Trèfle à quatre feuilles

Je suis tombé il y a peu sur un joli problème géométrique. On se donne un carré de côté 20 dans lequel on trace quatre demi-cercles comme ci-dessous. Quelle est l’aire du trèfle à quatre feuilles obtenu ?

95% des élèves de maternelle moyenne section savent répondre à cette question. Et vous ? Prenez un papier et un stylo, et essayez par vous-même avant de lire la suite !

(Je vous rassure, ce problème n’est pas aussi simple qu’il en a l’air)

Trèfle de plaisanterie

Si vous avez trouvé la bonne réponse (voir plus loin dans l’article pour le résultat), il est probable que vous avez utilisé une méthode géométrique. Par exemple, une façon géométrique de répondre à cette question serait de calculer l’aire d’un demi-pétale en utilisant l’astuce qui consiste à voir que cette aire n’est autre que la différence de l’aire d’un quart de cercle avec l’aire d’un triangle rectangle (voir figure ci-dessous), puis de multiplier le résultat par 8.

Pour calculer l’aire d’un demi-pétale, on calcule l’aire d’un quart de cercle moins l’aire du triangle rectangle et isocèle en pointillés. Cela correspond à la partie grisée de la figure.

Là, vous allez me dire que c’est du foutage de gueule et que balancer une solution dès le début de l’article tue le suspense. Et vous auriez raison.

Cependant, ce que j’aimerais faire ici, c’est non pas de proposer une solution géométrique, mais plutôt une solution combinatoire. C’est une méthode qui en apparence sera plus lourde que la simple explication géométrique précédente, mais qui aura le bon goût de pouvoir être éventuellement réutilisée pour des figures différentes. Voyons voir comment elle s’applique ici.

Poincaré dans un carré

La formule que nous utiliserons est une formule que nous avons déjà utilisé dans ce blog (pour dénombrer le nombre d’entiers sans facteur carré) : il s’agit de la formule du crible de Poincaré. Vous avez sans doute tous vu au lycée un cas particulier de cette formule dans le cadre du cours de probabilités: vous savez (j’espère..) que si et sont deux événements, alors:

Et l’explication schématique que votre professeur vous en a faite, est sans doute le diagramme de Venn suivant:

Cette formule de Poincaré dit finalement que l’aire totale colorée en rouge est égale à l’aire de la patate plus l’aire de la patate moins l’aire de l’intersection des deux patates. Si on note l’aire du domaine de la surface , on a donc:

Ce qui est bien avec la formule de Poincaré, c’est qu’elle possède une version pour n’importe quel nombre de patates… Et si, au lieu de deux patates, il y en a quatre, voici la formule obtenue:

Découpage territorial

Revenons à notre trèfle de départ. Nos quatre patates seront les surfaces délimitées par les quatre demi-cercles qu’on notera et :

La formule de Poincaré nous donne une relation entre l’aire totale recouverte par ces demi-cercles et leurs différentes intersections. Avant de continuer, voyons voir ce que donnent ces intersections:

On voit donc que l’aire du trèfle est la somme des aires des intersections des demi-cercles. Notons au passage que l’intersection des demi-cercles opposés et est vide (ou plutôt, elle est réduite à un seul point, le centre du carré, mais l’aire d’un point étant nulle, on peut donc se passer de le préciser dans la suite et faire comme si cette intersection est vide). Idem pour l’intersection des demi-cercles et .

Pour finir, remarquons que si on prend l’intersection de trois demi-cercles, alors elle est vide car lorsqu’on prend trois demi-cercles, deux au moins d’entre eux sont opposés l’un à l’autre et l’intersection de ces deux demi-cercles est vide.

De même, l’intersection des quatre demi-cercles est vide.

Calcul de l’aire du trèfle

On note l’aire du trèfle de départ. En analysant la formule de Poincaré, on voit que:

Ainsi, on en déduit:

d’où:

Si on note la longueur du côté du carré, nous allons exprimer l’aire en fonction de . Or, les quatre demi-cercles recouvrent entièrement le carré, donc:

De plus, les aires des demi-cercles sont toutes égales et valent :

D’où:

On obtient ainsi la jolie formule qui donne l’aire du trèfle:

Une petite application numérique lorsque le carré a pour côté nous donne une aire égale à !

Je suis quand même fier d’avoir pu placer le jeu de mot (moisi) « trèfle de plaisanterie » dans mon blog.