En 2018, le facteur ne passera pas deux fois

Vous trépignez à l’idée de savoir ce que renfermera l’année 2018 du point de vue mathématique ? Vous n’en pouvez plus d’attendre de savoir ce que 2018 va nous réserver ? Je ne vous fais pas attendre plus longtemps: cette année 2018 sera exceptionnelle car 2018 est un nombre pair ! Cela faisait un an que cela n’était plus arrivé ! Génial ! Bonne année !

Si vous tournez la tête à 90°, vous pourrez voir que 2018 contient l’infini !

2018, une année banale ?

Trêve de plaisanterie, et voyons quelles propriétés le nombre 2018 possède. Malheureusement, il n’en a pas tant que cela qui fasse de lui un nombre à part mais vous allez voir que, malgré tout, 2018 arrivera quand même à se distinguer…

Tout d’abord, citons une propriété du nombre 2018 que je trouve particulièrement jolie: il peut s’écrire comme la somme des carrés de deux nombres premiers, et, plus précisément,

2018 = 13^2 + 43^2

Autre propriété intéressante de 2018: ce n’est pas un nombre premier, certes, mais c’est un nombre composé (non premier) sans facteur carré, c’est-à-dire qu’il s’écrit comme le produit de plusieurs nombres premiers distincts

2018 = 2 \times 1009

Cependant, cela était déjà le cas en 2014 et en 2015 qu’une année soit sans facteur carré (2014 = 2 \times 19 \times 53 et 2015 = 5 \times 13 \times 31; vous pouvez d’ailleurs lire l’article que j’avais consacré en 2014 sur les nombres sans facteurs carrés si le sujet vous intéresse). Mais chaque année a sa particularité et 2018 se distingue des années précédentes car, en plus d’être un nombre composé sans facteur carré, la somme des ses diviseurs est aussi un nombre sans facteur carré ! Et ça, vraiment, c’est remarquable ! Pour dire, avant 2018, il n’y a eu que 32 années depuis l’an I qui étaient des nombres composés sans facteur carré dont la somme des diviseurs était aussi un nombre sans facteur carré !

Qu’est-ce que cela veut dire ?

Si cette propriété que vérifie 2018 vous semble encore floue, voyons voir ce qu’elle signifie. Les diviseurs (positifs) de 2018 sont 1, 2, 1009 et 2018 donc la somme de ces diviseurs est

1 + 2 + 1009 + 2018 = 3030

et cette somme est aussi un nombre sans facteur carré car, comme vous pouvez le constater ci-dessous, elle s’écrit comme le produit de plusieurs nombres premiers distincts:

3030 = 2 \times 3 \times 5 \times 101

C’est bien cela qui est remarquable ! La dernière fois qu’une année vérifiait cette propriété, c’était en 1994 (il y a 24 ans !). En effet, 1994 est bien un nombre composé sans facteur carré:

1994 =2 \times 997

Ses diviseurs sont 1, 2, 997 et 1994 donc la somme de ses diviseurs est

1+2+997+1994 = 2994

Cette somme des diviseurs est bien elle-même un nombre sans facteur carré car

2994 = 2 \times 3 \times 499

Si vous observez bien, vous pouvez trouver un point commun à 2018 et 1994: ces deux nombres sont de la forme 2 \times pp est un nombre premier. Cela n’est pas un hasard et nous allons voir que si une année est comme 2018 (c’est-à-dire que c’est un nombre composé sans facteur dont la somme est aussi un nombre sans facteur carré) alors nécessairement elle est de la forme 2 \times p (avec p premier).

Interlude: somme des diviseurs

Avant de poursuivre, intéressons-nous un peu plus à la notion de somme des diviseurs d’un nombre. Une première remarque: si un nombre p est premier, il ne possède que deux diviseurs positifs, à savoir 1 et lui-même. Dans ce cas, la somme des diviseurs de p (que l’on note traditionnellement \sigma(p)) est

\sigma(p) = 1+p

Par exemple, la somme des diviseurs de 5 est \sigma(5) = 1+5= 6 et la somme des diviseurs de 7 est \sigma(7)=1+7=8.

Une deuxième remarque : la somme des diviseurs est multiplicative. Cela signifie que si deux nombres n et m sont premiers entre eux, alors \sigma( n \times m) = \sigma(n) \times \sigma(n). Nous admettrons cette propriété (qui n’a rien d’évident, je vous rassure !) mais voyons un exemple d’application: pour trouver la somme des diviseurs du nombre 35, il suffit de remarquer que 35 est le produit des deux nombres premiers 5 et 7. Ainsi, puisque 5 et 7 sont premiers entre eux, alors

\sigma(35)=\sigma(5 \times 7) = \sigma(5) \times \sigma(7) = 6 \times 8 = 48.

Vous pouvez aussi le vérifier directement car les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35 et leur somme est 1+5+7+35=48.

Une petite démonstration pour commencer 2018

Nous sommes à présent en mesure de prouver pourquoi 2018 était forcément de la forme 2 \times p. ATTENTION: si vous n’avez toujours pas décuvé de votre réveillon et que vos yeux ont du mal à rejoindre leurs orbites, n’hésitez pas à passer au paragraphe suivant !

Si un nombre N est un nombre composé sans facteur carré, alors il peut s’écrire

N= p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n

où les p_i sont des nombres premiers distincts. D’après ce qu’on a dit, comme les p_i sont premiers entre eux deux à deux, la somme des diviseurs de N est

\sigma(N) = \sigma(p_1) \times \sigma(p_2) \times \cdots \times \sigma(p_n)

c’est-à-dire

\sigma(N) = (1+p_1) \times (1+p_2) \times \cdots \times (1+p_n)

S’il y avait au moins deux nombres premiers impairs p_i et p_j alors 1+p_i serait divisible par 2 et, de même, 1+p_j serait divisible par 2 ce qui fait que \sigma(N) serait divisible par 2\times 2 = 2^2. Autrement dit, la somme des diviseurs de N ne pourrait pas être sans facteur carré !

Nous avons donc prouvé que si N est un nombre composé sans facteur carré dont la somme des diviseurs est aussi un nombre sans facteur carré, alors il possède strictement moins de deux diviseurs premiers impairs. Mais comme N est composé, il possède au moins deux diviseurs premiers. La seule possibilité est donc que N possède exactement deux diviseurs premiers: l’un pair et l’autre impair, c’est-à-dire que N est de la forme N=2 \times pp est un nombre premier impair.

Quand Jeanne Calment avait failli manqué cela…

Nous avons donc vu que si une année est un nombre composé sans facteur carré et que la somme de ses diviseurs est aussi un nombre sans facteur carré, alors forcément elle est de la forme 2\times p (où p est premier impair). C’est le cas de 2018 et de 1994 mais il faut faire attention cependant: ce n’est pas parce qu’une année est de la forme 2 \times p que la somme de ses diviseurs est sans facteur carré. Par exemple, l’année 1982 était bien de la forme 2 \times p (1983 = 2 \times 991) mais la somme de ses diviseurs, à savoir le nombre 2976, n’est pas sans facteur carré car 2976 =2^5 \times 3 \times 31.

Le fait que N soit de la forme 2 \times p est donc une condition nécessaire, mais non suffisante. On peut affiner cette condition nécessaire en démontrant que si un nombre composé N est sans facteur carré et que la somme de ses diviseurs est elle aussi sans facteur carré, alors non seulement N=2\times p avec p premier impair, mais en plus on doit avoir p \equiv 1 \mod[12], c’est-à-dire que p doit être de la forme p=12k + 1 (voir en fin d’article pour une démonstration). Cela implique alors que N= 2 \times p = 2 \times (12k  +1) et donc une année qui vérifie cette propriété est nécessairement de la forme 24k + 2.

Cette condition ne sera sera toujours pas suffisante (un contre-exemple serait l’année 1154=2 \times 577 avec 577 qui est bien congru à 1 modulo 12 mais \sigma(1154) = 1734 = 2 \times 3 \times 17^2 n’est pas sans facteur carré), mais elle a le mérite de nous informer que des années comme 2018 ne se produisent au minimum que tous les 24 ans… Cet intervalle de 24 ans est un seuil minimal mais il se peut qu’il se passe beaucoup plus de temps. Par exemple, aucune année n’a vérifié cette propriété entre 1874 et 1994. Pour dire, Jeanne Calment (1875-1997) a dû attendre de fêter ses 119 ans pour pouvoir vivre une année qui vérifie cette propriété !

Tout le monde n’est donc pas 2018 et pour retrouver une année qui possède cette propriété étonnante, il faudra attendre 2042. Alors, en attendant, profitons bien de cette année 2018…

Bonne année à tous !

Notes:

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6 commentaires pour En 2018, le facteur ne passera pas deux fois

  1. Servane dit :

    Merci pour ce premier article et pour votre blog toujours très pertinent. Bonne année 2018 avec une référence bibliographique que vous connaissez put-être déjà: Le dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, Daniel Lignon, où il est notament question de nombres heureux, chanceux…
    Servane

  2. Anonyme dit :

    Bonsoir et bonne année.

    Pourquoi avoir admis la propriété de multiplicativité ? Elle est assez simple à prouver dès lors que l’on sait décomposer un naturel en produit de facteurs premiers.

    Si besoin, je peux la rédiger ici en réponse.

    De nouveau merci pour ce blog.

  3. Anonyme dit :

    Pour faire écho à la propriété de 2017 de se décomposer en somme de trois puissances troisièmes, 2018 se décompose en somme de quatre puissances quatrièmes : 2018=2⁴+3⁴+5⁴+6⁴ 🙂 Si l’on impose à ces puissances d’être distinctes, ça n’était pas arrivé depuis 2003 et cela n’arrivera plus avant 2178 (https://oeis.org/A176197) !

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