2017, année des cubes

Une nouvelle année commence, et avec elle son lot de surprises. Qu’est-ce qui nous attend pour 2017 ? C’est ce que nous allons essayer de voir, du moins du point de vue mathématique (car pour le reste, je n’ai toujours pas ouvert mon cabinet de voyance, mais j’y travaille).

Ça faisait longtemps  !

Tout d’abord, 2017 est un nombre premier, youpi ! Cela n’était pas arrivé depuis 2011, donc il était temps. La prochaine fois qu’une année sera un nombre premier, ce sera en 2027.

De plus, comme 2017 est un nombre premier de la forme 4k +1 (car 2017=  4 \times 504 +1), on sait, grâce à un théorème énoncé par Fermat, qu’il peut alors s’écrire comme une somme de deux carrés. Et en effet,

2017 = 9^2 + 44^2

Cela n’était pas arrivé depuis 2009 qu’une année puisse se décomposer en une somme de deux carrés et ce sera encore le cas en 2018 et 2020. L’année 2017 est la 622ème année depuis l’an I à pouvoir être décomposée en une somme de deux carrés. C’est pas mal, mais il y a mieux… beaucoup mieux !

Somme de trois cubes

Le nombre 2017 peut non seulement se décomposer en une somme de deux carrés, mais aussi en une somme de trois cubes (strictement positifs) ! Plus précisément,

2017 = 7^3 + 7^3 + 11^3

La dernière fois que cela était arrivé, c’était en 2001 (2001 = 1^3 + 10^3 + 10^3) et cela ne se reproduira plus avant 2027 (2027 = 3^3 + 10^3 +10^3… encore 2027 décidément ! Comptez sur moi pour vous ressortir le même article dans 10 ans…). Je vous sens tout de même encore un peu dubitatifs, donc essayons de comprendre pourquoi il est vraiment remarquable d’être une somme de trois cubes.

Le problème de Waring

Le problème qui consiste à savoir si un nombre peut s’écrire comme la somme de plusieurs cubes positifs date de 1770 et fait partie de ce qu’on appelle le problème de Waring. En 1909 et 1912, les dénommés Wieferich et Kempner ont démontré que tout entier naturel peut s’écrire comme la somme d’au plus neuf cubes. Dickson en 1939 ([1]) a réussi à améliorer ce résultat en démontrant que tous les nombres sauf 23 et 239 peuvent s’écrire comme la somme de huit cubes. En 1943, Linnik a même prouvé que tous les nombres assez grands (c’est-à-dire plus grands qu’un nombre donné) peuvent s’écrire comme la somme de sept cubes ([2]). On sait aussi depuis 1939 grâce à Davenport ([3]) que presque tous les nombres entiers naturels peuvent s’écrire comme une somme de quatre cubes (c’est-à-dire que la proportion de ceux qui ne peuvent pas l’être tend vers 0).

En ce qui concerne les nombres qui sont somme de trois cubes, la situation est vraiment différente. Voici ce que l’on peut affirmer tout de même:

  • il existe une infinité de nombres qui peuvent s’écrire comme la somme de trois cubes;
  • il existe une infinité de nombres qui ne peuvent pas s’écrire comme la somme de trois cubes.

Si vous n’êtes pas convaincu par ces deux affirmations (qui semblent contradictoires !), je vous propose de les démontrer.

1/ Il est facile de voir qu’il existe une infinité de nombres qui s’écrivent comme la somme de trois cubes car pour tout entier naturel non nul n, le nombre n^3 + 2 =  n^3 + 1^3  + 1^3 est une somme de trois cubes strictement positifs.

2/ Pour montrer qu’il existe une infinité de nombres qui ne peuvent pas s’écrire comme une somme de trois cubes, nous allons raisonner modulo 9. On commence par établir tous les restes possibles d’un nombre au cube quand on en fait la division par 9:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \vphantom{\dfrac{X}{X}} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \vphantom{\dfrac{X}{X}} n^3 & 0 & 1 & 8 & 0 & 1 & 8 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{array}

Il n’y a donc que  trois possibilités: 0, 1 et 8. Maintenant, si on fait la somme de trois cubes x^3 + y^3 + z^3 modulo 9, voici les 27 possibilités:2017_annee_cubique_table_des_sommes_des_cubes_modulo_9Vous voyez que seuls les nombres 0, 1, 2, 3, 6, 7 et 8 apparaissent dans les colonnes de droite. Autrement dit, une somme de trois cubes ne peut jamais être congrue à 4 ou 5 modulo 9. Ainsi, tous les nombres de la forme 9k+4 ou 9k+5 ne s’écriront jamais comme une somme de trois cubes. Cela en fait donc bien une infinité ! Nous pouvons même affirmer qu’au plus \dfrac{7}{9} des nombres sont une somme de trois cubes. En fait, la proportion des nombres qui peuvent s’écrire comme une somme de trois cubes est bien plus petite que cela…

Beaucoup de sommes de trois cubes ?

Pour se rendre compte du nombre de nombres qui peuvent s’écrire comme une somme de trois cubes strictement positifs, nous allons en calculer la proportion. Par exemple, il y a eu 245 années (2017 y compris) depuis l’an I qui s’écrivent comme une somme de trois cubes strictement positifs, donc la proportion en 2017 est de \dfrac{245}{2017}\simeq 0,12.

Si on va plus loin dans le temps, en l’an 10 000, il y aura eu 1154 années « somme de trois cubes » ce qui donnera une proportion de 11,54%.  Si on va encore plus loin, jusqu’en l’an 50 000 (on a le temps de voir venir !), alors il y aura eu 5482 années qui s’écrivent comme une somme de trois cubes, ce qui fera un ratio de 10,96%.

A l’heure actuelle, on conjecture (mais on n’a toujours pas prouvé) que cette proportion totale de nombres qui peuvent s’écrire comme une somme de trois cubes strictement positifs est d’environ 0,0999425 ([4]). Autrement dit, il y aurait seulement environ 10% des nombres qui peuvent s’écrire comme une somme de trois cubes et 2017 en fait partie !

N’oublions pas que 2017 est premier

Que 2017 soit un nombre premier est assez remarquable; qu’il puisse s’écrire comme une somme de trois cubes est encore plus fort; mais qu’il soit les deux en même temps, c’est assez étonnant ! En fait, des années qui furent à la fois des nombres premiers et une somme de trois cubes, il n’y en a eu que 45 depuis l’an I et 2017 ne sera que la 46ème ! La question que je vous entends déjà poser est: « Est-ce qu’il y en aura encore beaucoup des années comme 2017 à l’avenir ? » et vous poseriez ainsi une belle question mathématique bien difficile.

Hardy et Littlewood avaient conjecturé ([5]) en 1923 qu’il existe une infinité de nombres premiers qui s’écrivent comme une somme de trois cubes.

2017_annee_cubique_conjecture_n_hardy-littlewood

Hardy et Littlewood énoncent leur conjecture.

Si cela a été conjecturé par Hardy et Littlewood, autant vous dire qu’il s’agit d’un problème très compliqué… et pourtant, cette conjecture a été validée en 2001 (soit 78 ans après) par Roger Heath-Brown ([6])  qui a démontré qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme x^3 + y^3 + y^3 (où x et y sont des entiers naturels non nuls).

La bonne nouvelle, c’est que je pourrai ressortir une infinité de fois ce même article ! A commencer par 2027.

Bonne année 2017 !

Références

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5 commentaires pour 2017, année des cubes

  1. Ping : Pour tous mes élèves et étudiants ! (et pour les autres, aussi) – Pierre Carrée

  2. Benoît Eve dit :

    Bonjour,

    Merci pour ce bel article. Je voulais conseiller d’utiliser [lien non autorisé] qui permet à tous de s’entrainer facilement aux mathématiques (et de manière gratuite).

  3. Anonyme dit :

    Et 2008 = 10^3 + 10^3 + 2^3 ??
    Ou alors tu voulais parler du combo 2 carrés et 3 cubes… du coup on écrit comment 2027 comme somme de 2 carrés ??

    • blogdemaths dit :

      Vous avez raison, ce n’est pas clair du tout. … je voulais parler des nombres premiers qui peuvent s’écrire comme une somme de trois cubes. Je rectifierai dès que possible !
      (Vous avez cité 2008, on peut même citer 2024 qui arrivera avant 2027 que j’évoque dans l’article comme le prochain à venir… il fallait donc bien préciser qu’on parle de nombres premiers !)

    • blogdemaths dit :

      En fait 2001 n’est évidemment pas premier donc ça ne va pas non plus, donc va falloir chercher la dernière année avant 2017 qui était un nombre premier somme de trois cubes ! 🙂

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