Quand les complexes rendent les choses (un peu plus) simples

Cela fait un petit moment que je n’ai pas fait d’article à propos de problèmes géométriques. Je vais donc essayer de réparer cela en vous proposant le petit énoncé suivant (issu du concours Putnam):

Soit (C1) et (C2) deux cercles dont les centres sont séparés de 10 unités, et de rayons respectifs égaux à 1 et 3. Quel est l’ensemble des points M tels qu’il existe un point X appartenant à (C1) et un point Y appartenant à (C2) tels que M est le milieu de [X;Y]  ?

Libre à vous de chercher par vous-même avant de lire la suite de cet article.

Geogebra, à la rescousse

On peut toujours supposer que le centre du cercle (C1) est situé à l’origine du repère et que le cercle (C2) est situé sur l’axe des réels, à 10 unités de l’origine.

A priori, l’ensemble des points M semble un peu mystérieux. Afin d’ébaucher un peu cet ensemble, on peut utiliser la fonction « Trace activée » de Geogebra. Cela signifie que lorsqu’on fait bouger X et Y, le point M (qui bouge lui aussi, évidemment…), laisse une trace rouge en chaque point qu’il traverse.

Voici les superbes gribouillages (dignes d’un très bon élève de CE1) que j’ai réussi à effectuer (on reconnaîtra le style « spirographique »):

Y est immobile. On fait tourner X le long du cercle. M décrit donc un cercle.

Cette fois-ci, c’est X qui est immobile et Y qui tourne. M décrit un nouveau cercle.

Et on fait tourner les serviettes. Enfin, on fait tourner X et Y. Aucun motif particulier ne se dégage pour le moment.

Toujours pas de motif. Donc, on tourne encore !

Serait-ce…. Non.

Mais c’est bien sûr !

L’ensemble cherché semblerait être une couronne centrée en z=5.

Après cette séance d’art, il apparaît donc que l’ensemble des points M cherché est une couronne centrée en 5.

C’est parti pour la preuve

Afin d’analyser et de résoudre ce problème, nous allons nous placer dans le plan complexe. Chaque point M du plan est donc repéré par un nombre complexe z (appelé son affixe). Nous allons prouver que l’ensemble cherché est l’ensemble des points M d’affixe z tels que 1 \leq | z-5| \leq 2.

Tout d’abord, le cercle (C1) est l’ensemble des points X dont les affixes sont des nombres complexes de la forme e^{i \theta} (\theta \in \mathbb{R}).

Le cercle (C2), lui, est constitué des points Y dont les affixes sont nombres complexes de la forme 10 + 3 e^{i \theta '} (\theta ' \in \mathbb{R}).

Soit M un point du plan qui est le milieu de deux points X et Y appartenant respectivement à (C1) et (C2). Montrons que M appartient à la couronne. Si on note z l’affixe de M, cela signifie qu’il existe deux nombres réels \theta, \theta' tels que

z = \frac{e^{i \theta} + 10 + 3e^{i\theta '} }{2}

Tout cela est très bien… Mais à quoi cela nous avance-t-il ? Je ne sais pas encore. Voyons voir si nous pouvons modifier l’expression de z afin de mettre ce nombre sous une forme plus familière. Nous pouvons déjà séparer les exponentielles du reste:

z = 5 + \frac{e^{i \theta} + 3e^{i\theta '}}{2}

On voit déjà apparaître le 5 que nous avions aperçu dans notre conjecture sur la couronne. A présent, utilisons les inégalités triangulaires:

\frac{\left| |e^{i \theta}| - |3e^{i\theta'}| \right|}{2} \leq |z-5| \leq \frac{| e^{i\theta}| + |3 e^{i\theta'} |}{2}

D’où:

1=\frac{|1-3|}{2} \leq |z-5| \leq \frac{1+3}{2}=2

Le point M appartient donc bien à la couronne.

Réciproquement, montrons que tout point M de la couronne est le milieu de deux points X et Y appartenant respectivement à (C1) et (C2). Puisque M appartient à la couronne, son affixe z s’écrit z=5 + re^{i t}t est un réel, et r est un réel compris entre 1 et 2 (inclus). Nous cherchons à résoudre l’équation à deux inconnues \theta et \theta' suivante:

5 + re^{it}= \frac{e^{i\theta} + 10 + 3e^{i \theta'}}{2}

En fait, on cherche moins que cela. On ne cherche pas à savoir quelles sont les solutions de cette équation mais à savoir si \theta et \theta' existent.

Avant cela, revenons à notre dessin. Quand on fixe Y et qu’on fait tourner X (c’est-à-dire quand on fixe \theta' et qu’on fait varier \theta), voici ce qu’on obtient:

Quand Y est immobile, l'ensemble des milieux M' du segment [XY] est un cercle. L'ensemble des lieux des centres de ces cercles est aussi un cercle, dessiné en pointillé.

Quand Y est immobile, l’ensemble des milieux M’ du segment [XY] est un cercle (Vous le voyez ? C’est le petit cercle, pris en sandwich dans la couronne).

Fixons \theta' \in \mathbb{R} et voyons ce qui se passe quand \theta se balade dans \mathbb{R}. Puisque l’affixe du milieu M’ du segment [XY] est \frac{e^{i\theta} + 10 + 3e^{i \theta'}}{2}, l’ensemble décrit par M’ est l’ensemble:

\mathcal{C}_{\theta'}= \{5 + \frac{3}{2} e^{i\theta'} + \frac{1}{2}e^{i\theta} ; \theta \in \mathbb{R} \}.

Il s’agit d’un cercle de centre le point I_{\theta'} d’affixe 5 + \frac{3}{2}e^{i\theta'} et de rayon \frac{1}{2}. Sur la figure ci-dessus, c’est le petit cercle coincé dans la couronne. L’idée est donc de choisir \theta' (indépendamment de \theta) de telle sorte que le cercle inscrit dans la couronne touche le point M. Il suffira ensuite de faire tourner M’ sur ce cercle pour que M coïncide avec M’.

L'idée est de choisir Y de telle sorte que l'ensemble décrit par le milieu de [XY] quand X varie et Y est immobile soit un cercle sur lequel se situe le point M.

L’idée est de choisir Y de telle sorte que l’ensemble décrit par le milieu de [XY] quand X varie (et Y est fixe) soit un cercle sur lequel se situe le point M.

Mathématisons tout cela. La question à laquelle nous tentons de répondre à présent est donc: existe-t-il \theta' tel que M appartienne au cercle \mathcal{C}_{\theta'} ? Géométriquement, c’est évident. Mais pour être rigoureux, résolvons une équation…

\begin{array}{ccc}  M \in \mathcal{C}_{\theta'} & \Longleftrightarrow & MI_{\theta'}= \frac{1}{2} \\  &&\\  & \Longleftrightarrow & |z-(5+\frac{3}{2}e^{i\theta})|= \frac{1}{2} \\  &&\\  & \Longleftrightarrow & |re^{it}-\frac{3}{2}e^{i\theta'}|= \frac{1}{2} \\  &&\\  & \Longleftrightarrow & |re^{it}-\frac{3}{2}e^{i\theta'}| = 1 \\  &&\\  & \Longleftrightarrow & |2re^{it}-3e^{i\theta'}| = 1 \\  &&\\  & \Longleftrightarrow & |2re^{it}-3e^{i\theta'}|^2 = 1 \\  &&\\  & \Longleftrightarrow & 4r^2 - 12r(\cos(t)\cos(\theta')+\sin(t)\sin(\theta'))+9 = 1 \\  &&\\  & \Longleftrightarrow & \cos(t+\theta')=\frac{r^2+2}{3r} \\  \end{array}

Mais souvenons-nous que r \in [1;2]. Une rapide étude de fonction nous montre que la quantité \frac{r^2+2}{3r} est comprise entre 0 et 1 quand r est compris entre 1 et 2. Ainsi, cette quantité peut s’écrire comme le cosinus d’un réel \varphi. On en déduit donc que le point M appartient au cercle \mathcal{C}_{\theta'} si, et seulement si, \cos(t+\theta') = \cos(\varphi) donc si, et seulement si, \theta' = \varphi - t +2k\pi ou \theta' = -\varphi - t +2k\pi.

Bref, peu importe la valeur exacte de \varphi (qui dépend de r), nous avons prouvé qu’il existe un \theta' \in \mathbb{R} (et même deux) tel que le point M soit sur le cercle \mathcal{C}_{\theta'}. En termes géométriques, cela veut dire qu’il existe un point Y tel que M appartient au cercle décrit par le milieu M’ de [XY] quand X parcourt son cercle. Le point Y étant fixé, puisque M est sur ce cercle et que le point M’ décrit ce cercle quand X varie, il existe donc un point X pour lequel M’=M.

Nous avons donc prouvé (non sans peine !) que si M est un point de la couronne, alors il existe deux points X et Y tels que M est le milieu de [XY]. Tout ça pour ça… faire des mathématiques peut être un peu ingrat parfois !

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