Loi des sinus – Une démonstration simple

J’aimerais présenter une démonstration de la loi des sinus qui n’utilise que des propriétés vues au collège. A mon avis, il ne serait pas raisonnable de la présenter à des collégiens; en revanche, elle est tout à fait adaptée à des lycéens. Je précise (s’il le faut) que cette démonstration n’est bien entendu pas de moi.

Commençons par rappeler ce que dit la loi des sinus:

Dans un triangle, le sinus d’un angle est proportionnel à la longueur du côté opposé à cet angle.

Pour être un peu plus clair, considérons un triangle ABC quelconque, avec les notations comme dans le schéma ci-dessous:

La loi des sinus s’exprime ainsi:  \displaystyle{ \frac{a}{\sin (\hat{A})} = \frac{b}{\sin(\hat{B})} = \frac{c}{\sin(\hat{C})}}.

(Évidemment, on suppose que c’est un vrai triangle et non un triangle aplati; tous les sinus sont donc non nuls).

En route pour la démonstration…

Les outils vus au collège dont nous aurons besoin sont les suivants:

  1. Vu en classe de 5ème: Tout triangle peut être inscrit dans un cercle (dont le centre est situé à l’intersection des médiatrices).
  2. Vu en classe de 4ème: Si un triangle est inscrit dans un cercle, et si un des côtés de ce triangle est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
  3. Vu en classe de 3ème: Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc sont de même mesure.
  4. Vu en classe de 3ème: Dans un triangle rectangle, par définition, le sinus d’un angle aigu est égale au quotient du côté opposé à l’angle par l’hypoténuse.

On reprend le schéma présenté plus haut (ainsi que ses notations). Commençons par construire le cercle circonscrit au triangle ABC, et notons O son centre.

Nous noterons R le rayon de ce cercle par la suite. Le triangle ABC n’étant pas supposé rectangle, il est difficile dans ces conditions d’exprimer le sinus de l’angle Â. Nous allons donc construire un triangle intermédiaire, qui lui sera rectangle et donc beaucoup plus commode.

A partir du point C, traçons un point J tel que [CJ] soit un diamètre de ce cercle (et donc CJ=2R).

Le triangle CJB est rectangle en B car il est inscrit dans le cercle et [CJ] en est un diamètre. Ainsi, le sinus de l’angle \hat{J} est égal au quotient de son côté opposé par l’hypoténuse, c’est-à-dire \sin( \hat{J} ) = \frac{BC}{CJ} = \frac{a}{2R}.

Tout cela est bien beau, mais ce n’est pas \sin( \hat{J} ) qui nous intéresse, mais \sin( \hat{A} ). Qu’à cela ne tienne, on remarque que, dans le cercle, les deux angles inscrits \hat{A} et \hat{J} interceptent le même arc AB (en rouge sur la figure ci-dessous).

On en déduit donc que ces deux angles sont égaux, et ainsi \sin( \hat{J} ) = \sin( \hat{A}) = \frac{a}{2R}. On a donc \displaystyle{ \frac{a}{\sin (\hat{A})} = 2R}.

Le même raisonnement montre qu’on a aussi \displaystyle{ \frac{b}{\sin (\hat{B})} = 2R = \frac{c}{\sin (\hat{C})} }, ce qui termine de prouver la loi des sinus !

Remarque: En fait, il se peut que le point J se situe sur le « grand arc BC », ce qui donnerait la situation suivante:Comment s’en sortir dans ce cas ? On peut prouver, à l’aide du théorème de l’angle au centre (lui aussi vu en classe de 3ème) que les angles \hat{A} et \hat{J} sont supplémentaires, autrement dit, \hat{J}=180- \hat{A}. En utilisant le fait qu’un angle et son supplémentaire ont le même sinus (ce qui n’est en revanche pas une propriété vue au collège), on a:

\sin( \hat{J} ) = \sin ( 180- \hat{A})=\sin(\hat{A})

La fin de la démonstration est alors la même !

Advertisements
Cet article, publié dans Géométrie, est tagué , . Ajoutez ce permalien à vos favoris.

12 commentaires pour Loi des sinus – Une démonstration simple

  1. Anonyme dit :

    merci infinimet

  2. anonyme bis dit :

    Très bien expliqué et détaillé merci 🙂

  3. Pims dit :

    Ha ha ! Magnifique.
    J’étais en train d’essayer de démontrer la loi des sinus. J’avais a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc/(2S), démontré en exprimant les hauteurs du triangle de différentes manières. Mais je ne comprenais pas comment montrer le « =2R ».

  4. Anonyme dit :

    comment montre que dans un triangle ABC rectangle en A sin²(A)=sin²(B)+sin²(C)

    • anonyme dit :

      desole de vous deranger mais je voudrais vous demander comment en pourrai demonter dans le meme exercice que vous avez expliquer que S=abc sur 4 r sachant que S est l aire de ABC et Rle rayon du cercle

  5. Ping : Produit des diagonales d’un polygone régulier | Blogdemaths

  6. Ping : Produit des diagonales d’un polygone régulier | Actumaths

  7. anonyme dit :

    merci pour tout son vous j aurai eu une mauvaise note a mon devoir de math

  8. J’AIME CES GENS DE MATH

  9. BOUHZAM Oussama dit :

    Très bien expliqué et détaillé merci

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s