Pythagore sous toutes ses formes (géométriques)

« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ». Vous connaissez probablement cette phrase par cœur puisque ce n’est autre que l’énoncé du théorème de Pythagore. Pour illustrer ce fameux théorème, on a souvent recours à la figure suivante:Cette figure décrit parfaitement le théorème de Pythagore: le carré reposant sur l’hypoténuse a la même aire que la somme des aires des carrés reposant sur les deux autres côtés, c’est-à-dire a^2 = b^2 + c^2. Il y a d’ailleurs des démonstrations du théorème de Pythagore qui reposent sur cette figure et j’en ai mis une en fin d’article si cela vous intéresse… mais si vous préférez le visuel à l’écrit, voici une animation démontrant le théorème de Pythagore.

À bas les carrés !

Et si, à la place de carrés, on construisait d’autres formes géométriques sur les côtés d’un triangle rectangle ? Par exemple, si on construit un triangle équilatéral sur chaque côté du fameux triangle rectangle 3-4-5 ™, voici ce qu’on obtient:Sachant que l’aire d’un triangle équilatéral de côté a vaut a^2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4}, l’aire du triangle reposant sur l’hypoténuse vaut \mathcal{A}_1 = 5^2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{25 \sqrt{3}}{4}. La somme des aires des deux autres triangles vaut

\mathcal{A}_2 + \mathcal{A}_3 =3^2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} + 4^2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = 9 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} + 16 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{25 \sqrt{3}}{4} = \mathcal{A}_1

Tiens, tiens, l’aire du triangle reposant sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des deux autres triangles ! Ça ressemble quand même furieusement à l’énoncé du théorème de Pythagore. Voyons voir ce qui se passe si on construit une autre forme géométrique, par exemple un hexagone, sur chaque côté d’un autre triangle rectangle, par exemple, le triangle 5-12-13:Sachant que l’aire d’un hexagone de côté a est a^2 \times \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}, on a donc

\mathcal{A}_1 =  13^2 \times \dfrac{3 \sqrt{3}  }{2} = 169 \times \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} = \dfrac{507 \sqrt{3}  }{2}

et

\mathcal{A}_2 +  \mathcal{A}_3 = 12^2 \times \dfrac{3 \sqrt{3}  }{2} + 5^2 \times \dfrac{3 \sqrt{3} }{2} = \dfrac{432 \sqrt{3} }{2}  + \dfrac{75 \sqrt{3} }{2} = \dfrac{507 \sqrt{3}  }{2}

On voit donc que l’aire de l’hexagone reposant sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des hexagones des deux autres côtés. Là encore, cela ressemble beaucoup au théorème de Pythagore. Est-ce une coïncidence ? Pour en avoir le cœur net,  je vous propose de considérer un dernier exemple. Peut-être que vous préférez les formes géométriques plus arrondies ? Et si on essayait avec des demi-disques ? Bien entendu, on choisit encore un autre triangle rectangle, sinon ce ne serait pas drôle.Je ne vous fais pas l’affront de vous rappeler que la formule donnant l’aire d’un demi-disque en fonction du rayon R est \dfrac{1}{2} \pi R^2 (trop tard, l’affront est fait). Ainsi,

\mathcal{A}_1 = \dfrac{1}{2} \pi \times (6/2)^2 = \dfrac{9}{2}\pi

et

\mathcal{A}_2 + \mathcal{A}_3 = \dfrac{1}{2}\pi \times (\sqrt{21}/2)^2 + \dfrac{1}{2}\pi \times (\sqrt{15}/2)^2 = \dfrac{21}{8} \pi + \dfrac{15}{8}\pi = \dfrac{36}{8}\pi = \dfrac{9}{2}\pi

La conclusion est sans appel: l’aire du demi-disque reposant sur l’hypoténuse est égale à l’aire des deux autres demi-disques. C’est en trop ! Cela marche beaucoup trop bien pour qu’il n’y ait pas anguille sous roche !

Une généralisation de Pythagore

Il se trouve que la propriété de Pythagore est non seulement vraie pour des carrés, des triangles équilatéraux, des hexagones ou des demi-disques, mais elle est aussi vraie pour n’importe quelle forme géométrique.

L’aire du Pythagore reposant sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des deux Pythagore reposant sur les deux autres côtés.

Et quand je vous dis que cela marche avec n’importe quelle forme géométrique, c’est vraiment le cas, même les plus biscornues comme des fractales ! Je vous laisse vérifier que cela est vérifié avec la courbe de Koch par exemple…En fait, tous ces exemples ne sont que des cas particuliers du théorème suivant, généralisant la propriété de Pythagore:

[Théorème de Pythagore généralisé]
Si sur chaque côté d’un triangle rectangle on construit des formes géométriques qui sont des agrandissements ou des réductions les unes des autres, alors l’aire de la figure reposant sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des deux autres figures.

Pourquoi cela marche pour n’importe quelle figure ?

La démonstration de la généralisation du théorème de Pythagore n’est pas difficile si on se souvient d’une petite propriété vue au collège:

Si on fait un agrandissement ou une réduction d’une figure de rapport k>0 alors l’aire obtenue est multipliée par k^2.

(Pour ceux qui auraient oublié, le rapport k d’un agrandissement ou d’une réduction est le nombre par lequel on multiplie toutes les longueurs d’une figure pour obtenir l’autre. Quand k>1 on parle d’un agrandissement et quand k<1 on parle d’une réduction).

Considérons un triangle rectangle, et supposons que sur chaque côté de ce triangle, on a trois figures qui sont des agrandissements ou des réductions les unes des autres. Avec les notations du schéma ci-dessus, puisque la figure 2 est un agrandissement (ou plutôt une réduction ici) de la figure 1, alors le côté de longueur a se transforme en le côté de longueur b. Si k est le rapport de cet agrandissement/réduction, on a donc la relation k \times a = b. Autrement dit, la figure 2 est une réduction de la figure 1 de rapport k= \dfrac{b}{a}. De même, la figure 3 est une réduction de la figure 1 de rapport \dfrac{c}{a}. D’après la petite propriété rappelée au-dessus, on en déduit que

\mathcal{A}_2 + \mathcal{A}_3 = \left(\dfrac{b}{a}\right)^2 \times \mathcal{A}_1 + \left(\dfrac{c}{a}\right)^2 \times \mathcal{A}_1  = \dfrac{b^2 + c^2}{a^2} \times \mathcal{A}_1

Comme le triangle est rectangle, on sait d’après le théorème de Pythagore classique que a^2 = b^2 + c^2, donc

\mathcal{A}_2 + \mathcal{A}_3 = \dfrac{a^2}{a^2} \times \mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_1

ce qui achève la démonstration. Vous remarquez au passage que pour prouver le théorème de Pythagore généralisé, il nous a fallu utiliser le théorème de Pythagore classique, avec des carrés. En d’autres termes, si c’est vrai pour des carrés, c’est vrai pour n’importe quelle figure !

Euclide > Pythagore

Tout ce que nous venons de voir dans cet article n’a en fait absolument rien de nouveau car cela était déjà connu d’Euclide il y a plus de 2300 ans ! En effet, dans les Éléments, on peut lire (proposition 31 du livre VI) :

«Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui sous-tend l’angle droit est égale aux figures semblables qui sont décrites semblablement sur les côtés qui comprennent l’angle droit. »

C’était censé être un article sur Pythagore, et voilà que, finalement, Euclide lui vole la vedette !

Référence:

  • Pythagoras’ Theorem — More than Just a Square Rule, David Crawford, Mathematics in School, Vol. 30, No. 1 (Jan., 2001), pp. 14-17.

Note:

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2 commentaires pour Pythagore sous toutes ses formes (géométriques)

  1. Merci pour votre blog et les nécessaires remises en mémoire de ce que nous avons (hélas) oublié depuis le lycée et les prépa.

  2. Merci pour cet article très intéressant repris ici en FLASH

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