Êtes-vous aussi bon qu’un élève de CM1 ?

Voici une photo de deux petits exercices extraits d’un manuel de mathématiques Islandais de niveau CM1 (donc pour des élèves de 9 à 10 ans):

Même sans savoir lire l’Islandais, on comprend que chaque figure géométrique correspond à un certain nombre de points, qu’il faut déterminer. (En fait, d’après la traduction Google, « hvert er gildi hverrar myndar ? » signifie « Quelle est la valeur de chaque image? »)

Je ne doute pas un seul instant que vous êtes capable de résoudre ces deux problèmes. Je vais plutôt simplement vous demander de réfléchir au raisonnement que suivrait un élève de CM1 pour résoudre ces deux problèmes.

Et une fois que vous aurez réfléchi à cela, lisez la suite !

Analyse du 1er problème

Je vous remets l’énoncé du 1er exercice:

On peut imaginer que l’élève de CM1 moyen va commencer par regarder la 1ère ligne et se dire que « Si quatre triangles valent 80, alors un triangle vaut 20 ». Puis, il regardera la 2ème ligne, et il se dira : « Les triangles valent 60 à eux trois. Les trois cercles valent donc 75 moins 60, c’est-à-dire 15. Donc un cercle vaut 5 ». Il sautera ensuite la troisième ligne car il n’a encore aucune information sur les étoiles et les carrés et il ira directement à la dernière ligne: deux triangles et un cercle valent 20+20+5=45. Donc, les trois étoiles valent 75 moins 45 c’est-à-dire 30. Ainsi, une étoile vaut 10. Il reviendra pour finir à la 3ème ligne et il déduira qu’un carré vaut 35.

Analyse du second problème

Pour rappel, voici l’énoncé:

Pour ce problème, l’élève de CM1 moyen se dira qu’il est plus simple d’introduire des variables que des formes géométriques, donc il posera sans doute:

= nombre de points d’un disque jaune
= nombre de points d’un rectangle vert
= nombre de points d’une étoile rose
= nombre de points d’un triangle rouge.

Puis, il comprendra assez vite qu’il s’agit d’un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues qu’il s’empressera d’écrire plus simplement sous la forme:

système qui est encore équivalent à:

Il pensera alors sans doute à combiner les équations, et en particulier, il remplacera la deuxième ligne par la deuxième moins la troisième ():

Il constatera alors avec joie que et que donc l’ensemble des solutions est contenu dans un hyperplan de , ce qui signifie qu’il peut être plongé dans un espace à trois dimensions, ce qui est génial car il pourra interpréter cela en termes d’intersection de plans dans l’espace, notion qu’il venait tout juste de découvrir l’an passé en CE2 !

Mais il gardera son calme encore un peu, puisqu’il n’aura pas encore fini la résolution en tant que telle. Il sera bien sûr content d’avoir trouver , mais il lui restera à comprendre ce que donnera l’intersection des deux plans d’équations cartésiennes et (ce sont bien des plans lorsqu’ils sont vus comme des sous-espaces affines de l’espace à 3 dimensions d’équation cartésienne !). Il griffonnera probablement sur un bout de papier une représentation en 3D de ces plans:

Il comprendra alors que ces plans ne sont pas parallèles (ce qui était de doute façon évident pour lui car des vecteurs normaux à ces plans sont respectivement et , qui ne sont clairement pas colinéaires), donc il saura que ce système aura pour ensemble de solution toute une droite, qu’il essaiera de donner sous forme paramétrique (tant qu’à faire). Pour cela, il repartira du système:

et il fera la combinaison:

ce qui lui donnera:

En prenant comme paramètre, il obtiendra alors l’équation paramétrique suivante:

Notre élève de CM1 moyen se dira sans doute qu’il vient de prouver qu’il y a une infinité de solutions, mais que, quand même, il n’est qu’en CM1 et que les les nombres réels ne sont peut-être pas au programme, donc il imaginera que les solutions qu’il doit donner à ce problème devront être des nombres entiers. Il supposera ainsi , ce qui, d’après l’équation paramétrique précédente lui donnera les conditions suivantes:

c’est-à-dire:

Il en déduira que ne peut valoir que 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, ce qui lui donnera finalement les six solutions suivantes:

Mais comme il trouvera que les formes géométriques, c’est quand même vachement plus joli que les et les , voici la réponse finale qu’il rendra à son professeur:Pourquoi poser un tel problème à des CM1 ?

Je précise que l’image de ce manuel est authentique. Le fait qu’il n’y a pas une seule solution alors que la question était (si on en croit la traduction !) « quelle est la valeur de chaque image ? » pourrait faire croire qu’il y a eu une erreur dans l’énoncé du second exercice (il n’y a que 3 équations et il en faudrait une quatrième pour avoir une solution unique). Mais on peut aussi penser que tout cela est volontaire et qu’on n’attendait pas des élèves qu’ils trouvent toutes les solutions, mais qu’ils trouvent au moins une solution en tâtonnant ! (ce qui est tout à fait raisonnable en CM1). A moins qu’on attendait d’eux qu’ils écrivent un programme « Brute Force » pour trouver toutes les solutions entières en quelques lignes de code…

Et vous, aviez-vous trouvé au moins une solution ?

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