Apres avoir parlé du crible d’Eratosthène dans les deux articles précédents, nous allons voir un autre crible qui est, je trouve, très esthétique. Il s’agit d’un crible dû à un mathématicien répondant au doux nom de Matiyasevitch qui est surtout connu pour avoir résolu le 10éme problème de Hilbert.
Dessine-moi une parabole
Commençons par tracer la parabole d’équation . Sur cette courbe, il y aura deux types de points:
- Pour tout
entier,
.
- Pour tout
entier,
.
Puis on relie tous les points à tous les points
.
Chassés-croisés
Voici la figure obtenue:
Sur l’axe des abscisses, certains points sont traversés par au moins un des segments , et d’autres ne sont jamais traversés. Si vous regardez de plus près, les abscisses qui ne sont coupées par aucun segment sont des nombres premiers. Nous pouvons énoncer la proposition suivante:
Un nombre situé sur l’axe des abscisses n’est pas premier si, et seulement si, un des segments traverse l’axe des abscisses en ce point.
Voici la jolie figure obtenue par Matiyasevitch himself (cliquez dessus pour l’agrandir… Elle est aussi disponible sur sa page web):
Preuve du théorème
La démarche est la suivante: nous allons d’abord déterminer les coordonnées du point d’intersection de l’axe des abscisses avec le segment , puis nous montrerons que c’est un nombre composé (c’est-à-dire qui n’est pas premier).
Soit . Commençons par déterminer une équation de la droite
:
- Si
alors
et
ont même abscisse et donc une équation de
est
(c’est-à-dire
) .
- Si
, le coefficient directeur a de la droite
est
. Donc une équation de la droite est
où b est l’ordonnée à l’origine (qu’il nous reste à déterminer). Or, puisque
appartient à cette droite, b vérifie l’égalité
donc
. Au final, une équation de la droite
est:
Si est le point d’intersection de la droite
avec l’axe des abscisses alors d’après les équations que nous venons de trouver:
- Si
, les coordonnées de
sont
.
- Si
alors, puisque l’ordonnée
de
est nulle (ce point est sur l’axe des abscisses), l’abscisse
de
vérifie
donc
.
Dans tous les cas, la droite coupe l’axe des abscisses en
. De là, nous pouvons prouver la propriété de ce crible: si une abscisse est coupée par une des droites
, alors cette abscisse s’écrit
pour certains
et donc
n’est pas premier. Réciproquement, si une abscisse
n’est pas un nombre premier, alors il existe
tels que
et donc la droite
traverse l’axe des abscisses en ce point.
Ah ! J’aime bien. Et c’est esthétique !
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Merci ! 🙂
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Bravo! très bon article. Très intérressant
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Merci !
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