100 patates !

Voici un petit problème amusant. Arriverez-vous à en trouver la bonne réponse ?

Un agriculteur possède un tas de 100kg de pommes de terre. Elles sont composées de 99% d’eau et d’1% de matière sèche. Il laisse son tas de pommes de terre sous le soleil. Quand il revient le lendemain, il constate qu’il y a eu déshydratation et l’eau ne représente plus que 98% de son tas de pommes de terre.

Question: quelle est la nouvelle masse totale du tas de pomme de terre ?

une patate

Une patate.

une autre patate

Une autre patate (dans la lucarne, celle-ci).

Une patate, ça trompe énormément

Les réponses classiques données par les gens à qui on soumet ce problème sont: 98kg ou 99kg (mais plus 98kg j’ai l’impression, vu ce que m’ont répondu les gens à qui j’ai posé ce problème). Vous vous doutez bien que ces réponses sont trop simples pour être vraies. Et c’est parce que la vraie réponse ne correspond pas à cette intuition que ce problème s’appelle aussi le paradoxe des pommes de terre.

Le (faux) paradoxe se situe essentiellement dans une mauvaise compréhension de la situation: quand on parle d’un pourcentage, par rapport à quoi il s’applique ? (si certains journalistes tombent sur ce blog (pourquoi pas !), il serait bon qu’ils essayent de comprendre le principe des pourcentages… sait-on jamais, ça pourrait servir !).

Un bon schéma vaut mieux qu’un long discours

Représenter un problème avec un schéma, c’est déjà une bonne partie de la résolution.

Schema_paradoxe_pommes_de_terre

On représente le tas de patate avec un rectangle (!). La partie bleue représente l’eau contenue dans le tas de patates et la partie rose représente la matière sèche.

Une point essentiel de ce problème est que la masse de la matière sèche des pommes de terre n’a pas changé lors de la déshydratation. Mais bien que cette masse sèche n’ait pas changé, le pourcentage qu’elle représente évolue bel et bien, et en l’occurrence il augmente ! (C’est sans doute ce point précis qui nous induit en erreur et nous fait avoir une intuition fausse.)

Pour résoudre ce problème, nous allons donc utiliser le fait que cette masse soit constante. On appelle x la masse totale des pommes de terre après déshydratation (c’est-à-dire la masse sèche plus la masse d’eau). La masse sèche valait 1% de 100kg c’est-à-dire 1kg avant déshydratation. Elle vaut toujours 1kg après déshydratation. Mais après déshydration, la masse sèche représente cette fois 2% de la masse totale, d’où l’égalité:

2\% \times x = 1 \text{ kg }

Bon, là, on arrive sur une équation du premier degré à une inconnue qu’on s’empresse de résoudre tellement le suspense de ce problème est insoutenable:

x = \dfrac{1}{2\%}

C’est-à-dire x = 50 \text{ kg } !

Résumé

Nous voyons donc que lorsque le pourcentage d’eau diminue d’1%, la masse totale des patates diminue de moitié (soit de 50kg) ! C’est plutôt inattendu.

Bon, je vous laisse, ça m’a donné faim toutes ces maths.

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4 commentaires pour 100 patates !

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  2. Nheips dit :

    Bonjour monsieur-qui-est-assez-fou-pour-mettre-PI-sur-son-fond-de-page, il a un problème dans votre raisonnement.
    Vous dites, je cite « .. Une point essentiel de ce problème est que la masse de la matière sèche des pommes de terre n’a pas changé lors de la déshydratation. Mais bien que cette masse sèche n’ait pas changé, le pourcentage qu’elle représente évolue bel et bien, et en l’occurrence il augmente ! (C’est sans doute ce point précis qui nous induit en erreur et nous fait avoir une intuition fausse.)

    Pour résoudre ce problème, nous allons donc utiliser le fait que cette masse soit constante.  »

    Ce problème étant, je cite « quelle est la nouvelle masse totale du tas de pomme de terre ? »

    Or, vous ne pouvez pas considérer une constante de x (ici MS ou matière sèche) dans un problème où la question tourne autour sa variation… C’est juste n’importe nawak ! dafuq ?

    Pourquoi ? Car lors de la déshydratation des patates, la masse et le volume d’eau diminuent tout deux. Alors que la masse de MS augmente et donc son volume. le ratio du VOLUME étant de 1/100 pour 1 m3 d’eau disparu, par exemple, on a 1/100 de m3 de MS en plus (dans CE problème bien sûr, cela ne reflète pas la réalité). De toute façon on ne connaît que le pourcentage en VOLUME d’eau et de MS et non leur masse. La masse volumique intervient ! Ce n’est parce que j’ai 100kg de patate, dont 1% de MS, qu’il y a 1kg de MS au début. Il faut connaître le volume de patate au début, sans ça, le problème est insolvable. Et franchement, je ne connais pas la masse volumique d’une patate douce du terroir…

    Maintenant,si l’énoncé était un peu mieux écrit, et qu’il était comme suit : »Un agriculteur possède un tas de 100kg de pommes de terre. Elles sont composées de 99 KILOGRAMMES d’eau et d’1 KILOGRAMME de matière sèche. Il laisse son tas de pommes de terre sous le soleil. Quand il revient le lendemain, il constate qu’il y a eu déshydratation et l’eau ne représente plus que 98% de son tas de pommes de terre. »

    A ce niveau-là, le raisonnement que tu utilises a plus d’incidences et est plus judicieux mais toujours INCORRECT car le volume de MS change, sa masse aussi. MAIS dans ce cas-là, le volume a toujours une incidence ENORME,==> POURQUOI ? Car on sait que dans des conditions STP la masse volumique de l’eau est +- 1kg/dm3 et 1dm3 c’est..PATAPOUF 1litre, donc on aurait 99 litres ou 99 dm3 d’eau. Mais si on sait qu’il y a 1KG de matière sèche, QUEL est son volume ? On ne sait pas, ==> POURQUOI ? Car on ne connait pas sa masse volumique ou celle des 100kg de patates ou le volume de patate.

    Conclusion : Reformuler l’énonce !

    Allons un peu plus loin :
    1ère option, en considérant la MASSE:
    On considère que la masse de MS ne change pas, pourquoi ? J’en sais rien, lol. j’imagine un bassin de 99 kg d’eau avec une boule hydrophobe de 1kg au fond… xD En gros, si en revenant le fermier ne retrouve plus que 98 kg d’eau, on a bien toujours ce kg hydrophobe au fond qui flotte pas, pourquoi ? Car j’en ai envie, ce serait bizarre que ça flotte.
    De toute façon dans ce cas-là il reste bien 99kg de « patate » même si ce sont de drôles de patates xD…
    2ème option, en considérant le VOLUME:
    On considère que la masse de MS ne change pas, pourquoi ? Très bien. On sait qu’il n’y a non plus 99kg d’eau mais 99% d’eau, et 1% de MS, le volume des 100kg est X, soit l’eau a un volume de 99X/100 et la MS 1X/100. Le fermier revient… Il trouve 98X/100 d’eau(X est le volume initial) et 1X/100 de MS, la masse ne MS ne change pas, sans raison à nouveau !!!!! Donc ce 1% de X représente 1/99 X du volume FINAL ou 2% du volume FINAL comme tu l’as écrit. Et ainsi, on cherche la variation du volume. Mais on est dans la merde car on ne connaît toujours pas le volume initial.

    Je regarderai un peu tes autres articles, j’aime bien les raisonnement mathématiques. 🙂 Tchao tchao. Une chose : l’erreur la plus fréquente lors de la résolution d’un énoncé est la lecture de l’énoncé. J’ai été beaucoup mis en situation d’échec ou presque-échec suite à une mauvaise lecture d »énoncé. Heureusement d’ailleurs, mais bon après, y’a toujours des meilleurs prof hohoho. Pas que je dise que mes profs sont les meilleurs mais ils sont très bons 🙂 Maintenant je rentre à l’unif’, donc ça va changer !

    • Nheips dit :

      Merde désolé, j’ai écrit de la merde ! nooooooon. Je suis fatigué, pourquoi on peut aps modifier dans ce foutu wordpress ? le volume et la masse de MS ne changent pas !!! Mais de toute façon ça ne change rien à ce que j’ai dit à propos de la masse volumique.
      Et on ne connait toujours pas le volume du sac initial !

  3. Maxwell dit :

    Salut à toi, j’ai trouvé ce lien sur mon forum, alors je viens voir… Et je vais vous rendre la même réaction ici. Les références acquises dans ce bel article n’ont décidément pas l’air d’être vraiment au point : maxjeu.com, en plus d’être relativement obscur (pour ne pas dire parfaitement inconnu) et pas franchement bien codé, ne présente strictement aucun des cours proposés dans sa liste. Quant au second, c’est le lien vers le livre de l’auteur du même site… Ledit livre n’a visiblement reçu aucun avis sur Amazon et n’a pas l’air en vente ailleurs, ce qui tend à dire qu’en fait de Bible, il s’agit au demeurant d’un triste bouquin qui ne se vend pas. Du grand Cortex 2.0. L’article en soi est très bien mais les références proposées ne me font ni chaud ni froid. https://jeux2mmo.wordpress.com/2017/04/22/skyforge-un-mmorpg-intense-et-violent/

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