Irrationnalité de log_n(m)

Dans le billet précédent, j’affirmais qu’il était facile de prouver que est irrationnel lorsque m et n sont deux entiers tels que l’un possède un facteur premier que l’autre ne possède pas. Prouvons cette assertion:

Supposons où a et b sont deux entiers avec b non nul. Il vient donc c’est-à-dire . En prenant la puissance « b » dans les deux membres, on a .  A partir de là, supposons qu’il existe un nombre premier p tel que p divise n mais ne divise pas m. D’après la dernière égalité, divise alors , mais ce dernier nombre n’est pas divisible par p. On a donc nécessairement et donc , ce qui est absurde.

Dans le cas où il existe un nombre premier p divisant m et ne divisant pas n, un raisonnement similaire montre que ce qui est impossible puisque b est supposé différent de 0.

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