! 🙂
  
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François dit :

16 mai 2015 à 23 h 55 min

J’adore les probas car c’est une branche des maths où tout le monde, même les non-matheux ont une intuition de solution des problèmes, et les probas sont souvent là pour balayer les idées reçues. Le soucis c’est que les lois ne sont pas toujours aisées à comprendre, et surtout le choix de telle loi plutôt qu’une autre pour un problème donné est souvent difficile.
Alors merci d’avoir su me provoquer un déclic sur la façon d’expliquer la loi de poisson en 10min de lecture !

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- blogdemaths dit :
  
  17 mai 2015 à 11 h 20 min
  
  Content de voir que cet article vous a été utile !
  
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Maximilien dit :

18 mai 2015 à 18 h 16 min

Merci pour celle belle explication

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Laurent Valade dit :

16 juin 2015 à 22 h 26 min

Excellent article ! Me voilà réconcilié avec la loi de Poisson.
J’ai une idée pour le prochain : la loi normale avec des cloches !
PS : Si je peux me permettre un petit conseil, LaTeX ne reconnaissant pas la virgule comme séparateur décimal, écrire $\lambda = 2{,}4$ au lieu $\lambda = 2,4$, permet d’éviter l’ajout d’une espace fine après la virgule. Mais c’est un tout petit détail !

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- blogdemaths dit :
  
  17 juin 2015 à 21 h 08 min
  
  Merci du conseil, j’y penserai la prochaine fois !
  
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Leon dit :

12 juin 2016 à 23 h 25 min

Merci beaucoup pour votre super billet !
Je suis en terminale et j’apprends tellement de choses intéressantes grâce à votre blog ! Eh oui, la loi Poisson n’est pas/plus au programme des TS, pourquoi ?! L’éducation nationale devrait imposer aux profs des démonstrations tel que la votre haha Je me suis bien plus amusé en la lisant qu’en faisant des exercices avec des formules dont je ne sais pas l’origine et en plus je suis presque sûr de pouvoir la retenir 😉
Bonne continuation !

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- blogdemaths dit :
  
  14 juin 2016 à 20 h 11 min
  
  Merci pour ce retour positif ! 😉
  
  Pour tout dire, ce n’est pas « ma » démonstration (je n’invente rien !) mais je suis content de voir qu’elle est compréhensible même par des lycéens !
  
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ogerard dit :

2 mai 2020 à 18 h 38 min

Bravo pour cet article où les poissons suivent la loi de Siméon. Il ne manquerait plus que d’expliquer le crochet avec une histoire d’hameçon. En fait, je ne sais pas si les poissons sont aussi affectueux que le dit Cabrel, mais en tout cas une autre chanson l’affirme : « la maman des poissons, elle est très gentille ».

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grv dit :

18 juin 2022 à 11 h 20 min

bonjour je ne comprends qu’elle est le résultat du coup du calcul, combien de poisson peut on donc pêcher en une heure alors ?

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