Trèfle à quatre feuilles

Je suis tombé il y a peu sur un joli problème géométrique. On se donne un carré de côté 20 dans lequel on trace quatre demi-cercles comme ci-dessous. Quelle est l’aire du trèfle à quatre feuilles obtenu ?

Trouver_aire_du_trefle95% des élèves de maternelle moyenne section savent répondre à cette question. Et vous ? Prenez un papier et un stylo, et essayez par vous-même avant de lire la suite !

(Je vous rassure, ce problème n’est pas aussi simple qu’il en a l’air)

Trèfle de plaisanterie

Si vous avez trouvé la bonne réponse (voir plus loin dans l’article pour le résultat), il est probable que vous avez utilisé une méthode géométrique. Par exemple, une façon géométrique de répondre à cette question serait de calculer l’aire d’un demi-pétale en utilisant l’astuce qui consiste à voir que cette aire n’est autre que la différence de l’aire d’un quart de cercle avec l’aire d’un triangle rectangle (voir figure ci-dessous), puis de multiplier le résultat par 8.

Pour calculer l'aire d'un demi-pétale, on calcule l'aire d'un quart de cercle moins l'aire du triangle rectangle en pointillé. Cela correspond à la partie grisée de la figure.

Pour calculer l’aire d’un demi-pétale, on calcule l’aire d’un quart de cercle moins l’aire du triangle rectangle et isocèle en pointillés. Cela correspond à la partie grisée de la figure.

Là, vous allez me dire que c’est du foutage de gueule et que balancer une solution dès le début de l’article tue le suspense. Et vous auriez raison.

Cependant, ce que j’aimerais faire ici, c’est non pas de proposer une solution géométrique, mais plutôt une solution combinatoire. C’est une méthode qui en apparence sera plus lourde que la simple explication géométrique précédente, mais qui aura le bon goût de pouvoir être éventuellement réutilisée pour des figures différentes. Voyons voir comment elle s’applique ici.

Poincaré dans un carré

La formule que nous utiliserons est une formule que nous avons déjà utilisé dans ce blog (pour dénombrer le nombre d’entiers sans facteur carré) : il s’agit de la formule du crible de Poincaré. Vous avez sans doute tous vu au lycée un cas particulier de cette formule dans le cadre du cours de probabilités: vous savez (j’espère..) que si A et B sont deux événements, alors:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

Et l’explication schématique que votre professeur vous en a faite, est sans doute le diagramme de Venn suivant:

formule_vue_au_lycee

Cette formule de Poincaré dit finalement que l’aire totale colorée en rouge est égale à l’aire de la patate A plus l’aire de la patate B moins l’aire de l’intersection des deux patates. Si on note \bigtriangleup_A l’aire du domaine de la surface A, on a donc:

Formule_Poincare_2_patates

Ce qui est bien avec la formule de Poincaré, c’est qu’elle possède une version pour n’importe quel nombre de patates… Et si, au lieu de deux patates, il y en a quatre, voici la formule obtenue:

Formule_Poincare_4_patatesDécoupage territorial

Revenons à notre trèfle de départ. Nos quatre patates seront les surfaces délimitées par les quatre demi-cercles qu’on notera A, B, C et D:

Les_quatre_patates_du_trefleLa formule de Poincaré nous donne une relation entre l’aire totale recouverte par ces demi-cercles et leurs différentes intersections. Avant de continuer, voyons voir ce que donnent ces intersections:

trefle_intersection_des_demi_cerclesOn voit donc que l’aire du trèfle est la somme des aires des intersections des demi-cercles. Notons au passage que l’intersection des demi-cercles opposés A et C est vide (ou plutôt, elle est réduite à un seul point, le centre du carré, mais l’aire d’un point étant nulle, on peut donc se passer de le préciser dans la suite et faire comme si cette intersection est vide). Idem pour l’intersection des demi-cercles B et D.

Pour finir, remarquons que si on prend l’intersection de trois demi-cercles, alors elle est vide car lorsqu’on prend trois demi-cercles, deux au moins d’entre eux sont opposés l’un à l’autre et l’intersection de ces deux demi-cercles est vide.

De même, l’intersection des quatre demi-cercles est vide.

Calcul de l’aire du trèfle

On note \mathcal{A} l’aire du trèfle de départ. En analysant la formule de Poincaré, on voit que:

Etude_de_la_formule_de_Poincare

Ainsi, on en déduit:

formule_aire_trefle_1

d’où:

formule_aire_trefle_2

Si on note a la longueur du côté du carré, nous allons exprimer l’aire \mathcal{A} en fonction de a. Or, les quatre demi-cercles recouvrent entièrement le carré, donc:

formule_aire_trefle_3

De plus, les aires des demi-cercles sont toutes égales et valent :

formule_aire_trefle_4

D’où:

formule_aire_trefle_5_bis

On obtient ainsi la jolie formule qui donne l’aire du trèfle:

formule_aire_trefle_5Une petite application numérique lorsque le carré a pour côté a=20 nous donne une aire égale à 400 ( \frac{\pi}{2} - 1) = 200 (\pi -2) !

Je suis quand même fier d’avoir pu placer le jeu de mot (moisi) « trèfle de plaisanterie » dans mon blog.

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7 commentaires pour Trèfle à quatre feuilles

  1. Trèfle de plaisanterie dit le lapin dans son carré de luzerne…

  2. The Dude dit :

    Encore une fois un très bel article. J’adore ces liens qu’on peut faire, la pluralité des méthodes qu’on peut utiliser (de la spécifique à la plus générale).

    Quand j’ai démarré mon blogue, je ne connaissais pas le vôtre… pourtant c’est exactement votre blogue que j’avais en tête! Ne lâchez pas! Après toutes ces années, vous êtes toujours inspirants.

    Bonne journée !

    PS. Je laisserai à Olivier le loisir de répondre mais une recherche sur Google pour le carré de luzerne renvoie à ceci : http://goo.gl/CgCCbl

    • blogdemaths dit :

      Merci pour ce beau compliment venu du Canada 😉 Je visite moi aussi régulièrement votre blog, et il est de très bonne qualité ! J’apprends quelque chose à chaque fois 🙂

  3. Anonyme dit :

    c’est trop dur T.T

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