Combien de temps faut-il attendre avant de gagner au Loto ?

Attention: jouer à des jeux d’argents comporte des risques de choper des morpions, de devenir un pilier de comptoir ou de connaître des noms d’équidés par cœur. Nan, sérieux, faites gaffe !

Saviez-vous que si vous jouez suffisamment de fois au Loto, tôt ou tard vous gagnerez le gros lot et que cela est un fait mathématiquement démontrable ? Comme nous allons le voir, la théorie des probabilités dit qu’en jouant indéfiniment, on finit à un moment par gagner, ce qui n’est d’ailleurs pas sans rappeler la célèbre maxime des Shadoks:

Ce n’est qu’en essayant continuellement que l’on finit par réussir. En d’autres termes, plus ça rate et plus on a de chances que ça marche.

Attention cependant: ce n’est pas parce que vous avez perdu les 10 000 dernières fois que vous avez plus de chance de gagner à la prochaine ! Tous les parties sont indépendantes et tout recommence à zéro à chaque fois. Ainsi, localement on ne peut rien prévoir mais sur le long terme, une tendance se dégage où vous gagnerez à un moment donné.

Sans doute que vous allez me demander où est l’arnaque car s’il suffisait de jouer au Loto constamment pour gagner, ça devrait faire longtemps que certains auraient décroché le gros lot. Et pourtant, je vous le promets, d’arnaque il n’y a point ! Tôt ou tard vous gagnerez ! Mais en fait, plus tard que tôt, et c’est bien là le problème… Voici donc la question à laquelle nous allons répondre dans cet article: en moyenne, au bout de combien de temps (c’est-à-dire de combien de parties) gagne-t-on au Loto ?

Le cas d’une pièce

Avant de nous attaquer au cas du Loto, commençons par un exemple sans doute plus facile à concevoir, celui d’un pièce de monnaie. Je pense que vous arriverez tous à admettre que, si vous lancez une pièce suffisamment de fois, il y a un moment où vous tomberez sur Pile (c’est d’ailleurs amusant que ce résultat soit plutôt intuitif dans le cas d’une pièce et beaucoup moins dans le cas du Loto, alors que les situations sont quasi-identiques). Pour savoir au bout de combien de lancers on tombe sur Pile en moyenne, j’ai réalisé une petite simulation:

Loto_simulation_lancers_pieceSi on en croit cette simulation, il faut lancer une pièce environ deux fois en moyenne pour que Pile apparaisse. Ce qui est remarquable, c’est qu’à aucun moment le programme n’a tourné sans se terminer, signe qu’à chaque fois, Pile est bien sorti à un moment ou à un autre.

Le cas du dé

Prenons un autre exemple pour bien fixer les idées et essayer de voir si on peut conjecturer quelque chose. Si on lance un dé suffisamment de fois, je pense que là aussi il vous est facile d’arriver à concevoir que tôt ou tard on tombera sur un 4. Pour savoir en moyenne au bout de combien de lancers cela arrivera, j’ai encore fait une simulation:

Loto_simulation_lancers_deOn voit donc qu’en moyenne il faut  lancer un dé environ 6 fois pour obtenir un 4.

Conjecture

Résumons ce qu’on a vu:

  • dans le cas d’une pièce de monnaie, on a une chance sur 2 de tomber sur Pile et, en moyenne, Pile sort au bout de 2 lancers;
  • dans le cas d’un dé, on a une chance sur 6 de tomber sur un 4 et, en moyenne, le 4 sort au bout de 6 lancers.

Vous la voyez venir la conjecture ? La voici:

Dans une expérience aléatoire qu’on répète de manière identique et indépendante, si un événement a une probabilité p de se réaliser, alors il faut en moyenne \frac{1}{p} répétitions de cette expérience pour que cet événement se réalise.

Nous allons bien entendu prouver cette conjecture dans la suite mais, nous allons d’abord prouver que tôt ou tard on gagne bien au Loto.

Pourquoi gagne-t-on forcément un jour ou l’autre ?

On considère une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est notée p. On notera q=1-p la probabilité de perdre. Enfin, nous noterons X le nombre de parties à effectuer avant de gagner.

La première chose à faire est d’étudier cette variable aléatoire X, autrement dit, de déterminer la valeur des nombres P(X=n) pour tout n (on dit qu’on détermine la loi de probabilité de X). Pour bien visualiser les choses, on peut représenter la répétition de ces expériences à l’aide du graphe très simple suivant:

La boucle vers le haut signifie qu'on perd la partie et la flèche vers la droite signifie qu'on gagne. Tant qu'on perd, on revient au point de départ, quoi !

La boucle vers le haut signifie qu’on perd la partie et la flèche vers la droite signifie qu’on gagne. Tant qu’on perd, on revient au point de départ !

Déterminons donc les probabilités P(X=n):

  • L’événement X=1 veut dire « On gagne dès la première partie » et donc correspond au chemin qui, partant du départ, va directement à l’arrivée. On a donc P(X=1)=p.
  • L’événement X=2 signifie « On perd à la première partie, et on gagne à la deuxième ». Autrement dit, depuis le départ on parcourt une boucle vers le haut puis on parcourt le chemin allant vers l’arrivée. Ainsi, P(X=2) = qp.
  • L’événement X=3 se traduit par « On perd à la première et à la deuxième partie, puis on gagne à la troisième ». Cela veut donc dire que l’on parcourt deux boucles vers le haut, puis on parcourt le chemin qui va vers l’arrivée. On a donc P(X=3) = q \times q \times p = q^2 p.
  • Plus généralement, l’événement X=n veut dire « On perd à la première, à la deuxième, … et à la (n-1)-ème partie et on gagne à la n-ème partie. On parcourt donc n-1 boucles vers le haut puis le chemin qui va à l’arrivée. Ainsi, P(X=n) = q^{n-1} p.

Cela étant dit, ce qui nous intéresse ici est l’événement « On gagne un jour ou l’autre ». Ce dernier se traduit par:

  • Soit on gagne à la première partie (X=1);
  • Ou bien on perd à la première mais gagne à la deuxième partie (X=2);
  • Ou bien on perd à la première et la deuxième mais on gagne à la troisième (X=3);
  • etc.
  • Ou bien on perd aux n-1 premières parties et on gagne à la n-ème (X=n).
  • etc.

Autrement dit, comme ces événements sont disjoints deux à deux, la probabilité p_{\infty} de gagner un jour ou l’autre est:

\begin{array}{rcl} p_{\infty} & = & P(X=1) + P(X=2) + \cdots + P(X=n) + \cdots \\  & = & \displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} P(X=n)}\\  & = & \displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1}p} \end{array}

En factorisant par p et en réindexant cette suite, on obtient donc

\displaystyle p_{\infty} = p \sum_{n=0}^{+\infty} q^n

On reconnaît ainsi une série géométrique toute gentillette que l’on sait calculer parfaitement:

\displaystyle p_{\infty} = p \times \frac{1}{1-q}

En se souvenant que q=1-p, on a donc

\displaystyle p_{\infty} = p \times \frac{1}{1-(1-p)} = \frac{p}{p}=1

La probabilité de gagner un jour ou l’autre au Loto est donc bien de 100%… Mais cela ne nous dit toujours pas au bout de combien de temps !

Faut-il être patient pour jouer au Loto ?

Comme X compte le nombre de parties qu’il faut faire avant de gagner, pour connaître le temps d’attente avant de gagner au Loto (c’est-à-dire le nombre de parties à jouer en moyenne avant de gagner le gros lot), il faut calculer l’espérance de la variable X. Par définition,

\displaystyle E(X) = \sum_{n=1}^{+\infty} n P(X=n)

donc

\displaystyle E(X) = \sum_{n=1}^{\infty}n q^{n-1} p= p \sum_{n=1}^{\infty}n q^{n-1}

Pour calculer \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n q^{n-1}, il suffit de constater  que c’est la dérivée par rapport à q de \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} q^{n}= \frac{1}{1-q}. Je pense que vous savez tous dériver \displaystyle \frac{1}{1-q}, ce qui donne :

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}

On en déduit alors que

\displaystyle E(X) = p \times \frac{1}{(1-q)^2} = p \times \frac{1}{(1-(1-p))^2} =\frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}

ce qui prouve la conjecture émise précédemment.

Dans le cas du Loto (dans sa version actuelle), la probabilité de gagner le gros lot est de p =\frac{1}{19 068 840}, et donc le temps d’attente avant de gagner est en moyenne de \frac{1}{p}= 19 068 840 parties. A raison d’une partie jouée par semaine, il vous faudra attendre en moyenne 366 708 ans avant de gagner le jackpot.

J’espère en tout cas que cela vous aura convaincu qu’avant de gagner au Loto, il vous faudra en moyenne perdre 19 068 839 fois auparavant. En revanche, la Française des Jeux gagne à chaque fois !

Notes:

  • La variable aléatoire X que nous avons étudiée dans cet article suit ce qu’on appelle une loi géométrique.
  • Voici le code utilisé pour simuler les lancers de pièce et de dé.
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3 commentaires pour Combien de temps faut-il attendre avant de gagner au Loto ?

  1. Anonyme dit :

    Ca marcherait aussi avec la loi binomiale négative ?

    l’espérance du nombre d’échecs nécessaire avant l’obtention d’un seul succès est de :
    1*q/p, soit (1/p)-1.

    Ce qui signifie qu’en moyenne le succès arrive à 1/p parties.

    • Anonyme dit :

      On observe également que l’écart-type du nombre d’échec avant un seul succès vaut quasiment l’espérance car q est proche de 1… Mais je ne sais pas trop si on peut en tirer quelque chose de « parlant ».

  2. Ping : Séries géométriques, géométriquement ! | Blogdemaths

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