Tracer un décagone « pour les nuls

Tracer un décagone « pour les nuls »

Dans mon billet précédent, j’expliquais comment tracer une pentagone à la règle et au compas. Si vous avez suivi scrupuleusement les explications, vous devriez vous retrouver avec la figure suivante (dans l’image suivante, les traits de construction ont été gommés):

Les angles du type $P_0OP_1$ s’appellent les angles au centre du pentagone. Ils valent chacun $\frac{2\pi}{5}$ .

Nous allons construire un décagone régulier à partir de ce pentagone. Les angles au centre d’un décagone régulier valant $\frac{2 \pi}{10}$ , il suffit donc de diviser les angles au centre du pentagone en deux pour obtenir la figure voulue !

Etapes de la construction:

Tracer la droite $(P_3O)$ . Elle coupe le cercle en le point $P'_0$ .
Tracer la droite $(P_4O)$ . Elle coupe le cercle en le point $P'_1$ .
Vous avez maintenant compris le principe: tracez les droites $(P_0O)$ , $(P_1O)$ et $(P_2O)$ :
Il suffit maintenant de relier les points $P_0, P'_0, P_1, P'_1, ...$ :

La construction est maintenant terminée ! Il ne reste plus qu’à gommer les traits de construction pour obtenir un joli dessin:

Pourquoi ça marche ?

Comme vous l’avez constaté, il a suffi de tracer les droites reliant un sommet du pentagone à son centre pour construire les points manquant du décagone à partir de la figure initiale. Cela voudrait donc dire que toutes ces droites sont en fait les bissectrices des différents angles au centre. C’est cette affirmation que nous allons prouver dans le cas de la première étape (c’est le même principe pour les autres droites).

Il faut donc montrer que la droite $(P_3O)$ est la bissectrice de l’angle $P_0OP_1$ (voir figure de la 1ère étape). Puisque les angles $P_3OP_1$ d’une part et $P_3OP_0$ d’autre part sont tous les deux égaux à $\frac{2\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$ , et puisque $P_3O=P_1O=P_0O$ , les triangles $P_3OP_1$ et $P_3OP_0$ sont isométriques; en d’autres termes $P_3P_1=P_3P_0$ . (voir figure)

Les points $P_3$ et O sont donc équidistants des points $P_0$ et $P_1$ . Cele signifie que la droite $(P_3O)$ est la médiatrice du segment $[P_0P_1]$ . Mais puisque le triangle $P_O0P_1$ est isocèle, cette médiatrice est aussi la bissectrice de l’angle $P_O0P_1$ . QED.