Pourquoi 1+1=2 ?

Quand on dit aux gens qu’on fait des mathématiques , on a parfois droit à deux types de réactions. Soit on a droit au plaisantin qui nous fait une blague du type « Calcule-moi le cosinus de la racine carrée de Pythagore lolololol ». Soit on a droit au sceptique qui nous dit « J’ai jamais rien compris aux maths. D’ailleurs, pourquoi 1 et 1 font deux ? Qui me dit que c’est vrai ? »

Je vais soigneusement laisser de côté le calcul du cosinus de la racine carrée de Pythagore, et je vais essayer d’expliquer dans cet article pourquoi 1+1=2. Et comme on est des fous, on montrera même que 2+2=4.

De quoi parle-t-on ?

Prenons l’expression «1+1=2» (en mathématiques, on parle de prédicat ou de proposition). Avant de pouvoir dire si elle est vraie et pourquoi elle est vraie, essayons de comprendre ce qu’elle veut dire. Il y a quatre symboles différents dans cette expression. Le symbole «1», le symbole «2», le symbole «+» et le symbole «=». Si vous espérez savoir si 1+1=2, mieux vaut savoir ce que veut dire chacun de ces symboles. Et pourtant, si vous demandez leur signification à la personne qui vous questionne là-dessus, nul doute qu’elle ne saura quoi répondre. Faites le test. Demandez à votre interlocuteur ce que signifie chaque symbole. Riez.

Avant donc de montrer que «1+1=2», nous allons donc définir ce qu’on entend par cette expression. Il y a une jolie citation mathématique (due à un certain M. Sussman qui s’appelait Hector ou Gerald, je ne sais pas trop) qui dit:

En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d’appeler un opérateur auto-adjoint un « éléphant » et une décomposition spectrale une « trompe ». On peut alors démontrer un théorème suivant lequel « tout éléphant à une trompe ». Mais on n’a pas le droit de laisser croire que ce résultat a quelque chose à voir avec de gros animaux gris.

On peut donner tous les noms qu’on veut à des concepts mais il faut bien savoir de quoi on parle au final.

Qu’est-ce qu’un nombre ?

Je vais essayer d’expliquer comment les nombres entiers naturels (0, 1, 2, …) sont définis. Et croyez-moi, il y a du boulot. Plus un concept est basique, plus il faut retourner aux coeur des fondements.

Rappelons que les mathématiques sont une science déductive, basées sur un système d’axiomes. Cela signifie qu’on prend pour vrais un certains nombres d’énoncés de base (on ne les démontre pas. D’ailleurs à partir de quoi on les démontrerait ?) et à partir de ceux-ci, on en crée de nouveaux via des raisonnements logiques (au sens de la logique mathématique). Les axiomes de base des mathématiques d’aujourd’hui sont les axiomes donnés par deux mathématiciens qui s’appelaient Zermelo et Fraenkel. L’ensemble des axiomes qu’ils ont donné s’appelle la théorie ZF et sont à la base de la théorie des ensembles. Un des axiomes de cette théorie est le suivant:

  • Axiome 1. Il existe un ensemble sans élément, qu’on appelle ensemble vide et qu’on note \emptyset.

Nous sommes en mesure de construire le nombre 0. Par définition, on définit le nombre zéro (et on note 0) comme étant l’ensemble vide. De manière symbolique, on écrirait:

0:=\emptyset

Pour construire les autres nombres, nous aurons besoin d’autres axiomes:

  • Axiome 2. Si x est un ensemble, il existe un ensemble qui contient x. On le note {x}.
  • Axiome 3. Si x et y sont deux ensembles, il existe un ensemble qui contient tous les éléments de x et tous les éléments de y. On le note x \cup y.

Grâce à ces axiomes, nous pouvons construire un autre entier à partir de 0. Cet entier, nous l’appelerons un. Par définition, le nombre un (noté encore 1) sera l’ensemble:

1:= 0 \cup \{ 0\}= \emptyset \cup \{ \emptyset \}

De la même façon, on définira le nombre deux (et on le notera 2) à partir du nombre 1:

2:= 1 \cup \{ 1 \}

Si vous voulez une écriture explicite des nombres 1 et 2, vous pouvez remarquer que 1 = \{ \emptyset \} =\{ 0 \} et que 2 = \{ \emptyset, \{ \emptyset\} \} = \{ 0; 1\} . De la même façon, on définirait le nombre 3 comme étant l’ensemble 2 \cup \{2\} et on vérifierait que 3 = \{ 0;1;2\}.

Représentation des nombres 0, 1 et 2 avec des ensembles.

Représentation des nombres 0, 1 et 2 avec des ensembles.

A partir de là, on pourrait dire qu’on construit tous les nombres entiers « ainsi de suite »,  mais ce serait un peu de l’escroquerie. On va donc essayer d’être précis. On donne la règle formelle de construction suivante:

  • Définition 1. Si x est un nombre, on définit l’ensemble s(x):=x\cup \{x\} et on l’appelle le successeur de x.

Par définition, on a s(0)=1 (le successeur de 0 est 1), et s(1)=2 (le successeur de 1 est 2). L’expression s(x) signifiera plus tard  x+1 (on le démontrera) mais pour l’instant on ne le sait pas. Ainsi, on construit tous les nombres avec cette règle. Dès qu’on a construit un nombre x, on en construit un nouveau en prenant s(x). Nous pouvons donc donner la définition d’un nombre:

  • Définition 2. On dit qu’un ensemble x est un nombre si:
    a) Soit x=0
    b) Soit il existe un nombre y tel que x=s(y).

L’ensemble de tous les nombres

Le problème qui se pose à présent est: peut-on parler de l’ensemble de tous les s(x) ? Peut-on regrouper tous ces nombres que l’on construit au fur et à mesure dans un même ensemble ? Peut-parler de l’ensemble \{ s(x), x \text{ est un nombre}\} ? Eh bien, on ne peut pas le démontrer et pour pouvoir parler de cet ensemble, il nous faut un axiome supplémentaire. C’est qu’on appelle l’axiome de l’infini:

    • Axiome 4. Il existe un ensemble I tel que:
      a) I contient \emptyset
      b) Si x est un élément de I, alors x \cup \{ x \} est aussi un élément de I.

Cet axiome impose en fait l’existence d’au moins un ensemble infini. Parmi tous ces ensembles qui contiennent x \cup \{ x \} dès qu’ils contiennent x (on parle d’ensemble inductif), nous prendrons le plus petit au sens de l’inclusion. Bien entendu, il faudrait prouver qu’il existe un ensemble minimal pour cette propriété mais nous l’admettrons. Cet ensemble minimal sera ce qu’on appelle l’ensemble des nombres entiers naturels. La tradition et l’usage veulent qu’on note cet ensemble \mathbb{N}. Cette minimalité se traduit par la propriété suivante:

  • Théorème 1. Si I est un ensemble contenant \emptyset et tel que x \in I \Rightarrow x \cup \{x \} \in I alors \mathbb{N} \subset I.

Fonction successeur

Nous avons donc construit l’ensemble des nombres entiers naturels et en plus de cela, on obtient une fonction s qu’on appellera successeur,  à savoir:

\begin{array}{cccc}  s: & \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{N}\\  & x & \mapsto & s(x) = x \cup \{ x \} \\  \end{array}

Il était important de pouvoir définir l’ensemble de tous les nombres justement pour pouvoir définir cette fonction (une fonction est définie avec un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée précis). Comme je l’ai dit plus haut, cette fonction représentera l’opération consistant à ajouter 1. Elle possède des propriétés remarquables:

  • Théorème 2. La fonction s vérifie les propriétés suivantes (appelées parfois axiomes de Peano):
    a) \forall x \in \mathbb{N}, s(x) \neq 0
    b) s(x)=s(y) \Rightarrow x=y
    c) Si S est un ensemble inclus dans \mathbb{N} tel que \forall x \in S, s(x) \in S alors S=\mathbb{N}.

Traduction: Le point a) nous dit que 0 n’est le successeur de personne. Le point b) nous dit que la fonction successeur est injective: si deux nombres ont le même successeur, alors ils sont égaux. Le point c) est une conséquence du théorème 1 et s’appelle parfois le raisonnement par récurrence.

Jusque-là, nous avons défini ce que sont les nombres et ce qu’est le successeur d’un nombre. Nous sommes parés pour définir ce qu’on appelle l’addition de deux nombres.

Addition

Ce que nous voulons ici, c’est pouvoir définir une fonction (qu’on appellera l’addition) qui, à deux entiers naturels n et m associe un nouvel entier naturel qu’on notera n+m. Si possible, on aimerait que cette fonction addition vérifie la propriété « Addition de 1 et de 1 égale 2» ainsi que « Addition de 2 et de 2 égale 4». Cette fonction sera définie par récurrence, mais il faut bien prendre garde à ce que cela soit possible (eh oui, rien n’est évident et tout est à prouver !). Pas de panique car on peut montrer le théorème suivant:

  • Théorème 3. Soit A un ensemble, a \in A  et F une fonction de A dans lui-même. Alors il existe une unique fonction f: \mathbb{N} \rightarrow A telle que:
    a)
    f(0)=a
    b) \forall n \in \mathbb{N}, f(s(n)) = F(f(n)).

Si vous n’avez rien compris ne vous inquiétez pas, ce théorème signifie simplement qu’il est possible de définir une fonction par récurrence à partir d’un élément de départ et d’une relation de récurrence (!). (dans l’énoncé de ce théorème, l’image par f du successeur de n est définie à partir d’une expression dépendant de f(n) qui est supposé déjà défini).

On se donne à présent un entier naturel n. Nous allons définir ce que veut dire d’ajouter n à un nombre; autrement dit, on va définir la fonction « Addition par n » et cela se fait par récurrence:

  • Définition 3. On définit l’expression n+m par récurrence par:
    a) si m=0, n+m = n
    b) si m=s(m'), n+m= s(n+m')

Autrement dit, cette définition (b) nous dit que pour trouver n+m, il suffit de prendre le successeur de n+ (m-1) (ici, m' représente m-1 puisque m est le successeur de m'). Nous pouvons remarquer, comme annoncé plus haut que n+1 = s(n) car n+1 = n + s(0) = s(n +0) = s(n).

(Remarque: Pour ceux qui se demandent, pour définir l’addition rigoureusement on a utilisé le théorème 3 précédent en prenant A=\mathbb{N} et F=s.)

Voilà, nous avons donc défini l’expression n+m pour tout n et m ! Non sans mal… Mais ce n’est pas fini. Il reste à prouver le plus important. Notre cerise sur le gâteau.

Alors, pourquoi 1+1=2 ?

  • Théorème 4.  Les propositions suivantes sont vraies:
    a) 1+1= 2
    b) 2+2=4

Démonstration: On utilise la définition de l’addition donnée précédemment. Rappelons simplement que le successeur de 0 est 1, que le successeur de 1 est 2, que le successeur de 2 est 3 et que le successeur de 3 est 4.

a) 1+1 = 1+s(0) = s(1 + 0) = s( 1 ) = 2

b) 2+2 = 2 + s(1) = s( 2 + 1 ) = s( 2 + s(0) ) = s( s( 2+ 0) ) = s( s( 2) ) = s( 3) = 4

Q.E.D.

Notes:

Nous avons dit que l’axiome 4 s’appelle l’axiome de l’infini. Les axiomes 1, 2 et 3 portent aussi des noms: l’axiome 1 est l’axiome de l’ensemble vide, l’axiome 2 est l’axiome de la paire (enfin ici, une conséquence), l’axiome 3 est l’axiome de la réunion.

Il y a des axiomes que nous avons utilisé implicitement ici sans les mentionner afin de ne pas alourdir la présentation. La liste complète des axiomes de la théorie ZF est ici.

Si j’ai le temps, je posterai les démonstrations des théorèmes 1, 2 et 3 pour les curieux qui ne sont toujours pas convaincus… Il y en a toujours ! J’espère cependant avoir convaincu la plupart de mes lecteurs que 1+1=2.

Publicités
Cet article, publié dans logique, Nombres, est tagué , , , . Ajoutez ce permalien à vos favoris.

27 commentaires pour Pourquoi 1+1=2 ?

  1. Bregeon dit :

    Ne vous rendez-vous pas compte que c’est avec ce genre de réponse que vous rendez les gens encore plus sceptiques, sauf les convaincus!

  2. MW dit :

    Très joli article, et bravo pour ce blog en général.

    Il y a une petite erreur dans la définition récursive de +: a) si m=0, alors n+m=n (et non 0). Et une petite remarque typographique: l’ensemble vide n’est pas un zéro barré, mais une cercle barré (\varnothing en \LaTeX).

    • blogdemaths dit :

      Merci pour ce commentaire !

      En effet, il faut lire n+m=n, je rectifie de suite cela.

      A propos de l’ensemble vide, j’utilise pourtant la commande \emptyset qui est censée donner un ensemble vide… étrange !

  3. Anonyme dit :

    Très bon article.
    Merci

  4. Je pense c’est très suffissant avoir évidence de 1+1=2. Ta démonstration est réellement montrer l’évidence de cette realité. C’est-à-dire, tu a fait d’une manière complexe le même qu’on pourrais faire quand on prends une pomme, on le met dans un sac avec une autre pomme et, voilà!, tu a deux pommes.

    Alors, c’este que je croix: il n’existe aucune démonstration pour cela, 1+1=2, mais on doit croire que cela est vrai, parce que l’évidence le montre vrai. (Pourrez-vous savoir que je me dit « intuitionniste »).

    Merci. Excellent blog. 😀

  5. Anonyme dit :

    Bjr,malgrè la démostration, et vu certains commentaires « intuitionnistes », on voit qu’il reste beaucoup à faire pour ques les gens comprennent ce que sont les maths.
    Bon courage

  6. Napoléon dit :

    Il me semble qu’il y a une erreur : Théorème 2 c) , j’ai un contre-exemple : l’ensemble S={1,2,3,…}. On a bien pour tout x dans S, s(x) dans S, mais S!=IN . Il manque une condition sur 0 dans S pour que le théorème soit vrai (comme dans le principe de récurrence, il faut pouvoir l’initialiser).

    • blogdemaths dit :

      Tout à fait ! Il y a eu un petit oubli dans cette propriété… il faut donc lire:
      « Si S est un ensemble inclus dans N contenant 0 »

      Comme vous le signalez, il s’agit bien de l’initialisation dans le théorème de la récurrence !

  7. toria dit :

    Hahahahaha enfin je viens de comprendre pourquoi 1+1=2 et franchement MERCI c’est très intéressant 🙂 continue ainsi

  8. Ripoll dit :

    Tout cela est bien cohérent dès lors qu’on admet le point de départ.
    Or j’aimerais faire l’expérience de partir d’un autre fondement, afin d’essayer de démontrer que si le résultat de la proposition 1+1=2 est juste, la proposition en elle même est infondée.
    En effet, nous partirons du principe que deux forces de même nature se repoussent, ce que nous pouvons observer a partir d’un simple aimant. Il nous faut également différencier le mouvement des forces de l’opération elle même et du résultat qu’elle produit.
    Ainsi, faire l’addition d’un pole plus avec un pole plus (quel qu’en soit la valeur numérique associée) revient à opposer deux forces de mêmes nature qui excluront leurs objets du champ opérationnel (c’est a dire ce qui se situe a la droite du « = »). Au niveau de cette première étape, j’affirme donc que +1+1= 0.
    A l’inverse maintenant, posons l’opération suivante que nous allons démontrer, soit -1+1=2.
    En effet deux forces de natures opposées s’attirent. Par conséquent le vecteur – et le vecteur + font converger les deux unité dans le même champ opérationnel, il en résulte que dans ce champ se situe bien deux unités.
    Mais poussons le raisonnement encore plus loin. Posons maintenant que 1+1=2.
    Il nous faut introduire le facteur temps dans l’opération.
    Dans une première étape de l’opération 1+1 font 0. Mais ce résultat restera juste aussi longtemps que les forces s’exclueron. Or il y a un moment, lorsque la force répulsive se sera estompée, où la nature d’un des deux vecteurs basculera vers son inverse, de sorte que l’un des vecteurs devienne négatif. Ainsi le +1+1 se transforme, en un point donné de cette interval temporel (dont l’origine marque le début de l’opération et la fin le résultat, chaque point sur celui ci étant une étape de type égalité dans cette opération complexe) en -1+1 qui, nous l’avons vu precedement est bien égal a 2.
    Par conséquent, si 1+1=2 ce n’est parce-que 1+1=2 mais parce-que 1+1=*-1+1=2 Le résultat final reste le même, mais la démarche classique apparait totalement absurde au vu de cette prétendue démonstration, puisque ce n’est pas pour la bonne raison que 1+1=2.
    Le raisonnement étant censé primer sur le résultat en mathématique, 1+1 n’est pas égal a 2 mais a 0. 2 est égale a -1+1 et ce -1+1 est le « résultat premier ou égalité première » (puisqu’il faut le nommer et c’est ce que je traduit mathématiquement par le signe « =* ») de l’opération 1+1.
    Si cela ressemble a de l’enculage de mouche de la part d’un individus absolument non initié a la mathématique, il me semble important de pouvoir comprendre a travers l’égalité 1+1=*-1+1=2 quel est la logique vectoriel des forces qui constituent les relations logique opérer dans les mathématiques et qui finalement décrivent le fonctionnement de ses forces dans la réalité bien physique et palpable…
    Excusez moi pour les fautes, qu’elles soient d’orthographe ou simplement de raisonnement?
    Cela semble il vraisemblable d’un point de vue strictement mathématiques?
    Merci d’avance pour vos réponses éclairées.
    Bien cordialement.
    Un sceptique qui ne l’est pas tant 🙂

  9. nono dit :

    Quid de la preuve des 3 théorèmes proposés ? J’aimerais les lire ! Excellente vulgarisation, merci 🙂

  10. Al Cid dit :

    .pourquoi 1 et 1 font deux ? ceci est faux, 1 et 1 font 1. L’opérateur ET est un opérateur Booléen

  11. Anonyme dit :

    merci j’etais pas sur

  12. Anonyme dit :

    Ce qui signifie qu’hors des postulats définitionnels, cette proposition est fausse – ou, en tout cas, tout juste recevable parmi d’autres propositions. Ce que je veux dire c’est que, alors que tout le monde croit que 1+1=2 est une vérité absolue, son cadre de démonstration est tellement serré que c’est une vérité de pertinence relative (après tout, on peut donner des définitions arbitraires à ce qu’on pour obtenir le résultat qu’on veut). Grande pertinence dans une certaine efficacité qui a fait ses preuves, mais dès qu’il s’agit des complexes comme on en rencontre en physique quantique, il ne reste plus grand chose. A la limite pourrait-on élargir le champ au temporel et à l’effet conjugué en disant : 1+1=0 (annihilation), 1+1=1 (fusion), 1+1=3 (p

  13. Anonyme dit :

    1+1=3 (procréation), etc.

  14. Anonyme dit :

    (Désolé, mon message est parti trop vite). Bref, celui qui croit qu’une pomme plus une pomme fait deux pommes sans se soucier du fait qu’une pomme est une généralité arbitraire mise ici dans un contexte d’atemporalité tout aussi gratuit, a priori, dans le monde du vivant, celui-ci n’est pas en mesure de comprendre que notre monde, malgré qu’il soit dominé par le paradigme scientifique, est plus régit par des positions idéologiques que par des vérités vraies.
    Mais qu’on ne s’y méprenne pas : je ne nie pas pour autant la puissance de la proposition 1+1=2

  15. yoananda dit :

    Merci.
    Mais alors pourquoi as-t-il fallu 378 page à Russel pour démontrer dans principia mathematica (PM) que 1+1=2 ?
    ses axiomes n’étaient pas les meilleurs?
    la même démonstration en ZFC est plus courte?
    J’ai cru comprendre que PM partait d’encore plus « bas » que ZFC en définissant aussi les opérateurs « and » « or » et les fonctions …
    Est-ce la raison?

  16. yoananda dit :

    Question bête, mais je me la suis posée en lisant et je n’a pas de réponse évidente qui me vienne.
    Pourquoi 1:=0 U {0} au lieu de 1:={0} ce qui nous donnerait 2:= {1} := {{0}} etc…

    Ca prouve que j’ai sûrement mal compris la démonstration parce que je ne vois pas en quoi ça la changerait fondamentalement.

  17. rayan lebik dit :

    mrc bc les maths

  18. Ping : Qu’est-ce que ça veut dire additionner ? | Automaths

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s