Comment ne pas tracer un heptagone régulier ?

Sur ce blog, nous avons déjà vu comment tracer à la règle et au compas un pentagone régulier, un hexagone régulier ou même un décagone régulier. Je pense que vous savez aussi tracer un triangle équilatéral et un carré à la règle et au compas (ne m’obligez pas à faire un article là-dessus, je serais capable !)

En revanche, je n’ai jamais publié d’article expliquant comment tracer un heptagone (figure à 7 côtés) régulier à la règle et au compas, et pour cause, cela n’est pas possible ! Je vous entends déjà marmonner « Mais pourquoi diantre cela n’est-il donc pas possible ? » (j’aime imaginer que mes lecteurs sont des gens qui parlent comme des personnages de Molière). Ça tombe vraiment bien que vous vous posiez cette question car c’est justement ce que nous allons voir ici.

Un heptagone régulier qui n'a évidemment pas été construit à la règle et au compas (mais avec un ordinateur).

Un heptagone régulier qui n’a évidemment pas été construit à la règle et au compas.

Des racines et des cubes

Le fait qu’il n’est pas possible de tracer un heptagone régulier à la règle et au compas va venir d’un petit théorème que nous allons énoncer ci-dessous. Auparavant, rappelons que:

  • l’ensemble \mathbb{Q} désigne l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire les fractions \dfrac{a}{b} avec a et b deux entiers;
  • un polynôme est rationnel si ses coefficients sont des nombres rationnels, par exemple le polynôme \dfrac{2}{3}X^4 - \dfrac{1}{2}X^3 + 2X - 3;
  • une racine x d’un polynôme P est un nombre tel que P(x)=0.

Cela étant dit, voici le théorème qui va nous aider à démontrer qu’un heptagone n’est pas constructible à la règle et au compas:

Soit P un polynôme rationnel de degré 3 tel que P n’a pas de racine rationnelle. Alors toute racine de P n’est pas constructible à la règle et au compas.

Nous admettrons ce théorème mais, si cela vous intéresse (et que vous êtes assez costaud niveau théorie des corps…), vous pourrez en trouver une démonstration à la fin de cet article. Il nous reste à voir comment utiliser ce théorème dans le cas d’un heptagone…

Raisonnement par l’absurde

S’il était possible de construire un heptagone régulier à la règle et au compas, alors il serait possible de construire un angle de \dfrac{2 \pi}{7} radians (environ 51,4°) avec l’axe des abscisses. En traçant le cercle de centre l’origine et de rayon 1, on couperait un rayon de cet heptagone (point A sur la figure ci-dessous).comment_ne_pas_tracer_un_heptagone_construction_de_cos_2pi_7En particulier, en  traçant la perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par A (ce que l’on sait faire à la règle et au compas) on obtiendrait un segment de longueur \cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right). Comme on peut doubler une longueur avec un compas, on pourrait donc obtenir un segment de longueur 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right):comment_ne_pas_tracer_un_heptagone_construction_du_double_de_cos_2pi_7Bref, si on savait construire un heptagone régulier, on saurait construire le nombre 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) à la règle et au compas. Et nous allons voir que cela n’est pas possible en vertu du théorème que nous avons donné ! Pour cela, nous allons montrer que 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) est une racine d’un polynôme rationnel de degré 3 qui ne possède aucune racine dans \mathbb{Q}.

Sans aucun complexe (ou plutôt si)

Nous allons chercher un polynôme rationnel dont 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) est une racine et vous allez voir que l’utilisation des nombres complexes va grandement nous simplifier la tâche…

Nous avons choisi de nous intéresser au nombre 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) plutôt qu’à \cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) à cause de l’égalité

2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) = \text{e}^{i \frac{2\pi}{7}} + \text{e}^{-i \frac{2\pi}{7}}

qui elle-même vient du fait que \cos\left( \frac{2 \pi}{7}\right) est la partie réelle du nombre \text{e}^{i \frac{2\pi}{7}}.

Pour faciliter les notations, nous poserons \omega = \text{e}^{i \frac{2\pi}{7}}. Ainsi, 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) = \omega + \overline{\omega} = \omega + \omega^{-1}  car \omega est un nombre complexe de module 1, donc \overline{\omega} = \frac{1}{\omega} = \omega^{-1}.

Cela étant dit, on sait que ce nombre complexe \omega est racine du polynôme X^7 - 1 car \left( \text{e}^{i \frac{2\pi}{7}} \right)^7 = \text{e}^{i \frac{2\pi}{7} \times 7} = 1. Comme ce polynôme peut se factoriser

X^7 - 1 = (X-1) (1+X+X^2 +X^3 +X^4 + X^5 +X^6)

et comme \omega \neq 1 alors on a la relation

1+\omega+\omega^2 +\omega^3 +\omega^4 + \omega^5 +\omega^6 = 0

En multipliant cette relation par \omega^{-3}, on obtient la relation symétrique suivante

\omega^{-3} + \omega^{-2} + \omega^{-1}  + 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3=0

ce que l’on peut écrire plus élégamment sous la forme

\boxed{(\omega^3 + \omega^{-3}) + (\omega^2 + \omega^{-2}) + (\omega  + \omega^{-1}) + 1 = 0}

Cette relation est tellement jolie que je pourrais arrêter l’article ici et retourner élever mes chèvres dans le Larzac. Mais je n’ai ni chèvre, ni maison dans le Larzac, donc je crois que je vais tout de même poursuivre un peu.

"Bêêê"

« Bêêê »

N’oublions pas que nous sommes en train de chercher un polynôme rationnel de degré 3 qui annule 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) = \omega + \omega^{-1}. Pour cela, on va calculer les puissances deuxième et troisième de ce nombre à l’aide de fameuses (mais utiles !) identités remarquables.

\begin{array}{ccl} (\omega + \omega^{-1})^3 & = & \omega^3 + 3 \omega^{2} \omega^{-1} + 3 \omega \omega^{-2} + \omega^{-3} \\ & = & \omega^3 + 3 \omega + 3 \omega^{-1} + \omega^{-3} \\ & = & (\omega^{3} + \omega^{-3}) + 3 (\omega + \omega^{-1})\end{array}

Nous en déduisons que (\omega + \omega^{-1})^3 - 2 (\omega + \omega^{-1}) = (\omega^3 + \omega^{-3}) + (\omega + \omega^{-1}). D’autre part,

\begin{array}{ccl} (\omega + \omega^{-1})^2 & = & \omega^2 + 2 \omega \omega^{-1} + \omega^{-2} \\ & = & \omega^2 + \omega^{-2} + 2 \\ & = & \omega^2 + \omega^{-2} + 1 + 1\end{array}

On voit donc qu’en combinant astucieusement ces relations, on fait apparaître la relation encadrée vue plus haut (celle qui m’avait presque poussé à tout plaquer pour élever des ovidés):

(\omega + \omega^{-1})^3 - 2 (\omega + \omega^{-1}) + (\omega + \omega^{-1})^2  = \underbrace{(\omega^3 + \omega^{-3}) + (\omega + \omega^{-1}) + (\omega^2 + \omega^{-2}) +1 }_{=0}+ 1

et on en déduit que

(\omega + \omega^{-1})^3 - 2 (\omega + \omega^{-1}) + (\omega + \omega^{-1})^2  =1

Ainsi, le nombre 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) est solution de l’équation X^3 - 2X + X^2 = 1, c’est-à-dire que c’est une racine du polynôme rationnel de degré 3  P = X^3 +X^2-2X -1.

Étude des racines

Pour finir, nous allons montrer que ce polynôme, aussi gentil et sympathique soit-il (là n’est pas la question), n’a pas de racine rationnelle. Par l’absurde, si \frac{p}{q} (avec p  premier avec q) est une racine de P alors

\dfrac{p^3}{q^3} + \dfrac{p^2}{q^2}- 2 \dfrac{p}{q}-1=0

En multipliant par q^3, on a

p^3 +qp^2 - 2pq^2 - q^3 = 0

En passant -q^3 de l’autre côté et en factorisant par p dans le membre de gauche, on obtient finalement

p(p^2+qp-2q^2) = q^3

On voit donc que p doit diviser q^3. Comme p et q sont premiers entre eux, cela n’est possible que si p=1 ou p=-1. Un raisonnement similaire ( \dfrac{p^3}{q^3} + \dfrac{p^2}{q^2}- 2 \dfrac{p}{q}-1=0 \iff q(p^2 - 2pq - q^2) = -p^3) montre aussi que q ne peut valoir que 1 ou -1. Donc \frac{p}{q} vaut 1 ou -1.

Mais si on remplace X par 1 ou -1 dans l’expression X^3 +X^2-2X -1, on ne trouve pas 0. Ce polynôme ne possède donc aucune racine rationnelle.

Retour à l’heptagone

Si je résume, nous avons vu que si on pouvait construire un heptagone régulier à la règle et au compas, alors le nombre 2\cos\left( \dfrac{2 \pi}{7}\right) serait constructible. Or, nous avons vu que ce nombre est racine d’un polynôme rationnel du troisième degré qui ne possède pas de racine rationnelle. D’après notre théorème, ce nombre ne peut pas être constructible. Nous voilà donc face à une contradiction… Donc posez vos compas, inutile de vouloir construire un heptagone régulier, cela est impossible ! (non, vraiment, posez vos compas, ça peut être dangereux ces machins…)

Bonus: l’impossible trisection d’un angle

Ce qui est bien avec ce théorème, c’est qu’on peut s’en resservir pour montrer qu’il n’est pas possible de trisecter (couper en trois) un angle à la règle et au compas. En effet, si cela était possible, on pourrait par exemple trisecter l’angle \dfrac{\pi}{3} (60°) et donc obtenir un angle de \dfrac{\pi}{9} (20°). On pourrait donc construire le nombre 2\cos\left( \dfrac{\pi}{9}\right). Or, ce nombre est racine du polynôme

P =  X^3 - 3X -1

En effet, la formule \cos(3 \theta) = 4 \cos(\theta)^3 - 3 \cos(\theta) (comme quoi, elles servent les formules de trigo !) appliquée \theta = \frac{\pi}{9} donne

\dfrac{1}{2} = 4 \cos( \pi/9)^3 - 3 \cos(\pi/9) \iff 1 = 8 \cos( \pi/9)^3 - 3 \times 2 \cos(\pi/9)

c’est-à-dire

(2 \cos(\pi/9))^3 - 3 (2\cos(\pi/9)) - 1 = 0

Je vous laisse vérifier pour finir que le polynôme X^3 - 3X - 1 n’a pas de racine rationnelle, ce qui prouve que l’on ne peut pas construire 2\cos\left( \dfrac{\pi}{9}\right) et que la trisection de l’angle \frac{\pi}{3} est impossible !

Note:

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