Irrationnalité de log_n(m)

Dans le billet précédent, j’affirmais qu’il était facile de prouver que log_n(m) est irrationnel lorsque m et n sont deux entiers tels que l’un possède un facteur premier que l’autre ne possède pas. Prouvons cette assertion:

Supposons log_n(m) = \frac{a}{b} où a et b sont deux entiers avec b non nul. Il vient donc n^{log_n(m)} = n^{\frac{a}{b}} c’est-à-dire m=n^{\frac{a}{b}}. En prenant la puissance « b » dans les deux membres, on a m^b=n^a.  A partir de là, supposons qu’il existe un nombre premier p tel que p divise n mais ne divise pas m. D’après la dernière égalité, p^a divise alors m^b, mais ce dernier nombre n’est pas divisible par p. On a donc nécessairement a=0 et donc log_n(m) =0, ce qui est absurde.

Dans le cas où il existe un nombre premier p divisant m et ne divisant pas n, un raisonnement similaire montre que b=0 ce qui est impossible puisque b est supposé différent de 0.

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Un commentaire pour Irrationnalité de log_n(m)

  1. Kikoo Loool dit :

    De façon analogue, on peut établir la liberté sur Q de la famille des ln(p), p premier.

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