Full contact – Episode I

Un petit problème géométrique, ça vous dit ?

Soit un cercle et une tangente à ce cercle en un point du cercle. Soit un autre point de la droite . Comment construire le cercle qui est à la fois tangent à la droite au point et au cercle ?

Vous pouvez méditer sur le schéma illustrant ce problème ci-dessous:

Prenez une feuille, une règle et un compas, ou bien utilisez Geogebra, et constatez par vous-même que le tracé de ce cercle n’est pas évident, même en tâtonnant. D’ailleurs, rien ne dit que ce cercle existe a priori, même si notre intuition géométrique ne laisse aucun doute quant à cet existence !

Double contact

Il s’agit ici de ce qu’on appelle un problème de contact, c’est-à-dire un problème où le but est de construire un cercle qui soit tangent à un (des) cercle(s) et/ou une (des) droite(s) donné(s). Ce problème que nous allons traiter n’est pas extrêmement ardu mais n’est pas non plus complètement évident.

J’ai cru entendre que la part de la géométrie dans l’enseignement secondaire est en net recul et que les problèmes de géométrie pure n’ont plus vraiment leur place dans les programmes de nos chers élèves (au détriment de la géométrie analytique, plus calculatoire donc demandant moins de réflexion…). Je me souviens pourtant que, quand j’étais élève en Seconde, notre professeur, qui était plutôt de la vieille école, aimait nous poser des exercices de géométrie du même type que celui que nous allons résoudre.

La démarche qu’il nous imposait de suivre était le schéma « Analyse/Synthèse ». Dans l’analyse, nous cherchions les conditions nécessaires à l’existence du point/de la droite/du cercle demandé. Dans la synthèse, nous montrions que la condition est suffisante pour avoir l’existence de l’objet géométrique cherché. Je vous propose ici de suivre cette démarche, en espérant qu’elle puisse faire comprendre toute la beauté du raisonnement géométrique à mes lecteurs !

Mise au point sur les tangentes

Avant de procéder à notre étude, il serait bon de rappeler ce que signifie cette notion de tangence. Il y a plusieurs définitions équivalentes, mais la définition la plus intuitive est la suivante:

Définition: Deux cercles (ou un cercle et une droite) sont tangents si leur intersection est réduite à un seul point.

Et on peut démontrer la propriété suivante:

Propriété 1: Deux cercles sont tangents (extérieurement) si, et seulement si, la distance entre les centres de ces cercles est égale à la somme des deux rayons.

ainsi que la deuxième propriété qui suit (dont je suis sûr qu’on la voit au collège):

Propriété 2: Un cercle de centre et de rayon et une droite sont tangents en un point si, et seulement si,
a)
b)

Cette mise au point étant faite, nous pouvons y aller !

I) Analyse

Dans cette partie, on va supposer que le cercle à construire existe et voir quelles conditions son centre et son rayon vérifient. Nous allons mettre en place quelques notations: on note le centre du cercle et le centre du cercle que l’on cherche. On notera aussi et les rayons de et .

La difficulté dans l’analyse est de ne pas confondre les objets fixes (les hypothèses de l’énoncé) et les objets qu’on cherche à déterminer et dont on ne sait pas où ils se trouvent a priori. Pour faire cette distinction sur nos schémas, nous représenteront en noir les objet fixes et en rouge les objets à trouver:

Si le cercle existe alors, puisqu’il est tangent à la droite , on sait que les droites et sont perpendiculaires. Dit autrement, appartient à la droite perpendiculaire à passant par (on note cette droite):

La perpendiculaire est représentée en noir car elle ne dépend que de et de , donc est fixe ! Cela nous fait donc un premier objet fixe sur lequel on est sûr que se situe . Il s’agit alors de savoir à quel niveau de cette perpendiculaire se situe ce point. Pour déterminer cela, il va falloir utiliser la deuxième hypothèse de l’énoncé, à savoir le fait que et sont tangents:

Le fait que ces cercles soient tangents se traduit par la condition . Si on reformule cela (et c’est là toute l’astuce !), cela signifie que le point appartient au cercle de centre et de rayon .

Si on note le point d’intersection de ce cercle avec la perpendiculaire , on remarque que ce point se situe à une distance du point et donc que le point ne dépend ni de , ni de et est donc fixe ! A partir de là, on constate que le point est situé à la même distance de deux points entièrement connus, à savoir et et donc se situe sur le médiatrice de (noté sur le schéma).

Nous voyons ainsi que pour construire , il suffit de prendre le point d’intersection de la droite avec la médiatrice de . Peut-on faire plus simple ?  En fait, cette construction est si simple qu’elle a été présentée dans l’épisode n°164 des Télétubbies.

Non, ce n’est pas vrai, inutile de chercher cet épisode sur Youtube !

II) Synthèse

Il faut vérifier réciproquement que le point d’intersection de la médiatrice de avec la perpendiculaire à passant par est bien le centre d’un cercle qui est à la fois tangent à et à la droite . On considère le cercle de centre et de rayon .

• Ce cercle est tangent à . En effet, comme appartient à la perpendiculaire alors . De plus, et donc la propriété 2 nous permet d’affirmer que la droite et le cercle sont tangents.
• Ce cercle est aussi tangent à . Pour montrer cela, d’après la propriété 1, il suffit de montrer que . Mais comme est situé sur la médiatrice de , . Et comme et sont alignés, on a donc !

Résumé de la construction

Voici ce qu’il faut retenir de notre étude précédente si, à partir d’un cercle de rayon , tangent à une droite , vous souhaitez construire à la règle et au compas le cercle qui est à la fois tangent à et à la droite en un point donné:

1.  Tracez la perpendiculaire à passant par .
2. Placez sur cette perpendiculaire le point , situé à une distance égale à de (de l’autre côté que le cercle).
3. Tracez la médiatrice de . On appelle l’intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire.
4. Tracez le cercle de centre et de rayon .

Fun fact: j’en ai chié pour faire cette animation.

Bonus: valeur du rayon !

La question subsidiaire que l’on pourrait poser ici est: quelle est la valeur du rayon ? Eh bien nous allons la déterminer bravement, ce qui nous donnera encore une fois une jolie formule. Comme vous le voyez sur le schéma, il n’y a pas besoin de plus que le théorème de Pythagore. En effet, nous voyons sur la figure que:

donc

et après simplification et regroupement des termes,

d’où

 

Je ne sais pas vous mais moi je trouve qu’on lui a quand même bien réglé son compte à ce problème !

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