Quand les complexes rendent les choses (un peu plus) simples

Cela fait un petit moment que je n’ai pas fait d’article à propos de problèmes géométriques. Je vais donc essayer de réparer cela en vous proposant le petit énoncé suivant (issu du concours Putnam):

Soit (C1) et (C2) deux cercles dont les centres sont séparés de 10 unités, et de rayons respectifs égaux à 1 et 3. Quel est l’ensemble des points M tels qu’il existe un point X appartenant à (C1) et un point Y appartenant à (C2) tels que M est le milieu de [X;Y] ?

Libre à vous de chercher par vous-même avant de lire la suite de cet article.

Geogebra, à la rescousse

On peut toujours supposer que le centre du cercle (C1) est situé à l’origine du repère et que le cercle (C2) est situé sur l’axe des réels, à 10 unités de l’origine.

A priori, l’ensemble des points M semble un peu mystérieux. Afin d’ébaucher un peu cet ensemble, on peut utiliser la fonction « Trace activée » de Geogebra. Cela signifie que lorsqu’on fait bouger X et Y, le point M (qui bouge lui aussi, évidemment…), laisse une trace rouge en chaque point qu’il traverse.

Voici les superbes gribouillages (dignes d’un très bon élève de CE1) que j’ai réussi à effectuer (on reconnaîtra le style « spirographique »):

Y est immobile. On fait tourner X le long du cercle. M décrit donc un cercle.

Cette fois-ci, c’est X qui est immobile et Y qui tourne. M décrit un nouveau cercle.

Et on fait tourner les serviettes. Enfin, on fait tourner X et Y. Aucun motif particulier ne se dégage pour le moment.

Toujours pas de motif. Donc, on tourne encore !

Serait-ce…. Non.

Mais c’est bien sûr !

L’ensemble cherché semblerait être une couronne centrée en z=5.

Après cette séance d’art, il apparaît donc que l’ensemble des points M cherché est une couronne centrée en 5.

C’est parti pour la preuve

Afin d’analyser et de résoudre ce problème, nous allons nous placer dans le plan complexe. Chaque point M du plan est donc repéré par un nombre complexe z (appelé son affixe). Nous allons prouver que l’ensemble cherché est l’ensemble des points M d’affixe z tels que $1 \leq | z-5| \leq 2$ .

Tout d’abord, le cercle (C1) est l’ensemble des points X dont les affixes sont des nombres complexes de la forme $e^{i \theta}$ ( $\theta \in \mathbb{R}$ ).

Le cercle (C2), lui, est constitué des points Y dont les affixes sont nombres complexes de la forme $10 + 3 e^{i \theta '}$ ( $\theta ' \in \mathbb{R}$ ).

Soit M un point du plan qui est le milieu de deux points X et Y appartenant respectivement à (C1) et (C2). Montrons que M appartient à la couronne. Si on note $z$ l’affixe de M, cela signifie qu’il existe deux nombres réels $\theta, \theta'$ tels que

$z = \frac{e^{i \theta} + 10 + 3e^{i\theta '} }{2}$

Tout cela est très bien… Mais à quoi cela nous avance-t-il ? Je ne sais pas encore. Voyons voir si nous pouvons modifier l’expression de z afin de mettre ce nombre sous une forme plus familière. Nous pouvons déjà séparer les exponentielles du reste:

$z = 5 + \frac{e^{i \theta} + 3e^{i\theta '}}{2}$

On voit déjà apparaître le 5 que nous avions aperçu dans notre conjecture sur la couronne. A présent, utilisons les inégalités triangulaires:

$\frac{\left| |e^{i \theta}| - |3e^{i\theta'}| \right|}{2} \leq |z-5| \leq \frac{| e^{i\theta}| + |3 e^{i\theta'} |}{2}$

D’où:

$1=\frac{|1-3|}{2} \leq |z-5| \leq \frac{1+3}{2}=2$

Le point M appartient donc bien à la couronne.

Réciproquement, montrons que tout point M de la couronne est le milieu de deux points X et Y appartenant respectivement à (C1) et (C2). Puisque M appartient à la couronne, son affixe z s’écrit $z=5 + re^{i t}$ où $t$ est un réel, et $r$ est un réel compris entre 1 et 2 (inclus). Nous cherchons à résoudre l’équation à deux inconnues $\theta$ et $\theta'$ suivante:

$5 + re^{it}= \frac{e^{i\theta} + 10 + 3e^{i \theta'}}{2}$

En fait, on cherche moins que cela. On ne cherche pas à savoir quelles sont les solutions de cette équation mais à savoir si $\theta$ et $\theta'$ existent.

Avant cela, revenons à notre dessin. Quand on fixe Y et qu’on fait tourner X (c’est-à-dire quand on fixe $\theta'$ et qu’on fait varier $\theta$ ), voici ce qu’on obtient:

Quand Y est immobile, l'ensemble des milieux M' du segment [XY] est un cercle. L'ensemble des lieux des centres de ces cercles est aussi un cercle, dessiné en pointillé.

Quand Y est immobile, l’ensemble des milieux M’ du segment [XY] est un cercle (Vous le voyez ? C’est le petit cercle, pris en sandwich dans la couronne).

Fixons $\theta' \in \mathbb{R}$ et voyons ce qui se passe quand $\theta$ se balade dans $\mathbb{R}$ . Puisque l’affixe du milieu M’ du segment [XY] est $\frac{e^{i\theta} + 10 + 3e^{i \theta'}}{2}$ , l’ensemble décrit par M’ est l’ensemble:

$\mathcal{C}_{\theta'}= \{5 + \frac{3}{2} e^{i\theta'} + \frac{1}{2}e^{i\theta} ; \theta \in \mathbb{R} \}$ .

Il s’agit d’un cercle de centre le point $I_{\theta'}$ d’affixe $5 + \frac{3}{2}e^{i\theta'}$ et de rayon $\frac{1}{2}$ . Sur la figure ci-dessus, c’est le petit cercle coincé dans la couronne. L’idée est donc de choisir $\theta'$ (indépendamment de $\theta$ ) de telle sorte que le cercle inscrit dans la couronne touche le point M. Il suffira ensuite de faire tourner M’ sur ce cercle pour que M coïncide avec M’.

L'idée est de choisir Y de telle sorte que l'ensemble décrit par le milieu de [XY] quand X varie et Y est immobile soit un cercle sur lequel se situe le point M.

L’idée est de choisir Y de telle sorte que l’ensemble décrit par le milieu de [XY] quand X varie (et Y est fixe) soit un cercle sur lequel se situe le point M.

Mathématisons tout cela. La question à laquelle nous tentons de répondre à présent est donc: existe-t-il $\theta'$ tel que $M$ appartienne au cercle $\mathcal{C}_{\theta'}$ ? Géométriquement, c’est évident. Mais pour être rigoureux, résolvons une équation…

$\begin{array}{ccc} M \in \mathcal{C}_{\theta'} & \Longleftrightarrow & MI_{\theta'}= \frac{1}{2} \\ &&\\ & \Longleftrightarrow & |z-(5+\frac{3}{2}e^{i\theta})|= \frac{1}{2} \\ &&\\ & \Longleftrightarrow & |re^{it}-\frac{3}{2}e^{i\theta'}|= \frac{1}{2} \\ &&\\ & \Longleftrightarrow & |re^{it}-\frac{3}{2}e^{i\theta'}| = 1 \\ &&\\ & \Longleftrightarrow & |2re^{it}-3e^{i\theta'}| = 1 \\ &&\\ & \Longleftrightarrow & |2re^{it}-3e^{i\theta'}|^2 = 1 \\ &&\\ & \Longleftrightarrow & 4r^2 - 12r(\cos(t)\cos(\theta')+\sin(t)\sin(\theta'))+9 = 1 \\ &&\\ & \Longleftrightarrow & \cos(t+\theta')=\frac{r^2+2}{3r} \\ \end{array}$

Mais souvenons-nous que $r \in [1;2]$ . Une rapide étude de fonction nous montre que la quantité $\frac{r^2+2}{3r}$ est comprise entre 0 et 1 quand $r$ est compris entre 1 et 2. Ainsi, cette quantité peut s’écrire comme le cosinus d’un réel $\varphi$ . On en déduit donc que le point M appartient au cercle $\mathcal{C}_{\theta'}$ si, et seulement si, $\cos(t+\theta') = \cos(\varphi)$ donc si, et seulement si, $\theta' = \varphi - t +2k\pi$ ou $\theta' = -\varphi - t +2k\pi$ .

Bref, peu importe la valeur exacte de $\varphi$ (qui dépend de $r$ ), nous avons prouvé qu’il existe un $\theta' \in \mathbb{R}$ (et même deux) tel que le point M soit sur le cercle $\mathcal{C}_{\theta'}$ . En termes géométriques, cela veut dire qu’il existe un point Y tel que M appartient au cercle décrit par le milieu M’ de [XY] quand X parcourt son cercle. Le point Y étant fixé, puisque M est sur ce cercle et que le point M’ décrit ce cercle quand X varie, il existe donc un point X pour lequel M’=M.

Nous avons donc prouvé (non sans peine !) que si M est un point de la couronne, alors il existe deux points X et Y tels que M est le milieu de [XY]. Tout ça pour ça… faire des mathématiques peut être un peu ingrat parfois !

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