« Êtes-vous logique ? »

Il existe plein de tests de logique (à la con) dans les magazines ou sur Internet. La plupart de ces tests (qui revendiquent vouloir tester votre aptitude à la logique) ne sont en fait que des tests qui vous demandent de compléter des suites (de nombres, d’images ou de que sais-je encore d’autre). Je ne sais pas trop ce que mesurent ces tests (sans doute votre capacité à combler des trous… enfin compléter des suites !) mais une chose est sure, c’est qu’il ne mesurent pas votre logique au sens mathématique du terme.

Voici donc pour vous un test qui va réellement mesurer votre capacité à raisonner de manière logique.

Des cartes, des nombres et des couleurs

L’expérience à laquelle vous allez être confronté est la suivante. On dispose de quatre cartes. Chacune de ces cartes possède un nombre sur une face et une couleur sur l’autre face. On pose ces quatre cartes sur une table de telle sorte qu’une seule face de chaque carte est visible. Voici les quatre cartes en question:

Cartes - test logique

Dans l’ordre, nous avons donc les cartes 3, 8, rouge, vert (oui, je pense aux daltoniens qui ont eux aussi le droit de faire ce test !). On considère l’affirmation suivante:

« Si une carte possède un nombre pair sur une face, alors elle est de couleur rouge sur l’autre face. »

La question que je vous pose pour ce test est la suivante: quelle(s) carte(s) doit-on retourner pour déterminer si cette affirmation est vraie ou non ?

Attention, vous ne devez pas retourner de carte inutilement, ni oublier d’en retourner une ou sinon le test sera considéré comme échoué.

Prenez votre temps et réfléchissez bien avant de noter quelle(s) carte(s) vous retourneriez. Une fois votre choix effectué, lisez la suite.

Avec des si…

En logique mathématique, l’implication est une notion qui est souvent difficile à appréhender pour la plupart des gens. Le « Si… alors » a-t-il eu raison de vous ?

C’est l’heure de faire les comptes ! Si vous avez répondu:

– « Il faut retourner la carte 8 uniquement »

ou

– « Il faut retourner la carte 8 et la carte rouge »

alors je suis au regret de vous informer que vous vous êtes trompé. Ne vous en faîtes pas, vous n’êtes certainement pas les seuls à vous être trompé puisque ce test (appelé test de Wason du nom du psychologue qui l’a inventé) a un taux d’échec de l’ordre de 90% (c’est le pourcentage d’erreur qui en est ressorti lorsque Wason a soumis ce test à expérimentation auprès de gens).

Sans plus attendre, voici la solution.

Elémentaire mon cher Wason

Numérotons les cartes précédentes de 1 à 4: la carte n°1 est celle avec le 3, la carte n°2 est celle avec le 8, la carte n°3 est celle avec la face rouge et la carte n°4 est la carte avec la face verte.

Notons A_i la proposition: « La carte i possède une face qui est un nombre pair » et B_i la proposition: « La carte i possède une face qui est rouge ». L’affirmation du test se traduit donc par:

Pour tout i, (A_i \Longrightarrow B_i)

Juste avant de poursuivre, rappelons qu’en logique mathématique, l’implication A \Longrightarrow B est équivalente à l’implication non(B) \Longrightarrow non(A), qu’on appelle sa contraposée. Cela signifie que A \Longrightarrow B est vraie dès que non(B) \Longrightarrow non(A) est vraie, et inversement.

D’autre part, la proposition non(B) \Longrightarrow non(A) signifie: « S’il n’y a pas de face rouge, alors l’autre face ne possède pas de nombre pair ».

L’objectif ici est donc de voir quelle(s) sont les carte(s) qui nous permettent de nous prononcer sur la véracité des propositions A \Longrightarrow B et non(B) \Longrightarrow non(A).

Procédons donc à une analyse plus approfondie.

Carte n°1: (celle avec un 3)

  • si la face au dos est rouge alors cela signifie que non(A_1) \Longrightarrow B_1 est vraie.
  • si la face au dos est verte alors cela signifie que non(A_1) \Longrightarrow non(B_1) est vraie.

Quoiqu’il en soit, en aucun cas nous n’avons pu affirmer quelque chose sur les propositions qui nous intéressent, à savoir A_1 \Longrightarrow B_1 ou non(B_1) \Longrightarrow non(A_1). La première carte ne sert donc à rien.

Carte n°2: (celle avec un 8)

  • si la face au dos est rouge alors cela signifie que A_2 \Longrightarrow B_2 est vraie ! Intéressant…
  • si la face au dos est verte alors cela signifie que A_2 \Longrightarrow non(B_2) est vraie et, par conséquent, que A_2 \Longrightarrow B_2 est fausse.

La carte n°2 nous permet donc, en la retournant de savoir si A_2 \Longrightarrow B_2 est vraie ou fausse.

Carte n°3: (la rouge)

  • si la face au dos est un nombre pair alors cela signifie que B_3 \Longrightarrow A_3 est vraie.
  • si la face au dos est un nombre impair alors cela signifie que B_3 \Longrightarrow non(A_3) est vraie et, par conséquent, que B_3 \Longrightarrow A_3 est fausse.

Ici aussi, en aucun cas nous n’avons pu affirmer quelque chose sur les propositions A_3 \Longrightarrow B_3 ou non(B_3) \Longrightarrow non(A_3). Cette carte ne sert à rien non plus ! Si vous l’avez choisie, c’est sans doute que vous confondez la contraposée non(B_3) \Longrightarrow non(A_3) avec la réciproque B_3 \Longrightarrow A_3. C’est mal. Très mal. Ne me refaites plus jamais ça !

Carte n°4: (la verte)

  • si la face au dos est un nombre pair alors cela signifie que non(B_4) \Longrightarrow A_4 est vraie. Par conséquent, cela signifie que non(B_4) \Longrightarrow non(A_4) est fausse.
  • si la face au dos est un nombre impair alors cela signifie que non(B_4) \Longrightarrow non(A_4) est vraie.

Le fait de retourner cette carte nous permet de savoir si non(B_4) \Longrightarrow non(A_4) est vraie ou non (ce qui nous permet, par contraposée, de savoir si A_4 \Longrightarrow B_4 est vraie ou fausse aussi).

Vous l’aurez compris, les deux cartes à retourner pour tester si l’affirmation est correcte sont la carte avec le 8 et la carte verte. Si vous avez répondu cela, bravo !

En fait, nous voyons que:

a) Si les cartes n°2 et 4 vérifient l’affirmation, alors l’affirmation est vérifiée dans sa globalité;

b) Si la carte n°2 ou la carte n°4 ne vérifient pas l’affirmation, alors l’affirmation est infirmée dans sa globalité.

Il y avait donc une petite difficulté supplémentaire dans ce test, celle de la présence d’un quantificateur universel implicite contenu dans l’expression « Si une carte…. » qui devait se lire « Pour toute carte, si … ». Et en effet, si juste en retournant la carte 8 on s’aperçoit que l’autre face est verte alors l’affirmation complète est fausse. Mais dans le cas où la face de derrière est rouge, il faut absolument retourner la carte n°4 aussi ! Ceux qui ont répondu « il faut retourner uniquement la carte 8 » ont donc à moitié tort et à moitié raison (selon les situations !). Mais en général, ils ont tort. On ne va pas tricher non plus, c’est un test sérieux, voyons.

Parlez-vous le mec bourré ?

Finissons cet article en donnant un deuxième test de (vraie) logique. Cette fois-ci plus concret (pour les amateurs d’éthanol):

« Quatre personnes sont en train de boire dans un bar et vous disposez des informations suivantes : la première boit une boisson alcoolisée, la seconde a moins de 18 ans, la troisième a plus de 18 ans et la dernière boit une boisson sans alcool. Quelle(s) personne(s) devez-vous interroger sur leur âge ou sur le contenu de leur verre pour vous assurer que tous respectent bien la règle suivante : Si une personne boit de l’alcool, elle doit avoir plus de 18 ans. ?»

Bien que ce problème soit logiquement équivalent à celui avec les cartes, les taux de réussite constatés en sont largement supérieurs. Pourquoi ? Vous ne pensez quand même pas que je vais vous pondre une réponse, je vous rappelle que ce blog s’appelle blogdemaths, et pas blogdepsycho…

Pour plus d’informations, vous pouvez consulter les pages Wikipédia française et anglaise sur le sujet (surtout pour l’explication psychologique qui est très intéressante mais bien au-delà de mes pauvres compétences mathématiques…)

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5 commentaires pour « Êtes-vous logique ? »

  1. Pierre dit :

    Désolé, mais votre démo est peu logique !!!
    Soit p le nombre pair d’une carte et r la couleur.
    Votre question revient à considérer « vraie » ou « fausse »
    l’application suivante :
    => : {0, 1}² –> {0, 1} , p => r
    Elle est fausse si seulement p est vrai et r est faux, c’est à dire
    qu’il suffit de retourner la carte 8
    Cordialment
    Pierre

  2. Anonyme dit :

    puis-je utiliser ces deux articles .Merci ,c’est très bon travail

  3. blogdemaths dit :

    Dans quel contexte et comment souhaitez-vous utiliser ces articles ? (lesquels d’ailleurs ? Il n’y en qu’un ici)

  4. mathfou dit :

    qui nous dit que la face opposée du 3 est bien vert ou rouge
    ou que la face 8 est bien vert ou rouge
    ou que l’autre face du rouge et du vert est paire ou non

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