Full contact – Episode II

Dans l’article précédent, nous avons vu un problème de contact dont le but était de construire un cercle à la fois tangent à une droite et un cercle donnés. Je vous propose un deuxième problème de contact, où, cette fois-ci, le but n’est pas la construction d’un cercle mais le calcul de son rayon.

Le problème que je vais vous proposer ci-dessous est un sangaku. Les sangakus étaient des problèmes géométriques d’origine japonaise, qui étaient gravés sur des tablettes en bois et accrochés dans les temples. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter la page Wikipédia à ce sujet.

Le problème ! Le problème !

Voici sans plus attendre l’énigme à résoudre avec ce sangaku:

 Soit \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 deux cercles tangents, et d une droite tangente à ces deux cercles. On admet qu’il est possible de construire un troisième cercle qui est à la fois tangent aux cercles et à la droite. Question: si on connaît les rayons r_1 et r_2 des deux premiers cercles, que vaut le rayon r_3 du troisième cercle ?

Full_contact_II_sangaku_

Résolution

La résolution de ce problème utilisera la petite formule que nous avions démontrée dans l’ article précédent (Full contact – Episode I) (que je vous conseille d’aller lire !). Pour rappel, voici ce que nous avions démontré:

Full_contact_II_rappelSi on revient à notre sangaku, on peut appliquer notre formule trois fois:

Full_contact_II_sangaku_notations

  • \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 sont tangents donc: AB^2 = 4 r_1 r_2
  • \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_3 sont tangents donc: AC^2 = 4 r_1 r_3
  • \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 sont tangents donc: CB^2 = 4 r_2 r_3

D’autre part, comme les points A, B et C sont alignés, on a l’égalité AB = AC + CB et en élevant cette relation au carré, on a

AB^2 = AC^2 + 2 AC \times CB + CB^2

On remplace chaque distance par l’expression que nous avons vue ci-dessus:

4 r_1 r_2 = 4 r_1 r_3 + 2 \sqrt{4 r_1 r_3} \sqrt{4 r_2 r_3} + 4 r_2 r_3

c’est-à-dire:

4 r_1 r_2 = 4r_1r_3 + 8 r_3 \sqrt{r_1 r_2} + 4 r_2 r_3

Il reste à isoler r_3. En factorisant, on a:

4 r_1 r_2 = 4 r_3 ( r_1 + 2 \sqrt{r_1} \sqrt{r_2} + r_2)

Ce ne serait pas une petite identité remarquable, là ? Mais oui !

4 r_1 r_2 = 4 r_3 (\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2

Et on obtient:

\boxed{ r_3 = \dfrac{r_1 r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2} }

On pourrait s’arrêter là mais on peut mettre cette formule sous une autre forme que je trouve plus élégante. Commençons par prendre l’inverse de l’égalité précédente:

\dfrac{1}{r_3} = \dfrac{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2}{r_1 r_2}

Puis prenons la racine carrée dans les deux membres:

\dfrac{1}{\sqrt{r_3}} = \dfrac{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1}\sqrt{r_2}}

ce qui donne la belle formule:

\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{r_3}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}}

Cette formule fait penser à la formule obtenue en physique quand on met des résistances en parallèles !

Et la construction alors ?

Il est possible de construire le troisième cercle tangent à la règle et au compas, mais bien que la construction en elle-même ne soit pas trop dure, la justification est un peu plus subtile et je me suis donc bien gardé d’en parler dans cet article. Mais pour les gens intéressés, l’idée de la construction peut être vue ici… (attention, c’est en Anglais !).

Pour finir, des coordonnées

Pour terminer cet article, donnons un reformulation en termes de coordonnées qui peut être utile. On suppose qu’on s’est donné un repère et que la tangente commune aux cercles est l’axe des abscisses:

Full_contact_II_coordonneesOn suppose que les coordonnées des centres des deux premiers cercles sont connues. Quelles sont les coordonnées du centre du troisième cercle ? Nous voyons tout d’abord que son ordonnée est son rayon r_3= \frac{r_1 r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2}. Quant à son abscisse, il suffit de déterminer la distance AC pour la trouver. Or, si on réutilise les différentes formules vues précédemment, on  a AC = 2\sqrt{r_1 r_3}, donc AC =2 \sqrt{r_1} \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}=2r_1 \frac{\sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}

Ainsi, les coordonnées du troisième cercle tangent sont:

(x_1 + 2r_1 \dfrac{\sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}} ;\dfrac{r_1 r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2})

 

Au final, ce n’était pas un problème si simple que cela, il y avait pas mal de boulot. Ils ne se foutaient pas de la gueule des gens quand ils posaient des sangakus à l’époque !

Note:

Pour l’anecdote, ce sangaku-ci (coup ça) fut posé en 1824 sur une tablette dans les environs de la préfecture de Gunma au centre du Japon (source).

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6 commentaires pour Full contact – Episode II

  1. Anonyme dit :

    Très bel exposé avec une jolie moyenne harmonique sur des racines carrées comme formule.

  2. C’est effectivement une jolie formule!

    PS Ce n’est pas une moyenne harmonique.

  3. Siméon dit :

    Complément d’anecdote : il s’agit en fait d’un cas limite du célèbre problème des contacts d’Apollonius (bien plus ancien donc que 1824) ou plus précisément du thèorème de Descartes, lorsqu’on fait tendre le rayon d’un des cercles vers l’infini.

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