Êtes-vous aussi bon qu’un élève de CM1 ?

Voici une photo de deux petits exercices extraits d’un manuel de mathématiques Islandais de niveau CM1 (donc pour des élèves de 9 à 10 ans):

manuel_de_mathématiques_Islandais

Même sans savoir lire l’Islandais, on comprend que chaque figure géométrique correspond à un certain nombre de points, qu’il faut déterminer. (En fait, d’après la traduction Google, « hvert er gildi hverrar myndar ? » signifie « Quelle est la valeur de chaque image? »)

Je ne doute pas un seul instant que vous êtes capable de résoudre ces deux problèmes. Je vais plutôt simplement vous demander de réfléchir au raisonnement que suivrait un élève de CM1 pour résoudre ces deux problèmes.

Et une fois que vous aurez réfléchi à cela, lisez la suite !

Analyse du 1er problème

Je vous remets l’énoncé du 1er exercice:

probleme_niveau_CM1_1er_probleme

On peut imaginer que l’élève de CM1 moyen va commencer par regarder la 1ère ligne et se dire que « Si quatre triangles valent 80, alors un triangle vaut 20 ». Puis, il regardera la 2ème ligne, et il se dira : « Les triangles valent 60 à eux trois. Les trois cercles valent donc 75 moins 60, c’est-à-dire 15. Donc un cercle vaut 5 ». Il sautera ensuite la troisième ligne car il n’a encore aucune information sur les étoiles et les carrés et il ira directement à la dernière ligne: deux triangles et un cercle valent 20+20+5=45. Donc, les trois étoiles valent 75 moins 45 c’est-à-dire 30. Ainsi, une étoile vaut 10. Il reviendra pour finir à la 3ème ligne et il déduira qu’un carré vaut 35.

Analyse du second problème

Pour rappel, voici l’énoncé:

probleme_niveau_CM1_2eme_probleme

Pour ce problème, l’élève de CM1 moyen se dira qu’il est plus simple d’introduire des variables que des formes géométriques, donc il posera sans doute:

x = nombre de points d’un disque jaune
y = nombre de points d’un rectangle vert
z = nombre de points d’une étoile rose
t = nombre de points d’un triangle rouge.

Puis, il comprendra assez vite qu’il s’agit d’un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues qu’il s’empressera d’écrire plus simplement sous la forme:

\left\{  \begin{array}{ccccccccc}  6x & + & 3y & & & & & = & 30 \\  x & + & y & + & z & + & t & = & 20 \\  3x & + & 3y & + & 3z & & & = & 33 \\  \end{array}  \right.

système qui est encore équivalent à:

\left\{  \begin{array}{cccccccccl}  2x & + & y & & & & & = & 10 & (L_1)\\  x & + & y & + & z & + & t & = & 20 &(L_2)\\  x & + & y & + & z & & & = & 11 & (L_3)\\  \end{array}  \right.

Il pensera alors sans doute à combiner les équations, et en particulier, il remplacera la deuxième ligne par la deuxième moins la troisième (L_2 \leftarrow L_2 - L_3):

\left\{  \begin{array}{cccccccccl}  2x & + & y & & & & & = & 10 & (L_1)\\  & & & & & & t & = & 9 &(L_2) \leftarrow (L_2) - (L_3)\\  x & + & y & + & z & & & = & 11 & (L_3)\\  \end{array}  \right.

Il constatera alors avec joie que t=9 et que donc l’ensemble des solutions est contenu dans un hyperplan de \mathbb{R}^4, ce qui signifie qu’il peut être plongé dans un espace à trois dimensions, ce qui est génial car il pourra interpréter cela en termes d’intersection de plans dans l’espace, notion qu’il venait tout juste de découvrir l’an passé en CE2 !

Mais il gardera son calme encore un peu, puisqu’il n’aura pas encore fini la résolution en tant que telle. Il sera bien sûr content d’avoir trouver t=9, mais il lui restera à comprendre ce que donnera l’intersection des deux plans d’équations cartésiennes 2x+y=10 et x + y + z = 11 (ce sont bien des plans lorsqu’ils sont vus comme des sous-espaces affines de l’espace à 3 dimensions d’équation cartésienne t=9 !). Il griffonnera probablement sur un bout de papier une représentation en 3D de ces plans:

Eleve_CM1_représente_les_plansIl comprendra alors que ces plans ne sont pas parallèles (ce qui était de doute façon évident pour lui car des vecteurs normaux à ces plans sont respectivement \vec{n_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\\ \end{pmatrix} et \vec{n_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ \end{pmatrix}, qui ne sont clairement pas colinéaires), donc il saura que ce système aura pour ensemble de solution toute une droite, qu’il essaiera de donner sous forme paramétrique (tant qu’à faire). Pour cela, il repartira du système:

\left\{  \begin{array}{cccccccccl}  2x & + & y & & & & & = & 10 & (L_1)\\  & & & & & & t & = & 9 &(L_2)\\  x & + & y & + & z & & & = & 11 & (L_3)\\  \end{array}  \right.

et il fera la combinaison:

\left\{  \begin{array}{cccccccccl}  2x & + & y & & & & & = & 10 & (L_1)\\  & & & & & & t & = & 9 &(L_2) \\  -x & & & + & z & & & = & 1 & (L_3) \leftarrow (L_3)-(L_1) \\  \end{array}  \right.

ce qui lui donnera:

\left\{  \begin{array}{ccc}  y & = & -2x + 10 \\  t & = & 9 \\  z & = & x + 1 \\  \end{array}  \right.

En prenant x comme paramètre, il obtiendra alors l’équation paramétrique suivante:

\exists \lambda \in \mathbb{R} , \left\{  \begin{array}{cl}  x & = \lambda \\  y & = -2\lambda + 10 \\  z & = \lambda +1 \\  t & = 9  \end{array}  \right.

Notre élève de CM1 moyen se dira sans doute qu’il vient de prouver qu’il y a une infinité de solutions, mais que, quand même, il n’est qu’en CM1 et que les les nombres réels ne sont peut-être pas au programme, donc il imaginera que les solutions qu’il doit donner à ce problème devront être des nombres entiers. Il supposera ainsi x, y, z , t\in \mathbb{N} , ce qui, d’après l’équation paramétrique précédente lui donnera les conditions suivantes:

\left\{  \begin{array}{l}  x = \lambda \in \mathbb{N} \\  y = -2\lambda + 10 \geq 0 \\  z = \lambda +1 \geq 0 \\  t = 9  \end{array}  \right.

c’est-à-dire:

\left\{  \begin{array}{l}  \lambda \in \mathbb{N} \\  5 \geq \lambda \\  \lambda \geq -1 \\  \end{array}  \right.

Il en déduira que \lambda ne peut valoir que 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, ce qui lui donnera finalement les six solutions suivantes:

x = 0, y = 10, z = 1, t = 9
x = 1, y = 8, z = 2, t = 9
x = 2, y = 6, z = 3, t = 9
x = 3, y = 4, z = 4, t = 9
x = 4, y = 2, z = 5, t = 9
x = 5, y = 0, z = 6, t = 9

Mais comme il trouvera que les formes géométriques, c’est quand même vachement plus joli que les x et les y, voici la réponse finale qu’il rendra à son professeur:eleve-CM1-reponse-finale-complete-au-2eme-exercicePourquoi poser un tel problème à des CM1 ?

Je précise que l’image de ce manuel est authentique. Le fait qu’il n’y a pas une seule solution alors que la question était (si on en croit la traduction !) « quelle est la valeur de chaque image ? » pourrait faire croire qu’il y a eu une erreur dans l’énoncé du second exercice (il n’y a que 3 équations et il en faudrait une quatrième pour avoir une solution unique). Mais on peut aussi penser que tout cela est volontaire et qu’on n’attendait pas des élèves qu’ils trouvent toutes les solutions, mais qu’ils trouvent au moins une solution en tâtonnant ! (ce qui est tout à fait raisonnable en CM1). A moins qu’on attendait d’eux qu’ils écrivent un programme « Brute Force » pour trouver toutes les solutions entières en quelques lignes de code…

Et vous, aviez-vous trouvé au moins une solution ?

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12 commentaires pour Êtes-vous aussi bon qu’un élève de CM1 ?

  1. dit :

    Étrange… Je parierais qu’il y a une erreur dans l’énoncé…
    Personnellement, j’ai résolu le deuxième problème en essayant les différentes valeurs possibles du rond jaune. D’après la première ligne, il n’y a que 6 valeurs possibles (en supposant que l’on cherche des solutions entières positives). Du coup, ce n’est pas trop « brute force ».

  2. projetmbc dit :

    Voici ma vision du problème.

    D : Disque
    C : Rectangle
    T : Triangle
    E : Étoile

    ______________
    DDDDDDRRR = 30
    RTED = 20
    RDRDRDEEE = 33
    ______________
    DDR = 10 (L1 \leftarrow L1 / 3)
    RTED = 20
    RDE = 11 (L3 \leftarrow L3 / 3)
    ______________
    DDR = 10
    T = 9 (L2 \leftarrow L2 - L3)
    RDE = 11
    ______________

    À ce stade, on peut commencer la brutalité en utilisant DDR = 10.

    D = 1 \rightarrow R = 8 \rightarrow E = 2
    D = 2 \rightarrow R = 6 \rightarrow E = 3
    D = 3 \rightarrow R = 4 \rightarrow E = 4
    D = 4 \rightarrow R = 2 \rightarrow E = 5

    Tout est faisable par un élève de primaire excepté peut-être l’établissement d’une liste complète de toutes les possibilités.

  3. projetmbc dit :

    Bon j’abandonne…

  4. A dit :

    Où avez-vous trouvé ces photos de manuels islandais ?

    • blogdemaths dit :

      C’est une image qui circulait sur le net il y a quelques temps de cela ! Mais je ne connais ni l’auteur de la photo, ni le nom du manuel…

  5. FrançoisR. dit :

    Bonjour,
    Je vais commencer par répondre au problème puis je vais étendre mes propos car ça m’a fait penser à plein de trucs 🙂
    En effet je rejoins l’avis de projetmbc, un élève de primaire doté d’un peu de logique arrivera à résoudre le deuxième problème (sans donner la liste complète des solutions).

    La deuxième ligne nous dit qu’une figure de chaque valent 20, et la 3ème ligne nous dit qu’une figure de chaque sauf le triangle valent 11, donc un triangle = 20 – 11 = 9.
    Ensuite deux déductions sont encore possibles :
    1ère ligne avec la 3ème : 1 étoile = 1 rond + 1
    1ère ligne seule : 2rond + 1vert = 10. (donc rond inférieur ou égal à 5)
    A partir de là on donne une valeur au rond entre 0 et 5, ce qui induit une valeur pour l’étoile et pour le vert. Problème résolu (la réponse est à compléter dans le cadre du haut où l’on voit bien qu’une seule réponse est attendue).

    Un enfant d’une dizaine d’année ne se pose même pas la question de savoir si les valeurs à chercher peuvent être négatives, décimales (hors entiers) ou rationnelles, et sans même le savoir il élimine déjà beaucoup de cas et va trouver une solution relativement rapidement.
    Contrairement à nous, plus ou moins experts en maths, qui posons des équations, balayons l’ensemble des cas possibles, et qui allons mettre une heure à trouver l’ensemble des solutions avec des techniques algébriques ou d’analyse fonctionnelle expertes, et qui du coup prenons 1h à trouver la liste des solutions certes, mais 1h pour pouvoir dire « ca y’est je peux vous donner UNE solution ». Le gamin aura fini avant…
    Essayons parfois de revenir au basique 🙂

    Enfin, je ne sais pas si on peut étendre le principe que j’évoque ci-dessous pour des systèmes de p équations à n inconnues, mais déjà pour des problèmes se ramenant à un système de 2 équations à 2 inconnues, nous avons la fâcheuse habitude de les résoudre soit par substitution soit par la méthode de Gauss ou j’en passe, mais il est possible de résoudre ces systèmes avec une méthode arithmétique simple, enseignée il y a fort fort longtemps et qui commence à revenir dans les collèges…
    Exemple avec un problème célèbre en collège :
    Fred à joué 20 parties d’un jeu, dont la régle est la suivante:
    – il n’ya pas de partie nulle;
    – si on gagne une partie, on gagne 3€
    – si on perd une partie, on perd 4€
    A la fin des 20 parties jouées, Fred a gagné 11€. Combien Fred à t’il perdu de parties ?

    Tout le monde s’empresse de poser un système et d’y faire des erreurs de signe ou autre, alors qu’il suffit de raisonner de la façon suivante, à la portée de n’importe quel enfant de 10ans :

    Si Fred avait gagné les 20 parties, il aurait gagné 60€. C’est trop. Faisons lui perdre 1 partie ; total 19×3 – 4 = 53€. Pour chaque partie que je lui fais perdre, son total descend de 7€ (3€ qu’il ne gagne pas + les 4€ qu’il perd). 60-11=49=7×7 ; il a donc perdu 7 parties et en a gagné 13.

    La même méthode est possible en commençant avec 20 parties perdues et en « remontant ».

    Les notations et techniques mathématiques pour résoudre des problèmes sont fiables mais parfois difficiles, longues et incomprises. Certaines techniques plus rapides (tout aussi mathématiques si on y réfléchi), certes pas forcement extensibles à tous les cas possibles, sont néanmoins suffisantes pour trouver la ou même les solution(s) à un problème.

  6. lyfoung dit :

    Bonjour,
    C’est en cherchant une explication à un problème que je suis tombé sur votre site…malheureusement pour moi, vous non plus ne donnez pas d’explication à ma question.. En fait mes élèves me demandent de leur expliquer pourquoi -1 x -1 = 1.
    Je leur ai bien dit que – fois – cela donne + mais ils n’en sont pas convaincus..Sauriez vous me fournir une explication plus croyable.?? Merci

    • Francois77 dit :

      Oui il existe une explication :
      -1 x (1-1) = 0
      En développant on a :
      -1 x 1 + (-1) x (-1) = 0
      -1 + (-1)x(-1)=0
      (-1)x(-1)=1

      • txia dit :

        Bonjour,
        Merci de votre explication.
        En effet, il est plus facile d’expliquer 1 x (-1). Une fois -1, on a toujours -1. Par contre, il reste à expliquer la distributivité…et là c’est plus compliqué. Malheureusement, je crois qu’on ne peut y échapper.
        La solution proche de la meilleure reste celle que vous avez donné si l’on exclue le passage par les classes d’équivalences. En effet vous aurez compris que le niveau de l’élève ne permet ce type d’explication.
        La vôtre reste la plus proche, en tout cas, je n’en ai pas trouvé d’autre plus satisfaisante.
        Merci encore.

        Cordialement

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