Une visualisation géométrique et une démonstration de l’irrationalité de la racine carrée de 2

Dans un repère d’origine le point $O$ , tracez le cercle de diamètre 3 unités passant par $O$ comme ci-dessous:

Placez le point $H$ de coordonnées $(1,0)$ puis tracez le segment partant de $H$ , perpendiculaire à l’axe des abscisses qui rejoint le cercle. On note $A$ le point du cercle obtenu:

Enfin, tracez la droite $(OA)$ et constatez avec une certaine surprise qu’elle ne coupe aucun point de coordonnées entières (hormis $(0,0)$ évidemment). Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.

La droite (OA) ne passe par aucun point de la grille, ce qui correspond au fait que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Le point (5,7) est très proche, mais comme on le voit sur le zoom, il n’est pas sur la droite (cela s’explique par le fait que le rapport 7/5 = 1,4 est proche de $\sqrt{2}$ )

Être à la hauteur

La première chose qu’il faut expliquer, c’est que le segment rouge a pour longueur $\sqrt{2}$ .

En effet, le triangle $OAC$ est inscrit dans le cercle et un de ses côtés est un diamètre de ce cercle. Il est donc rectangle et le segment rouge est la hauteur issue de l’angle droit de ce triangle. On sait alors qu’on a la relation $HA^2 = HO \times HC$ donc $HA^2 = 1 \times 2 = 2$ , ce qui donne $HA = \sqrt{2}$ .

Dans un triangle rectangle, on peut calculer facilement la hauteur issue de l’angle droit.

Ainsi, le vecteur $\overrightarrow{OA}$ a pour coordonnées ${1 \choose \sqrt{2}}$ et donc une équation de la droite $(OA)$ est $y= \sqrt{2} \, x$ !

Pythagore et Thalès en guest stars

L’idée de la démonstration qui va suivre m’est venue du constat suivant: si on suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel alors il existe deux nombres entiers naturels $a$ et $b$ qu’on peut supposer premiers entre eux (important pour la fin !) tels que $\sqrt{2} = \dfrac{b}{a}$ , ce qui s’écrit encore $b= \sqrt{2} \, a$ et donc il existe un point de coordonnées entières $(a,b)$ qui appartient à la droite d’équation $y=\sqrt{2} \, x$ ! Si on suppose donc qu’un tel point de coordonnées entières existe sur cette droite, alors on est dans la situation géométrique suivante (la figure est fausse évidemment, elle est juste schématique):

D’après le théorème de Thalès, on a :

$\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{AH}{MN}$

On sait que $AH=\sqrt{2}$ et $MN=b$ . De plus, d’après le théorème de Pythagore:

$\begin{cases} OA = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} =\sqrt{3} \\ OM = \sqrt{a^2 + b^2} \end{cases}$

On en déduit donc que:

$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+b^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{b}$

ce qui s’écrit aussi $\sqrt{3} \, b = \sqrt{2} \sqrt{a^2+b^2}$ . En prenant le carré de cette égalité, on a ainsi la relation suivante:

$3 b^2 = 2(a^2+b^2)$

Un peu d’arithmétique en guise de conclusion

Comme 3 est premier avec 2, et comme 3 divise $2(a^2+b^2)$ , c’est que 3 divise $a^2+b^2$ (lemme de Gauss). Pour trouver une contradiction, nous allons étudier tous les restes possibles de l’expression $a^2+b^2$ modulo 3. Par exemple, si $a \equiv 1 \mod [3]$ et $b \equiv 2 \mod [3]$ alors $a^2+ b^2 \equiv 1^2 + 2^2 = 5 \equiv 1 \mod [3]$ . Voici dans le tableau suivant toutes les possibilités de résultat pour $a^2 + b^2 \mod [3]$ :

$\begin{array} {c|c|c|c|} a / b & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 2 \\ \hline 2 & 1 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$

On se rend compte que la seule possibilité pour que $a^2+b^2 \equiv 0 \mod [3]$ est $a \equiv 0 \mod [3]$ et $b \equiv 0 \mod [3]$ ce qui entraîne que $a$ et $b$ sont tous les deux divisibles par 3, mais cela contredit le fait qu’ils sont premiers entre eux…

Amusante cette preuve, non ?

Note: pour les plus érudits d’entre vous, vous savez que si un nombre premier $p$ divise une somme de deux carrés et si $p$ est congru à 3 modulo 4 alors $a$ et $b$ sont nécessairement divisibles par $p$ . Ici, il est clair que $p=3$ est congru à 3 modulo 4…

Fignolage

Si on analyse cette preuve, on se rend compte que ce qui est important est la relation $3b^2 =2(a^2+b^2)$ , mais en développant et réduisant cette expression, on voit qu’elle est équivalente à $b^2=2 a^2$ . On aurait donc très bien pu montrer l’irrationalité de $\sqrt{2}$ de la manière plus directe suivante:

Si on suppose qu’il existe $a$ et $b$ premiers entre eux tels que $\sqrt{2}=\frac{b}{a}$ alors en prenant le carré de cette expression, on obtient $2= \frac{b^2}{a^2}$ c’est-à-dire $b^2=2 a^2$ . En ajoutant $2b^2$ des deux côtés, on obtiendrait $3b^2=2(a^2+b^2)$ ce qui, comme 3 est premier avec 2, entraînerait que 3 divise $a^2+b^2$ . Or, les restes possibles de $a^2+b^2$ modulo 3 sont:

$\begin{array} {c|c|c|c|} a / b & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 2 \\ \hline 2 & 1 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$

et donc, on voit que si $a^2+b^2 \equiv 0 \mod [3]$ alors nécessairement, $a$ et $b$ sont divisibles par 3, ce qui contredit le fait qu’ils sont premiers entre eux.

Pourquoi la géométrie ?

Alors, à quoi nous a servi la géométrie ici, puisqu’on peut faire une démonstration encore plus courte juste en ajoutant les $2b^2$ ? D’un point de vue formel, à rien. Mais d’un point de vue de l’intuition, je n’aurais jamais eu l’idée d’ajouter ces $2b^2$ dans $b^2=2 a^2$ pour avoir $3b^2=2(a^2+b^2)$ , alors que les théorèmes de Thalès et de Pythagore faisaient apparaître naturellement cette expression.

Et en plus, la géométrie nous a permis d’avoir une belle interprétation du fait que $\sqrt{2}$ est irrationnel: le fait qu’une certaine droite construite à la règle et au compas ne passe jamais par des points de coordonnées entières !

P.S: Je n’ai jamais vu nulle part cette démonstration utilisant le fait que 3 divise une somme de carrés, donc si vous avez une référence à ce sujet, n’hésitez pas à la poster dans les commentaires !

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11 commentaires pour Une visualisation géométrique et une démonstration de l’irrationalité de la racine carrée de 2

Anonyme dit :

5 avril 2014 à 13 h 43 min

Encore un bel article.
Merci

Réponse
- blogdemaths dit :
  
  5 avril 2014 à 14 h 12 min
  
  Merci !
  
  Réponse
Anonyme dit :

5 avril 2014 à 16 h 31 min

Toujours sympa les articles de ce blog !

Pour info, quand a et b sont premiers entre eux, b^2 = 2*a^2 n’est pas possible pour de simples raisons de parité car le carré d’un pair est pair, et celui d’un impair est impair.

Réponse
- kuk dit :
  
  22 avril 2014 à 23 h 11 min
  
  b pourrait être pair et a impair. La relation b² = 2 a² ne serait alors pas mise en défaut par la parité de a et b. Elle serait fausse en raison de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers de a et b, (qui est la démo classique)
  
  Réponse
  - Anonyme dit :
    
    23 avril 2014 à 19 h 15 min
    
    Non, on peut faire bien plus élémentaire mon cher Watson. B doit être pair compte-tenu de b² = 2a² , d’où b = 2B, puis 4B² = 2a², et enfin a² = 2B² contredirait « l’imparité » de a.
    
    Réponse
Calculatrice dit :

20 avril 2014 à 19 h 11 min

Super article ! Très complet

Réponse
ProfGra dit :

13 août 2017 à 15 h 32 min

Ce qui me gêne, c’est qu’on déduit l’irrationalité de «la droite ne passe par aucune intersection». Qu’est-ce qui nous prouve que c’est le cas?

Réponse
- blogdemaths dit :
  
  13 août 2017 à 18 h 02 min
  
  Ce n’est peut-être pas très clair dans l’article, mais on montre que la droite d’équation $y = \sqrt{2} x$ ne passe par aucun point à coordonnées entières (a,b) avec a et b premiers entre eux car sinon cela entraînerait que a et b seraient tous deux divisibles par 3…
  
  Disons que la 1ère partie de l’article donne une preuve « visuelle » et la seconde partie de l’article donne une preuve plus rigoureuse.
  
  Réponse
  - ProfGra dit :
    
    13 août 2017 à 18 h 25 min
    
    Je n’ai peut-être pas été clair: au début de l’article, qu’est-ce qu’on déduit de quoi? On lit dans l’article «Donc racine de 2 est irrationnel.» (implication) puis plus loin «ce qui correspond au fait que racine de 2 est irrationnel» (disons une équivalence).
    
    Le «Donc racine de 2 est irrationnel» du début de l’article me laisse penser qu’on est sûr que la droite ne passe par aucune intersection. C’est démontré ensuite, mais à ce stade de l’article j’ai l’impression qu’on se fie seulement à la figure.
    
    Réponse
    - blogdemaths dit :
      
      13 août 2017 à 20 h 57 min
      
      En effet, dans la première partie de l’article, on se fie uniquement à la figure (c’est la partie « visualisation » de l’article, que j’avais intitulé « une visualisation géométrique et une démonstration de l’irrationnalité de racine(2) »). Ce n’est donc pas une démonstration au sens propre, mais ce que je voulais faire est plus une sorte de preuve sans mots, comme on peut en voir pour d’autres propriétés (voici un exemple).
      
      Mais c’est vrai que ce « Donc racine de 2 est irrationnel » peut laisser penser qu’il s’agit d’une démonstration en bonne et due forme 🙂
ProfGra dit :

13 août 2017 à 23 h 49 min

Je ne peux pas répondre à la suite de la discussion, donc je le fais ici.

Donc finalement je crois que j’avais bien compris! Attention donc à ce qu’on appelle une «preuve sans mot». Si racine de 2 valait exactement 1413/1000, on ne verrait pas de passage de la droite sur une intersection sur une aussi petite figure. C’est le genre de chose qu’on reproche à nos élèves quand on commence à faire de la géométrie abstraite.

Merci quand même pour les idées intéressantes que contient l’article.

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