2011, plus qu’un simple nombre…

Afin d’accueillir de bonne manière cette nouvelle année qui arrive dans quelques heures, je propose de s’intéresser un peu au nombre 2011.

2011, qui es-tu ?

Tout d’abord, 2011 est un nombre premier. La dernière fois que cela était arrivé, c’était en 2003. Il faudra aussi attendre 2017 pour la prochaine année qui soit un nombre premier.

Le nombre 2011 possède plusieurs propriétés amusantes et/ou remarquables. En voici quelques-unes:

  • Il peut s’écrire comme la somme de 11 nombres premiers consécutifs: 2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211. On peut noter que le plus petit nombre à pouvoir s’écrire comme la somme de 11 nombres premiers consécutifs est 160 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31.
  • 2011 multiplié par son symétrique (1102) est un nombre palindrome (c’est-à-dire un nombre qui ne change pas lorsqu’on le lit de droite à gauche ou de gauche à droite) car 2011 x 1102 = 2216122. On peut constater que cette propriété est aussi vérifiée par le nombre 12 (entre autres…)
  • Le double de 2011 moins 1 est encore un nombre premier. (4021)
  • D’après un célèbre théorème de Lagrange, et comme tout autre nombre, 2011 peut être décomposé comme une somme de quatre carrés: 2011 = 39^2 + 21^2 + 7^2 + 0^2.

Jouons avec les chiffres de 2011:

La somme des chiffres de 2011 est un carré parfait (2+0+1+1=4). Mais si on avait décidé de prendre d’abord le carré de 2011 puis de faire la somme des chiffres, on aurait aussi obtenu un carré parfait: 2011^2= 4 044 121 et 4+0+4+4+1+2+1=16.

Il se trouve qu’il existe plusieurs manipulations des chiffres de 2011 qui donnent encore un nombre premier.

  •  Prenons chaque chiffre de 2011. Elevons chacun de ces nombres à la puissance lui-même, puis formons la somme. On obtient encore un nombre premier. Autrement dit, 2^2+0^0+1^1+1^1 = 7 (avec la convention 0^0=1). C’est aussi valable pour d’autres nombres premiers comme 101 et 103 par exemple.
  •  Si on choisit trois chiffres au hasard de 2011, leur somme sera encore un nombre premier.
  • Et si on change le 0 de 2011 en 3, en 4 ou en 7, on obtient encore un nombre premier !

Ce que 2011 ne sera pas…

Le nombre 2011 n’est pas un nombre premier de Sophie Germain, c’est-à-dire un nombre premier p tel que 2p+1 soit aussi un nombre premier (par exemple, 23). En revanche, si p=2011, alors 2p-1 est premier comme on l’a dit plus haut.

De plus, le nombre 2011 ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés, car le reste de la division euclidienne de 2011 par 4 vaut 3 (voir le théorème des deux carrés). On ne pourra donc pas arranger 2011 timbres pour former exactement deux carrés (de toute façon, cela n’a aucun intérêt de disposer des timbres de cette façon, sauf peut-être pour le philatéliste qui s’ennuie, mais dans ce cas, il y a sans doute plus intéressant à faire).

Malheureusement aussi, 2^{2011}-1 n’est pas un nombre premier de Mersenne.

Des propriétés troublantes…

Pour terminer cet article, voici deux constats qui feront peut-être réfléchir les plus superstitieux d’entre vous… 

  1. Le 13 Mai 2011 sera un jour très spécial. En plus d’être un « vendredi 13 », ce jour du 13/05/2011 sera très particulier. En effet, si on effectue la somme des chiffres de 13052011, on trouve encore 13… C’est ce qu’on appelle un « double vendredi 13 ».  (voir http://primes.utm.edu/curios/page.php?number_id=44&submitter=Caldwell d’où je tire cette information).
  2. Si on fait démarrer la suite de Syracuse de 2011, alors il faut exactement 42 étapes pour arriver jusqu’à 1:
    2011 -> 6034 -> 3017 -> 9052 -> 4526 -> 2263 -> 6790 -> 3395 -> 10186 -> 5093 -> 15280 -> 7640 -> 3820 -> 1910 -> 955 -> 2866 -> 1433 -> 4300 -> 2150 -> 1075 -> 3226 -> 1613 -> 4840 -> 2420 -> 1210 -> 605 -> 1816 -> 908 -> 454 -> 227 -> 682 -> 341 -> 1024 -> 512 -> 256 -> 128 -> 64 -> 32 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
    Qui a dit que 42 était la réponse ? Et si 2011 était l’année où on prouvera la véracité de cette conjecture…  

J’invite mes millions de lecteurs (je m’enflamme un peu) à tester les propriétés énoncées dans cet article sur d’autres nombres, et en attendant, je vous souhaite une bonne année 2011 !

Sources: Essentiellement, l’excellente encyclopédie des suites de nombre entiers.

A voir: Pour encore plus de propriétés du nombre 2011, vous pouvez aller consulter cet article du blog Choux Romanesco.

Advertisements
Cet article, publié dans Nombres, est tagué , , , , . Ajoutez ce permalien à vos favoris.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s