Un exercice d’arithmétique posé au bac en 1976

En parcourant mon forum préféré, je suis tombé sur un fil où on recensait les sujets de bac anciens. Parmi ceux-là, voici un exercice qui a été posé en 1976:

La première démarche à suivre quand on est devant ce genre d’exercices est de tester l’équation sur quelques nombres simples, pour essayer de comprendre, si ces nombres ne conviennent pas, quelles conditions une solution doit vérifier. Comme on dit, on apprend de ses erreurs, et c’est particulièrement vrai en maths (et à tous les niveaux, même celui de la recherche !).

(Rappelons que le PPCM de deux nombres x et y est le plus petit multiple commun: c’est un multiple de x et de y, et si un autre nombre est un multiple de x et y alors il est divisible par PPCM(x,y). C’est donc le plus petit multiple au sens de la relation d’ordre \leq mais aussi au sens de la relation de divisibilité).

Résolution

Il ‘agit d’un système (non linéaire !) d’équations à deux inconnues. Résolvons cet exercice:

  1. Considérons deux entiers x’ et y’ premiers entre eux. Supposons que leur somme et leur produit ne soient pas premiers entre eux. Il existerait donc un nombre premier p \geq 2 qui divise x’+y’ et x’y’.
    Par suite, p diviserait toute combinaison linéaire (à coefficients entiers !) de x’+y’ et x’y’ donc en particulier: x'(x’+y’) – x’y’ = x’². Puisque p est premier et qu’il divise x’², alors il divise x’ (conséquence du lemme de Gauss). De même, on montre que p divise y’, donc p divise leur PGCD c’est-à-dire 1, ce qui est absurde puisque p \geq 2.
  2. On se doute que pour répondre à cette question, il va falloir utiliser ce qu’on a vu à la question précédente. Soit (x,y) une solution de cette équation (x et y sont donc deux entiers positifs non nuls). Si on note d=PGCD(x,y), on sait qu’il existe deux entiers x’ et y’ premiers entre eux tels que x=dx’ et y=dy’.  A présent, retraduisons les deux équations:
    – la première devient d(x’+y’)=56 (1);
    – pour la seconde équation, il faut souvenir de l’égalité PPCM(x,y).PGCD(x,y)=xy, c’est-à-dire 105d =xy. Après simplifications, on obtient dx’y’=105 (2).D’après la première question, on sait que PGCD(x’+y’,x’y’)=1. La distributivité du plus grand diviseur commun entraîne PGCD(d(x’+y’),d(x’y’)) = d.PGCD(x’+y’,x’y’)= d.
    Cela signifie que PGCD(56,105)=PGCD(d(x’+y’),d(x’y’))=d. Le nombre d est donc nécéssairement 7. L’équation (1) devient ainsi x’+y’=8 et l’équation (2) devient x’y’=15. De cette dernière, on tire le fait que le couple (x’,y’) vaut (1,15), (15,1), (3,5) ou (5,1), car ce sont toutes les possibilités de décomposition de 15 en produit de deux entiers. Mais puisque l’équation (1) doit être vérifiée, on voit donc que seuls les couples (3,5) et (5,3) sont possibles. Par suite, le couple (x,y) de départ vaut (21,35) ou (35,21).

    Réciproquement, voyons si ces deux couples sont solution du système de départ:
    21+35=35+21=56 et PPCM(21,35)=PPCM(35,21)=105.
    L’ensemble des solutions est donc {(21,35); (35,21)}.

Et un tel exercice en 2011 ?

Puisque de nos jours nous disposons d’ordinateurs, et puisque l’algorithmique est entrée dans les programmes de mathématiques au lycée, on peut écrire un programme permettant de tester tous les couples. L’équation x+y=56 impliquant y=56-x, il suffit de tester tous les couples (x,56-x): on calcule le PPCM de chacun de ces couples, et s’il vaut 105, alors c’est une solution. Voici la liste de tous les couples obtenus (on s’est arrêté à 28 par symétrie du problème):

(1,55) le PPCM est : 55

(2,54) le PPCM est : 54

 (3,53) le PPCM est : 159

 (4,52) le PPCM est : 52

(5,51) le PPCM est : 255

 (6,50) le PPCM est : 150

 (7,49) le PPCM est : 49

 (8,48) le PPCM est : 48

 (9,47) le PPCM est : 423

 (10,46) le PPCM est : 230

 (11,45) le PPCM est : 495

(12,44) le PPCM est : 132

 (13,43) le PPCM est : 559

 (14,42) le PPCM est : 42  (pour une fois, 42 n’est pas la réponse…)

(15,41) le PPCM est : 615

 (16,40) le PPCM est : 80

(17,39) le PPCM est : 663

 (18,38) le PPCM est : 342

 (19,37) le PPCM est : 703

(20,36) le PPCM est : 180

(21,35) le PPCM est : 105

(22,34) le PPCM est : 374

(23,33) le PPCM est : 759

(24,32) le PPCM est : 96

(25,31) le PPCM est : 775

(26,30) le PPCM est : 390

(27,29) le PPCM est : 783

(28,28) le PPCM est : 28

On constate que le seul couple qui convient est (21,35) (ainsi que (35,21) par symétrie). Il est amusant de noter qu’une preuve consistant à lister tous les couples comme ci-dessus est tout aussi valable que la preuve théorique proposée plus haut. L’inconvénient est qu’elle nécéssite beaucoup de calculs et qu’elle masque les vraies raisons qui font que seul (21,35) ne peut marcher. De plus, si on décide de généraliser l’équation en remplaçant 56 et 105 par des entiers quelconques, l’ordinateur ne nous sera plus d’aucun secours.

Le programme permettant ces calculs a été écrit à l’aide du petit logiciel Algobox (très utile pour apprendre l’algorithmique !). Le principe est le suivant: plutôt que de calculer le PPCM, le programme calcule le PGCD (à l’aide de l’algorithme d’Euclide) et utilise la formule PPCM(x,y)=xy/PGCD(x,y) pour renvoyer le plus petit multiple commun. Cet algorithme n’est sans doute pas optimal, mais pour des nombres aussi petits que 56 et 105, il convient parfaitement.

Si vous êtes intéressé par le code de ce programme, n’hésitez pas à laisser un commentaire en dessous de ce billet.

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3 commentaires pour Un exercice d’arithmétique posé au bac en 1976

  1. EMMA dit :

    bonjour ;
    excusez moi mais je comprend pas comment expliquer que la somme et le produit de deux nombres premiers entre eux, sont toujours premiers entre eux ??

  2. Anonyme dit :

    trop cool tanks

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