Loi des sinus – Une démonstration simple

J’aimerais présenter une démonstration de la loi des sinus qui n’utilise que des propriétés vues au collège. A mon avis, il ne serait pas raisonnable de la présenter à des collégiens; en revanche, elle est tout à fait adaptée à des lycéens. Je précise (s’il le faut) que cette démonstration n’est bien entendu pas de moi.

Commençons par rappeler ce que dit la loi des sinus:

Dans un triangle, le sinus d’un angle est proportionnel à la longueur du côté opposé à cet angle.

Pour être un peu plus clair, considérons un triangle ABC quelconque, avec les notations comme dans le schéma ci-dessous:

La loi des sinus s’exprime ainsi:  \displaystyle{ \frac{a}{\sin (\hat{A})} = \frac{b}{\sin(\hat{B})} = \frac{c}{\sin(\hat{C})}}.

(Évidemment, on suppose que c’est un vrai triangle et non un triangle aplati; tous les sinus sont donc non nuls).

En route pour la démonstration…

Les outils vus au collège dont nous aurons besoin sont les suivants:

  1. Vu en classe de 5ème: Tout triangle peut être inscrit dans un cercle (dont le centre est situé à l’intersection des médiatrices).
  2. Vu en classe de 4ème: Si un triangle est inscrit dans un cercle, et si un des côtés de ce triangle est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
  3. Vu en classe de 3ème: Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc sont de même mesure.
  4. Vu en classe de 3ème: Dans un triangle rectangle, par définition, le sinus d’un angle aigu est égale au quotient du côté opposé à l’angle par l’hypoténuse.

On reprend le schéma présenté plus haut (ainsi que ses notations). Commençons par construire le cercle circonscrit au triangle ABC, et notons O son centre.

Nous noterons R le rayon de ce cercle par la suite. Le triangle ABC n’étant pas supposé rectangle, il est difficile dans ces conditions d’exprimer le sinus de l’angle Â. Nous allons donc construire un triangle intermédiaire, qui lui sera rectangle et donc beaucoup plus commode.

A partir du point C, traçons un point J tel que [CJ] soit un diamètre de ce cercle (et donc CJ=2R).

Le triangle CJB est rectangle en B car il est inscrit dans le cercle et [CJ] en est un diamètre. Ainsi, le sinus de l’angle \hat{J} est égal au quotient de son côté opposé par l’hypoténuse, c’est-à-dire \sin( \hat{J} ) = \frac{BC}{CJ} = \frac{a}{2R}.

Tout cela est bien beau, mais ce n’est pas \sin( \hat{J} ) qui nous intéresse, mais \sin( \hat{A} ). Qu’à cela ne tienne, on remarque que, dans le cercle, les deux angles inscrits \hat{A} et \hat{J} interceptent le même arc AB (en rouge sur la figure ci-dessous).

On en déduit donc que ces deux angles sont égaux, et ainsi \sin( \hat{J} ) = \sin( \hat{A}) = \frac{a}{2R}. On a donc \displaystyle{ \frac{a}{\sin (\hat{A})} = 2R}.

Le même raisonnement montre qu’on a aussi \displaystyle{ \frac{b}{\sin (\hat{B})} = 2R = \frac{c}{\sin (\hat{C})} }, ce qui termine de prouver la loi des sinus !

Remarque: En fait, il se peut que le point J se situe sur le « grand arc BC », ce qui donnerait la situation suivante:Comment s’en sortir dans ce cas ? On peut prouver, à l’aide du théorème de l’angle au centre (lui aussi vu en classe de 3ème) que les angles \hat{A} et \hat{J} sont supplémentaires, autrement dit, \hat{J}=180- \hat{A}. En utilisant le fait qu’un angle et son supplémentaire ont le même sinus (ce qui n’est en revanche pas une propriété vue au collège), on a:

\sin( \hat{J} ) = \sin ( 180- \hat{A})=\sin(\hat{A})

La fin de la démonstration est alors la même !

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15 commentaires pour Loi des sinus – Une démonstration simple

  1. Anonyme dit :

    merci infinimet

  2. anonyme bis dit :

    Très bien expliqué et détaillé merci 🙂

  3. Pims dit :

    Ha ha ! Magnifique.
    J’étais en train d’essayer de démontrer la loi des sinus. J’avais a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc/(2S), démontré en exprimant les hauteurs du triangle de différentes manières. Mais je ne comprenais pas comment montrer le « =2R ».

  4. Anonyme dit :

    comment montre que dans un triangle ABC rectangle en A sin²(A)=sin²(B)+sin²(C)

    • anonyme dit :

      desole de vous deranger mais je voudrais vous demander comment en pourrai demonter dans le meme exercice que vous avez expliquer que S=abc sur 4 r sachant que S est l aire de ABC et Rle rayon du cercle

    • magnon86 dit :

      avec les relations métriques.
      1. Quand tu traces la hauteur (une des trois hauteurs) du triangle rectangle, tu vois 3 triangles semblables (ABC, ABH et ACH, plus ou moins une symétrie car les angles sont complémentaires 2 à 2) leurs côtés sont donc proportionnels
      2. Tu redessines les 3 triangles un peu plus loin en les orientant, pour t’y retrouver, puis tu fais un tableau de proportionnalités 3 colonnes x 3 lignes
      3. Tu prouves donc que AB²=BCxBH et AC²=BCxCH
      4. Comme ABC est aigu (pas obtus, car Â=90°), H est sur [BC] donc BC=BH+HC
      5. Ainsi BC²=BCx(BH+HC)
      6. Par distributivité = BCxBH+BCxCH
      7. (d’après 3) = AB²+AC²

      Ainsi BC²=AB²+AC²

      (il a fallu pour cela admettre que deux angles d’un triangle rectangle sont complémentaires, que redessiner des triangles semblables ou symétriques ne change pas leur géométrie ou que leurs côtés proportionnels donnent des produits en croix égaux, admettre la distributivité u(v+w)=(uv)+(uw), que H est sur [BC] contrairement à un triangle obtus ; que si d=e+f et e=g alors d=g+f=g+h (cf 7) ; tout cela est vrai dans les mathématiques inventées par les Hommes, mais pas dans d’autres univers ; je ne l’ai pas évalué pour des espaces non-euclidiens)

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  7. anonyme dit :

    merci pour tout son vous j aurai eu une mauvaise note a mon devoir de math

  8. J’AIME CES GENS DE MATH

  9. BOUHZAM Oussama dit :

    Très bien expliqué et détaillé merci

  10. magnon86 dit :

    Bonjour, merci.
    Je croyais jusqu’à aujourd’hui que la Loi des Sinus était d’Al Kashi. En fait j’apprends qu’il a en fait inventé la Loi des Cosinus.
    Qui donc a inventé la Loi des Sinus ?
    Merci d’avance.

  11. Thomas dit :

    Démonstration très utile et très claire. Merci.
    Une petite remarque : Il est écrit « on remarque que, dans le cercle, les deux angles inscrits  et Ĵ interceptent le même arc AB (en rouge sur la figure ci-dessous). »
    Or ces deux angles interceptent l’arc BC et non pas l’arc AB (ce qui est bien indiqué ensuite par l’arc en couleur rouge !-).

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