2019, année heureuse, année chanceuse

Les années se suivent et ne se ressemblent pas. Comme chaque année, il est temps de voir ce que 2019 va nous réserver comme lot de surprises mathématiques. Après tout, un peu de maths pour décuver, ça n’a jamais fais de mal à personne (sans doute car personne n’a jamais essayé de décuver en faisant des maths).

Quelques propriétés de 2019

Contrairement à 2018, 2019 ne peut pas s’écrire comme une somme de deux carrés (#déception) mais peut en revanche s’écrire comme une somme de trois carrés:

2019 = 43^2 + 13^2 + 1^2

ce qui n’est déjà pas mal, me direz-vous, car ce n’est pas donné à tous les nombres d’être décomposable en une somme de trois carrés comme le stipule un théorème de Legendre.

Autre propriété intéressante de 2019: c’est un nombre semi-premier c’est-à-dire le produit de deux nombres premiers (2019 = 3 \times 673). Pour être honnête, il n’y a jusque là rien de bien croustillant car 2018 était aussi un nombre semi-premier et que cela se reproduira en 2021. Là où c’est étonnant, c’est que si vous prenez les facteurs premiers de 2019, à savoir 3 et 673, et si vous les concaténez (dans un sens ou dans l’autre) alors vous obtenez encore des nombres premiers car 3673 et 6733 sont aussi des nombres premiers !

Cela est plutôt amusant mais, comme nous allons le voir, toutes ces propriétés font pâle figure à côté de ce que nous réservera réellement 2019. Je peux déjà vous dire que l’année qui vient s’annonce sous les meilleures auspices parce que 2019 est un nombre heureux, mais aussi car c’est un nombre chanceux ! De la joie et de la chance, n’est-ce pas tout ce qu’on attend finalement de la nouvelle année ? Eh bien 2019 va vous l’offrir… du moins, mathématiquement.

Vous ne savez pas ce qu’est un nombre heureux, ni ce qu’est un nombre chanceux ? Lisez donc la suite pour le savoir…

Heureux qui comme 2019…

Commençons par expliquer ce qu’est un nombre heureux. Prenez un nombre entier positif non nul, élevez chacun des chiffres qui le composent au carré et faites la somme des résultats.

Par exemple, si on prend le nombre 45 au départ, le nombre obtenu avec ce processus est

4^2 + 5^2 = 41.

Rien ne vous empêche de recommencer cette opération avec le dernier nombre obtenu à chaque fois, et vous obtenez alors une suite de nombres entiers. Par exemple, avec le nombre 45 au départ, vous obtenez la suite:

45 \longrightarrow 41 \longrightarrow 17 \longrightarrow 50\longrightarrow \cdots

Avant de dire ce qu’est un nombre heureux (je sais que vous trépignez d’impatience), remarquons qu’il y a deux nombres entiers qui ont statut très particulier quand il s’agit de faire la somme des carrés des chiffres: il s’agit de 1 et de 4. En effet,

  • pour n=1, la somme des carrés des ses (!) chiffres est 1^2=1. Cela veut dire que si on tombe sur le nombre 1 à une étape donnée, on retombera uniquement sur 1 à tous les tours suivants:
    \cdots \longrightarrow 1 \longrightarrow 1 \longrightarrow 1\longrightarrow \cdots
  • pour n=4, on obtient successivement les nombres 4^2 = 16, 1^2+6^2=37, 3^2+7^2 = 58, 5^2 + 8^2 =  89, 8^2 + 9^2 = 145, 1^2 + 4^2 + 5^2 =  42 (!), 4^2 + 2^2 = 20 et finalement 2^2 + 0^2 = 4. Autrement dit, si à un moment donné on tombe sur le nombre 4, on entre alors dans un cycle qui va se répéter indéfiniment, à savoir le cycle 4, 37, 58, 89, 145, 42, 20:
    \cdots \longrightarrow 4 \longrightarrow 37 \longrightarrow 58 \longrightarrow 89 \longrightarrow 145 \longrightarrow 42 \longrightarrow  20 \longrightarrow  4 \cdots

On peut démontrer (voir en fin d’article) que quelque soit l’entier naturel n>0 depuis lequel on part, on tombera toujours soit sur 1 (et dans ce cas, à partir d’un moment la suite ne contiendra que des 1), soit sur 4 (et dans ce cas, à partir d’un moment, le cycle 4, 37, 58, 89, 145, 42, 20 se répétera).

Autrement dit, le monde se divise en deux catégories. Ceux qui tombent un jour sur 1 et ceux qui tombent sur 4.

Les nombres qui atteindront à un moment le nombre 1 par ce processus s’appellent des nombres heureux. Les autres (ceux qui tomberont sur 4) s’appellent des nombres malheureux.

Revenons à 2019. La suite des nombres obtenus en partant de 2019 est la suivante:

2019 \longrightarrow 86 \longrightarrow 100 \longrightarrow  1

Vous comprenez maintenant pourquoi 2019 est un nombre heureux. Au fait, est-ce rare une année heureuse ? Si on compte depuis l’an I alors 2019 sera la 301ème année heureuse. Ce n’est pas très fréquent mais ça n’est pas si rare que cela non plus.

Une chance au grattage, une chance au tirage

Comme nous l’avons dit, 2019 est aussi ce qu’on appelle un nombre chanceux. Pour comprendre ce que c’est, nous allons écrire à la suite tous les nombres entiers et nous allons « tuer » (sans pitié !) certains nombres en suivant les règles suivantes:

  • On épargne 1. Il ne sera pas tué.
  • On tue tous les nombres en allant de 2 en 2.
  • On épargne le plus petit nombre n restant qu’on n’a pas déjà épargné.
  • On tue tous les nombres parmi ceux qui ne sont pas encore tués en allant de n en n.
  • Et on recommence ainsi de suite.

Pour bien comprendre ces règles (momentanément) obscures, appliquons-les pas à pas:

1. On commence par écrire la liste de tous les entiers.2. On épargne 1 et, pour représenter cela, on l’entoure.3. On barre (c’est moins violent que tuer !) tous les nombres en allant de 2 en 2.4. On entoure le plus petit nombre parmi ceux n’ont pas été barrés, c’est-à-dire 3.5. Parmi les nombres restants (ceux qui n’ont pas été barrés), on barre tous les nombres en allant de 3 en 3.6. On entoure le plus petit nombre restant qui n’ pas encore été entouré, à savoir 7.7. Parmi tous les nombres restants, on barre tous les nombres en allant de 7 en 7.

8. Etc.

Si vous voulez vous amuser à faire cela pour 100 nombres, je vous ai mis ci-dessous une grille à imprimer soi-même et à barrer. Croyez-moi, c’est mieux que les mots croisés ou que les sudokus (mais moins bien que des Chiffres et des Lettres quand même). Pour la correction, voir en fin d’article.

Lorsqu’on a terminé ce processus, tous les survivants (les nombres entourés) sont appelés des nombres chanceux. Là aussi, vous comprenez maintenant d’où vient le terme (et contrairement à Highlander, à la fin, il ne doit pas forcément n’en rester qu’un).

Pour voir que 2019 est un nombre chanceux, il « suffit » de faire le tableau des nombres allant de 1 à 2019 et de barrer méthodiquement (jusqu’à ce que mort d’ennui s’en suive) tous les nombres jusqu’à voir que 2019 est épargné. Si vous ne me croyez pas, regardez donc le tableau ci-dessous et vous pourrez constater que 2019 a échappé à son destin. Une année chanceuse, je vous dis !

Cliquez sur l’image pour l’agrandir (mais je trouve qu’on arrive quand même très bien à lire comme ça).

Nous sommes donc ravis d’apprendre que 2019 est un nombre chanceux. Cependant, ce n’est pas non plus une chose si rare que cela que d’être un nombre chanceux car, depuis l’an I, il y a eu 278 années chanceuses (2019 y compris). Et pourtant…

La chance sourit aux nombres heureux

Ce qui fait la particularité de 2019 dans tout cela, c’est qu’il y a eu très peu d’années qui cumulaient à la fois le fait d’être heureuses et chanceuses. Pour tout vous dire, 2019 ne sera que la 46ème année à avoir cette particularité. La dernière fois qu’une année était heureuse et chanceuse, c’était en 1995 et cela ne se reproduira plus avant 2115 (on a donc le temps de voir venir !).

Je vous souhaite une très bonne année et j’espère qu’elle sera aussi heureuse et chanceuse pour vous qu’elle l’est pour le nombre 2019 !

Notes :

Sources :

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2 commentaires pour 2019, année heureuse, année chanceuse

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  2. Anonyme dit :

    Merci pour ce post.
    Pour ma part je connaissais déjà la suite des nombres heureux et j’avais écrit ce document avec un style très matheux : https://github.com/bc-writing/drafts/blob/master/squares-int.pdf

    Une petite typo, il manque un 16 dans la suite partant de 4.

    Bonne année !

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