Tracer un décagone « pour les nuls »

Dans mon billet précédent, j’expliquais comment tracer une pentagone à la règle et au compas. Si vous avez suivi scrupuleusement les explications, vous devriez vous retrouver avec la figure suivante (dans l’image suivante, les traits de construction ont été gommés):

Les angles du type P_0OP_1 s’appellent les angles au centre du pentagone. Ils valent chacun \frac{2\pi}{5}.

Nous allons construire un décagone régulier à partir de ce pentagone. Les angles au centre d’un décagone régulier valant \frac{2 \pi}{10}, il suffit donc de diviser les angles au centre du pentagone en deux pour obtenir la figure voulue ! 

Etapes de la construction:

  1. Tracer la droite (P_3O). Elle coupe le cercle en le point P'_0.
  2. Tracer la droite (P_4O). Elle coupe le cercle en le point P'_1.
  3. Vous avez maintenant compris le principe: tracez les droites (P_0O), (P_1O) et (P_2O):
  4. Il suffit maintenant de relier les points P_0, P'_0, P_1, P'_1, ...:
    Fin du décagone

La construction est maintenant terminée ! Il ne reste plus qu’à gommer les traits de construction pour obtenir un joli dessin:

Pourquoi ça marche ?

Comme vous l’avez constaté, il a suffi de tracer les droites reliant un sommet du pentagone à son centre pour construire les points manquant du décagone à partir de la figure initiale. Cela voudrait donc dire que toutes ces droites sont en fait les bissectrices des différents angles au centre. C’est cette affirmation que nous allons prouver dans le cas de la première étape (c’est le même principe pour les autres droites).

Il faut donc montrer que la droite (P_3O) est la bissectrice de l’angle P_0OP_1 (voir figure de la 1ère étape).  Puisque les angles P_3OP_1 d’une part et P_3OP_0 d’autre part sont tous les deux égaux à \frac{2\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}, et puisque P_3O=P_1O=P_0O, les triangles P_3OP_1 et P_3OP_0 sont isométriques; en d’autres termes P_3P_1=P_3P_0. (voir figure)

Les points P_3 et O sont donc équidistants des points P_0 et P_1. Cele signifie que la droite (P_3O) est la médiatrice du segment [P_0P_1]. Mais puisque le triangle P_O0P_1 est isocèle, cette médiatrice est aussi la bissectrice de l’angle P_O0P_1. QED.

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8 commentaires pour Tracer un décagone « pour les nuls »

  1. Anonyme dit :

    c est tresssssssss dur
    donner une chose facile

  2. alain dit :

    DIAMETRE DU CERCLE…???

  3. Anonyme dit :

    Est ce que il y a des figure facile a tracer

  4. Anonyme dit :

    Cimer ça m’a vraiment aidé

  5. Ping : Comment ne pas tracer un heptagone régulier ? | Blogdemaths

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