2016, année hexagonale

L’année 2015 a été particulièrement difficile et tragique pour la France. On espère bien entendu que cette nouvelle année qui arrive sera plus souriante pour notre beau pays. Je ne sais pas si 2016 sera l’année de l’Hexagone, mais ce qui est sûr, c’est que 2016 sera l’année de l’hexagone (en minuscule) !

En effet, le nombre 2016 est ce qu’on appelle un nombre hexagonal. La dernière fois que cela s’était produit, c’était en 1891 et la prochaine fois que cela arrivera de nouveau, ce sera en 2145. Autant dire que ce ne sera pas pour demain. En ce sens, 2016 est donc une année remarquable, et ce, d’autant plus qu’il n’y a eu que 31 années hexagonales depuis l’an 1 !

Qu’est-ce qu’un nombre hexagonal ?

On dit qu’un nombre $N$ est un nombre hexagonal si, lorsqu’on prend $N$ perles (ou $N$ cailloux, pour les roturiers), on peut les disposer en un certain nombre d’hexagones concentriques tous possédant deux côtés en commun de sorte que:

le 1er hexagone possède deux perles sur chacun de ses côtés
le 2ème hexagone possède trois perles sur chacun de ses côtés
le 3ème hexagone possède 4 perles sur chacun de ses côtés
etc.

Par convention, on dira que $N=1$ est un nombre hexagonal. Pour bien visualiser cela, voici une illustration des quatre premiers nombres hexagonaux qui sont 1, 6, 15 et 28:Dans la suite, on notera $h_n$ le $n$ -ème nombre hexagonal. On a dit que le premier nombre hexagonal est 1 par convention, donc $h_1 = 1$ . Le second nombre hexagonal est $h_2=6$ . De même, $h_3=15$ et $h_4 =28$ . Plus généralement, le nombre $h_n$ représentera donc le nombre de perles de la figure dans laquelle il y a $n-1$ hexagones concentriques, le plus grand hexagone possédant $n$ perles sur chaque côté.

45 est le 5ème nombre hexagonal. Vous voyez qu’il y a 4 hexagones en tout et que, sur le plus grand hexagone, chaque côté contient 5 perles.

Pourquoi 2016 est-il un nombre hexagonal ?

Il se trouve que pour former 31 hexagones concentriques, il faut utiliser au total 2016 perles exactement, ce qui veut bien dire que 2016 est un nombre hexagonal. Mais, dit comme cela, c’est un peu trop facile, et, surtout, vous seriez obligés de me croire sur parole (ce que je vous déconseille) ou alors vous devriez acheter 2016 perles et essayer de les disposer en 31 hexagones concentriques pour le constater par vous-même (et là, j’aurais envie de vous dire, autant acheter un puzzle à 2016 pièces, vous vous amuserez sans doute plus… QUOIQUE !).

Vous pouvez vous amusez à compter qu'il y a bien 2016 perles dans cette figures, pas une de moins, pas une de plus. (Cliquez sur l'image pour l'agrandir)

Vous pouvez vous amuser à compter qu’il y a bien 2016 perles dans cette figure, pas une de moins, pas une de plus. (Cliquez sur l’image pour l’agrandir)

Je vous propose plutôt d’essayer de démontrer correctement que 2016 est bien un nombre hexagonal. Pour cela, nous allons tout d’abord essayer de déterminer une forme explicite de la suite $(h_n)$ .

Parental advisory – Explicit content

Mais avant de déterminer une forme explicite, nous allons trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite $(h_n)$ . Autrement dit, comment passe-t-on du $n$ -ème nombre hexagonal au $(n+1)$ -ème ?

Pour trouver le nombre $h_{n+1}$ de perles qu’il faut pour former le $(n+1)$ -ème nombre hexagonal, il faut d’abord comprendre comment on construit la figure correspondant à ce $(n+1)$ -ème nombre hexagonal.

nombres_hexagonaux_passage_d_une_figure_a_la_suivante

Passage d’un nombre hexagonal au suivant.

On commence par partir du $n$ -ème nombre hexagonal (ce qui donne déjà $h_n$ perles). On lui ajoute un hexagone « externe » de façon à ce que chacun des côtés de ce nouvel hexagone possède $n+1$ perles. Puisqu’un hexagone possède 6 côtés (vraiment ?) et que deux des côtés sont déjà communs avec les hexagones précédents, il suffit de compléter 4 des côtés de ce nouvel hexagone. Pour cela, on commence par compléter le premier côté (le côté du haut sur la figure) avec $n+1$ perles. Puis on complète le côté suivant avec $n$ perles (au total, cela donnera bien $n+1$ perles sur ce côté, car il y en a déjà une qui avait été posée en remplissant le premier côté). De même, on remplit le 3ème côté avec $n$ perles. Et on termine en remplissant le 4ème côté avec $n$ perles aussi.

En faisant la somme de toutes les perles utilisées, on en déduit la relation suivante:

$h_{n+1} = h_n + (n+1) + n + n + n$

d’où

$\boxed{ h_{n+1} = h_n + 4n +1}$

A partir de là, on est en mesure de déterminer une expression explicite de $h_n$ en fonction de $n$ à l’aide d’une petite astuce opératoire. On commence par remarquer que $h_{n+1} - h_n = 4n +1$ et en sommant cette relation de 1 à $n-1$ (là est l’astuce !), on obtient:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} h_{k+1} - h_k = \sum_{k=1}^{n-1} (4k+1)$

On reconnait à gauche une somme télescopique :

$\displaystyle h_n - h_1 = 4 \left( \sum_{k=1}^{n-1} k \right) + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

En se souvenant du résultat classique qui dit que la somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k$ vaut $\dfrac{(n-1)n}{2}$ , on trouve:

$\displaystyle h_n -h_1 = 4 \times \frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$

Puisque $h_1=1$ , on trouve $h_n =2n(n-1) + n$ . Donc, le $n$ -ème nombre hexagonal vaut

$\boxed{ h_n = 2n^2-n =n(2n-1) }$

Retour vers 2016

D’après ce qu’on vient de voir, prouver que 2016 est un nombre hexagonal revient à dire que l’équation $2n^2-n=2016$ possède une solution $n \in \mathbb{N}$ . Comme il s’agit d’une équation du second degré, je ne vous fais pas l’affront de la résoudre, mais si vous avez été attentif en lisant cet article, vous devriez me donner immédiatement la seule solution dans $\mathbb{N}$ sans réfléchir ! Oui, il s’agit bien de n=32 car nous avons dit plus haut que 31 hexagones concentriques nécessitaient 2016 perles.

Comment tester si un nombre est hexagonal ?

Il est possible de généraliser l’exemple de 2016 afin de trouver un critère permettant de déterminer facilement si un nombre quelconque est hexagonal, autrement qu’en enfilant des perles…

Jac enfile les perles sur la queue de Gus. Où comment ruiner votre enfance en une capture d'écran (Extrait de Cendrillon de Disney)

Jac enfile les perles sur la queue de Gus. Où comment ruiner votre enfance en une image. (Extrait de Cendrillon de Disney)

Soit $N>0$ un entier. Ce nombre est un nombre hexagonal si, et seulement si, l’équation $h_n = N$ possède une solution $n \in \mathbb{N}$ . Or,

$h_n= N \Longleftrightarrow 2n^2-n=N \Longleftrightarrow 2n^2-n-N = 0$

Le discriminant de cette équation est $\Delta = 1 + 8N >0$ et ses solutions sont:

$n_1 = \dfrac{1- \sqrt{1+8N}}{4} \text{ et } n_2 = \dfrac{1+\sqrt{1+8N}}{4}$

Puisque $N>0$ , la première solution est strictement négative et ne nous intéresse pas. Nous pouvons donc donner le critère suivant:

Un entier $N>0$ est un nombre hexagonal si, et seulement si, le nombre $\dfrac{1+\sqrt{1+8N}}{4}$ appartient à $\mathbb{N}$ .

Par exemple, si $N=9860$ , alors $\frac{1+\sqrt{1+8N}}{4} \simeq 70,46$ n’est pas entier, et n’est donc pas un nombre hexagonal. En revanche, $N= 10 296$ est bien un nombre hexagonal car $\frac{1+\sqrt{1+8N}}{4} = 72$ est entier.

Sur ce, je vous souhaite une bonne année 2016 à tous !

7 commentaires pour 2016, année hexagonale

Noémie dit :

4 janvier 2016 à 16 h 27 min

Super intéressant !
Et 2016 c’est aussi une année triangulaire de rang 63 : n(n+1) / 2 (1+2+3+4+…+61+62+63)
Comme quoi cette année risque d’être exceptionnelle, en tout cas mathématiquement parlant !

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Roland Dassonval dit :

8 janvier 2016 à 5 h 39 min

Merci pour cette étude qui m’a donné l’idée de ce programme en FLASH
http://rdassonval.free.fr/flash/hexa.swf
Des tests sont automatisés et on peut constater que tout entier de N* qui n’est pas hexagonal est la somme d’au plus 6 hexagonaux.
Cordialement,
Roland Dassonval.

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Belgrine Rachida dit :

16 mars 2016 à 19 h 40 min

Je trouve cette page remarquable sur son explications sur l’année 2016 …

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- blogdemaths dit :
  
  16 mars 2016 à 20 h 09 min
  
  Merci ! Content que cela vous a plu !
  
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Anonyme dit :

23 juin 2016 à 15 h 58 min

Je vais vous donner like+bleu(de Foop de fop).
2016=7(1-7(1+7(1-7)))=9(9(9(9-3!)-2!)-1!)=(13-1)(13²-1)

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Youness Tiour 12 dit :

23 juin 2016 à 16 h 11 min

Vraiment ? N’oublie pas que 2016=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55+56+57+58+59+60+61+62+63. Et aussi 2016 est un nombre pur, ça veut dire qu’on ne peut pas l’écrire sous forme de fib(n+1)k+fin(n) tel que n>0. Il y’en a 24 nombres purs entre 0 et 100, qui sont :
4;6;10;12;16;22;24;30;36;40;42;46;52;54;64;66;70;72;82;84;90;94;96;100.

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Youness Tiour 12 dit :

23 juin 2016 à 16 h 15 min

Vraiment ? N’oublie pas que 2016=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55+56+57+58+59+60+61+62+63. Et aussi 2016 est un nombre pur, ça veut dire qu’on ne peut pas l’écrire sous forme de fib(n+1)k+fib(n) tel que n>0. Il y’en a 24 nombres purs entre 0 et 100, qui sont :
4;6;10;12;16;22;24;30;36;40;42;46;52;54;64;66;70;72;82;84;90;94;96;100.

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