Full contact – Episode I

Un petit problème géométrique, ça vous dit ?

Soit \mathcal{C} un cercle et d une tangente à ce cercle en un point A du cercle. Soit B un autre point de la droite d. Comment construire le cercle \mathcal{C}' qui est à la fois tangent à la droite d au point B et au cercle \mathcal{C} ?

Vous pouvez méditer sur le schéma illustrant ce problème ci-dessous: Probleme_Full_contact_I

Prenez une feuille, une règle et un compas, ou bien utilisez Geogebra, et constatez par vous-même que le tracé de ce cercle n’est pas évident, même en tâtonnant. D’ailleurs, rien ne dit que ce cercle existe a priori, même si notre intuition géométrique ne laisse aucun doute quant à cet existence !

Double contact

Il s’agit ici de ce qu’on appelle un problème de contact, c’est-à-dire un problème où le but est de construire un cercle qui soit tangent à un (des) cercle(s) et/ou une (des) droite(s) donné(s). Ce problème que nous allons traiter n’est pas extrêmement ardu mais n’est pas non plus complètement évident.

J’ai cru entendre que la part de la géométrie dans l’enseignement secondaire est en net recul et que les problèmes de géométrie pure n’ont plus vraiment leur place dans les programmes de nos chers élèves (au détriment de la géométrie analytique, plus calculatoire donc demandant moins de réflexion…). Je me souviens pourtant que, quand j’étais élève en Seconde, notre professeur, qui était plutôt de la vieille école, aimait nous poser des exercices de géométrie du même type que celui que nous allons résoudre.

La démarche qu’il nous imposait de suivre était le schéma « Analyse/Synthèse ». Dans l’analyse, nous cherchions les conditions nécessaires à l’existence du point/de la droite/du cercle demandé. Dans la synthèse, nous montrions que la condition est suffisante pour avoir l’existence de l’objet géométrique cherché. Je vous propose ici de suivre cette démarche, en espérant qu’elle puisse faire comprendre toute la beauté du raisonnement géométrique à mes lecteurs !

Mise au point sur les tangentes

Avant de procéder à notre étude, il serait bon de rappeler ce que signifie cette notion de tangence. Il y a plusieurs définitions équivalentes, mais la définition la plus intuitive est la suivante:

Définition: Deux cercles (ou un cercle et une droite) sont tangents si leur intersection est réduite à un seul point.

Et on peut démontrer la propriété suivante:

Propriété 1: Deux cercles sont tangents (extérieurement) si, et seulement si, la distance entre les centres de ces cercles est égale à la somme des deux rayons.

Full_contact_I_propriete_1

ainsi que la deuxième propriété qui suit (dont je suis sûr qu’on la voit au collège):

Propriété 2: Un cercle de centre \Omega et de rayon r' et une droite d sont tangents en un point B si, et seulement si,
a) (\Omega B) \perp d
b) \Omega B = r'Full_contact_I_propriete_2

Cette mise au point étant faite, nous pouvons y aller !

I) Analyse

Dans cette partie, on va supposer que le cercle à construire existe et voir quelles conditions son centre et son rayon vérifient. Nous allons mettre en place quelques notations: on note O le centre du cercle \mathcal{C} et \Omega le centre du cercle \mathcal{C}' que l’on cherche. On notera aussi r et r' les rayons de \mathcal{C} et \mathcal{C}'.

La difficulté dans l’analyse est de ne pas confondre les objets fixes (les hypothèses de l’énoncé) et les objets qu’on cherche à déterminer et dont on ne sait pas où ils se trouvent a priori. Pour faire cette distinction sur nos schémas, nous représenteront en noir les objet fixes et en rouge les objets à trouver:

Full_contact_I_analyse_1

Si le cercle \mathcal{C}' existe alors, puisqu’il est tangent à la droite d, on sait que les droites (\Omega B) et d sont perpendiculaires. Dit autrement, \Omega appartient à la droite perpendiculaire à d passant par B (on note d' cette droite):

Full_contact_I_analyse_2La perpendiculaire d' est représentée en noir car elle ne dépend que de B et de d, donc est fixe ! Cela nous fait donc un premier objet fixe sur lequel on est sûr que se situe \Omega. Il s’agit alors de savoir à quel niveau de cette perpendiculaire d' se situe ce point. Pour déterminer cela, il va falloir utiliser la deuxième hypothèse de l’énoncé, à savoir le fait que \mathcal{C} et \mathcal{C}' sont tangents:

Full_contact_I_analyse_3Le fait que ces cercles soient tangents se traduit par la condition O\Omega = r + r'. Si on reformule cela (et c’est là toute l’astuce !), cela signifie que le point O appartient au cercle de centre \Omega et de rayon r+r'.

Full_contact_I_analyse_4Si on note C le point d’intersection de ce cercle avec la perpendiculaire d', on remarque que ce point se situe à une distance r du point B et donc que le point C ne dépend ni de \Omega, ni de r' et est donc fixe ! A partir de là, on constate que le point \Omega est situé à la même distance de deux points entièrement connus, à savoir O et C et donc \Omega se situe sur le médiatrice de [OC] (noté \Delta sur le schéma).

Full_contact_I_analyse_5Nous voyons ainsi que pour construire \Omega, il suffit de prendre le point d’intersection de la droite d avec la médiatrice \Delta de [OC]. Peut-on faire plus simple ?  En fait, cette construction est si simple qu’elle a été présentée dans l’épisode n°164 des Télétubbies.

Non, ce n’est pas vrai, inutile de chercher cet épisode sur Youtube !

II) Synthèse

Il faut vérifier réciproquement que le point d’intersection de la médiatrice \Delta de [OC] avec la perpendiculaire à d passant par B est bien le centre d’un cercle qui est à la fois tangent à \mathcal{C} et à la droite d. On considère le cercle \mathcal{C} de centre \Omega et de rayon r':=\Omega B.

  • Ce cercle est tangent à d. En effet, comme \Omega appartient à la perpendiculaire d alors (\Omega B) \perp d. De plus, \Omega B= r' et donc la propriété 2 nous permet d’affirmer que la droite et le cercle sont tangents.
  • Ce cercle est aussi tangent à \mathcal{C}. Pour montrer cela, d’après la propriété 1, il suffit de montrer que O \Omega = r +r'. Mais comme \Omega est situé sur la médiatrice de [OC], O \Omega = OC. Et comme \Omega, B et C sont alignés, on a donc \Omega C = OB + BC = r' + r !

Résumé de la construction

Voici ce qu’il faut retenir de notre étude précédente si, à partir d’un cercle \mathcal{C} de rayon r, tangent à une droite d, vous souhaitez construire à la règle et au compas le cercle \mathcal{C}' qui est à la fois tangent à \mathcal{C} et à la droite d en un point B donné:

  1.  Tracez la perpendiculaire à d passant par B.
  2. Placez sur cette perpendiculaire le point C, situé à une distance égale à r de B (de l’autre côté que le cercle).
  3. Tracez la médiatrice de [OC]. On appelle \Omega l’intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire.
  4. Tracez le cercle de centre \Omega et de rayon \Omega B.
Fun fact: j'en ai chié pour faire cette animation

Fun fact: j’en ai chié pour faire cette animation.

Bonus: valeur du rayon !

La question subsidiaire que l’on pourrait poser ici est: quelle est la valeur du rayon r' ? Eh bien nous allons la déterminer bravement, ce qui nous donnera encore une fois une jolie formule. Full_contact_I_calcul_rayonComme vous le voyez sur le schéma, il n’y a pas besoin de plus que le théorème de Pythagore. En effet, nous voyons sur la figure que:

(r+r')^2 = (r-r')^2 + AB^2

donc

r^2 + 2rr' + r'^2 = r^2 - 2rr' + r'^2 + AB^2

et après simplification et regroupement des termes,

4 rr' = AB^2

d’où

\boxed{ r' = \dfrac{AB^2}{4r} }

 

Je ne sais pas vous mais moi je trouve qu’on lui a quand même bien réglé son compte à ce problème !

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8 commentaires pour Full contact – Episode I

  1. Pierre D dit :

    Bonjour
    J’ai envisagé une autre méthode:
    Si P est le point de contact, l’homothétie de centre P qui applique C sur C’ applique aussi OA sur d’. Donc :
    On trace OA qui coupe C en A’ ;
    A’B coupe C en P
    OP coupe d’ au centre de C’.
    Qu’en pensez-vous ?

  2. kikoolol dit :

    Un exercice amusant : étant donnés trois cercles deux à deux tangents extérieurement et possédant une tangente commune, exprimer le rayon du plus petit en fonction des deux autres.

    Analytiquement, avec un repère judicieusement choisis, ça se fait bien. Je mettrais bien la valeur, si j’avais trouvé une balise « spoil » 😀

  3. Ping : Full contact – Episode II | Blogdemaths

  4. Dasson dit :

    Une adaptation pour le collège :
    http://rdassonval.free.fr/flash/tangentsex.swf
    Mais ça c’était avant ?

  5. Ping : Full contact – Episode II | Actumaths

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