Euro Millions, piège à c…

La semaine dernière, le jeu de hasard Euro Millions fêtait ses 10 ans et nombreux furent les articles dans la presse ou à la télévision autour de ce jeu. J’ai pu constaté un certain nombre de bêtises relayées dans les médias et même sur Internet où, nombreux sont les sites qui prétendent savoir quels numéros jouer (ou ne pas jouer) en se basant sur les statistiques des derniers tirages (!). Pourquoi ne pas faire un article sur l’Euro Millions dans lequel on examinerait mathématiquement toutes ces affirmations (ou supersitions)  ?

Les deux plus grandes idées reçues que j’ai vu étaient:

• a) Il y a des numéros qui ont plus de chances de sortir que d’autres;
• b) Si un numéro n’est pas sorti depuis longtemps, alors il a plus de chances de sortir au prochain tirage.

Nous allons dans cet article essayer d’analyser ces énoncés, ce qui nous donnera l’occasion de faire un peu de dénombrement, un peu de statistiques inférentielles et un peu de chaînes de Markov. Comme il est bien entendu impossible d’expliquer en un seul article toute la théorie autour de ces concepts, j’ai essayé de résumer à chaque fois les résultats mathématiques obtenus.

0) Le cadre de l’Euro Millions

Le jeu de l’Euro Million consiste à choisir une combinaison de 5 nombres entre 1 et 50 ainsi qu’une combinaison de 2 nombres « étoiles » choisis entre 1 et 11 (voir la page Wikipédia à ce sujet pour plus de précisions). Pour simplifier l’étude que nous allons faire, nous allons laisser de côtés ces numéros étoilés et simplement nous intéresser aux 5 numéros choisis parmi 50.

Information importante: il y a eu (au moment où j’ai commencé à écrire cet article) environ 668 tirages depuis le début de l’Euro Millions en 2004. Je tire cette information des nombreux sites non officiels qui répertorient les statistiques de l’Euro Millions car la Française des Jeux ne publie mystérieusement pas cette information (voir explication probable plus loin dans cet article). Nous pouvons néanmoins faire confiance à ces sites pour cette valeur de 668 tirages car d’une part cette valeur concorde sur tous les sites et d’autre part, j’ai trouvé la même valeur le site officiel de la loterie anglaise.

1) Quelle la probabilité théorique qu’un numéro donné soit tiré ?

Commençons par calculer la probabilité qu’un numéro donné soit choisi lors d’un tirage et, pour cela, on fait l’hypothèse que le tirage est effectué de façon équiprobable. Contrairement, à ce qu’on pourrait croire à première vue, cette probabilité n’est pas de 1/50 mais est plus grande. D’un point de vue heuristique, cela peut se comprendre car chaque tirage consiste à tirer 5 numéros de suite (sans remise) donc si un numéro n’a pas été tiré la première fois, il peut être tiré la deuxième, troisième, quatrième ou cinquième fois. Plus rigoureusement, chaque tirage est une partie à 5 éléments dans un ensemble à 50 éléments. Il y a donc grilles possibles !

Attention, cela peut paraître peu, mais n’oublions pas qu’ici nous ne nous intéressons pas aux deux numéros étoilés supplémentaires… Si on les prend en compte, il y a alors grilles possibles ce qui donne une probabilité de de gagner le Jackpot. Ca fait réfléchir avant de jouer…

Revenons à nos numéros. Quelle est la probabilité qu’un numéro donné sorte ? Pour le savoir, il faut dénombrer les grilles possibles auxquelles peut appartenir ce numéro. Pour fixer les idées, prenons le numéro 50. Il peut par exemple appartenir à la grille 4-12-23-26-50 ou bien il peut aussi appartenir à la grille 6-9-12-34-50. En fait, il y a autant de grilles auxquelles il appartient que de façons de choisir 4 numéros parmi les 49 qui restent, c’est-à-dire . On en déduit que la probabilité que le numéro 50 (ou n’importe quel numéro, le raisonnement est le même) soit tiré est :

Chaque numéro a donc une chance sur 10 de sortir ! La loi des grands nombres (qui est un vrai théorème mathématique !) nous dit alors que, plus il y aura de tirages de l’Euro Millions, plus la fréquence de sortie de chaque numéro se rapprochera de 0,1 (10%). On pourra donc faire toutes les statistiques que l’on veut, la tendance pour chaque numéro sera d’avoir une fréquence qui se rapproche de 0,1. Cependant, il peut y avoir quelques fluctuations…

2) Existe-t-il des numéros qui ont plus de chances de sortir quand même ?

Nous avons vu que chaque numéro a la même probabilité théorique de sortir égale à 0,1. Cependant, certains sites affirment en se basant sur l’observation que, puisque certains numéros sont sortis beaucoup de fois jusque-là, c’est qu’ils ont plus de chances d’apparaître en général. Après tout, peut-être que le tirage de l’Euro Millions est biaisé et qu’effectivement certains numéros sont favorisés par rapport à d’autres ? Par exemple, le numéro le plus sorti est le 50 et il est sorti 87 fois sur les 668 tirages effectués depuis les débuts de l’Euro Millions, ce qui représente une fréquence d’environ . Nous allons confronter cette information à deux hypothèses possibles. Si on note la probabilité que 50 soit tiré:

• 1ère hypothèse:
• 2ème hypothèse: (comme certains sites l’affirment).

Nous allons essayer de voir quelle hypothèse on peut garder (avec un certain risque d’erreur) de la façon suivante: en supposant que la 1ère hypothèse soit vraie, nous allons émettre une règle de décision, c’est-à-dire une règle qui permettra, à partir d’un échantillon observé, de dire si oui ou non on garde cette hypothèse. Si on ne garde pas cette 1ère hypothèse, on considérera que c’est la 2ème hypothèse qui est correcte (autrement dit que 50 a bien plus de chances de sortir).  Cette démarche s’appelle un test d’hypothèse.

Pour émettre cette règle de décision, il faut au préalable un peu de calculs. Si on effectue tirages de l’Euro Millions et si est la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où 50 est sorti, alors suit une loi binomiale (les tirages sont supposés indépendants). Comme le nombre de tirages est suffisamment grand, on peut  affirmer (via le théorème de Moivre-Laplace) que suit approximativement la loi normale et donc la fréquence d’apparition de 50 suit approximativement la loi normale . Dans le cas où on suppose que la 1ère hypothèse est vraie, alors et puisqu’il y a eu tirages, on peut donc considérer que suit la loi :

Dans l’hypothèse où p=0,1 la fréquence d’apparition du numéro 50 suit cette distribution de probabilité. L’axe des abscisses représente les fréquences possibles observée et on voit que sous l’hypothèse où p=0,1, la fréquence d’apparition la plus probable est 0,1. On voit déjà que les fréquences balayées vont de 0,06 à 0,14 environ.

On souhaite savoir à partir de quelle fréquence observée on pourra considérer que notre hypothèse n’est plus valable, avec un risque d’erreur disons de 0,1% (1 pour mille). Mathématiquement, cela revient à chercher le nombre tel que (voir schéma ci-dessous):

On cherche le nombre x de sorte que la probabilité que la fréquence observée se situe dans les abscisses de la zone rouge soit de 1 pour mille. L’aire colorée en rouge s’appelle la zone critique et est égale à P(F>0,1+x).

En introduisant la variable dont on sait qu’elle suit la loi normale centrée réduite, on a alors:

A l’aide d’une table de la loi normale centrée réduite, on trouve qu’il faut c’est-à-dire . Ainsi, . On émet donc la règle de décision suivante:

• Si à l’Euro Millions, la fréquence observée d’un nombre est inférieure à 13,6% alors on peut considérer que sa probabilité théorique d’apparition est bien de 0,1 (avec une probabilité de se tromper de 1 pour mille).
• Sinon, on peut considérer que sa probabilité théorique d’apparition est supérieure strictement à 0,1.

Comme la fréquence du numéro 50 est , elle entre dans le premier cas de figure: on peut donc penser qu’il n’y a très probablement aucune raison à considérer que les tirages de l’Euro Millions sont biaisés et que, même si la fréquence de sortie du numéro 50 est supérieure à sa fréquence théorique de 0,1, cette différence observée est très probablement due aux fluctuations d’échantillonnage et n’est pas significative.

Comme la fréquence observée (13%) n’est pas dans la zone critique, on garde l’hypothèse p=0,1 et on rejette l’hypothèse p>0,1

Conclusion (pour ceux qui n’auraient rien compris à tous ces raisonnement imbitables, je l’admets…): Notre test d’hypothèse montre qu’il n’y a (très probablement) pas de raison de penser que certains numéros sortent plus souvent.

(Remarque: on peut tout à fait discuter le choix du seuil de risque à 0,1%. Pour un choix de 5% ou de 1%, la fréquence serait dans la zone critique et l’hypothèse serait alors à rejeter.  Pour préciser les choses dans le cas du seuil de risque que nous avons choisi (0,1%) et pour lequel nous avons accepté l’hypothèse , on pourrait calculer la probabilité d’accepter cette hypothèse sachant qu’elle est fausse. Cette probabilité s’appelle le risque de seconde espèce; nous n’allons pas la calculer ici (elle est à vue de nez un peu plus grande que 50%),  mais c’est une probabilité qui dépend inversement  de notre seuil de risque et qui sera augmentée d’autant plus que notre seuil est petit. Si on avait pris un seuil de risque plus grand, cette probabilité aurait été plus petite.)

Notons qu’on a pu faire ce test car l’échantillon de numéros sortis est suffisamment important (notre calcul est basé sur un nombre de tirages suffisamment grand). Pourtant, les statistiques officielles de la Française des Jeux sont quant à elles beaucoup moins nombreuses et ne remontent qu’à il y a 3 ans (ce qui correspond au moment où les numéros étoilés sont passés de « 1-9 » à « 1-11 »,ce qui, d’ailleurs, a diminué la probabilité de gain…). Cela est sans doute volontaire, car plus l’échantillon est faible, moins il y de chance que les fréquences d’apparition soient proches de leurs probabilités réelles et plus on peut faire croire aux gens que certains numéros ont plus de chances de sortir que d’autres. Par exemple, depuis 3 ans le 28 est sorti 14,2% des tirages (ce qui est assez élevé et non significatif car le nombre de tirages est petit) alors que depuis 2004, il n’est sorti que 10,1% des fois. Le but est peut-être d’induire le parieur en erreur… du moins, je ne vois aucune autre explication au fait de ne pas mettre toutes les statistiques depuis la création du jeu.

3) Si un numéro n’est pas sorti depuis longtemps, a-t-il plus de chances de sortir au prochain tirage ?

La réponse est évidemment non et penser (ou, pire, écrire…) le contraire est l’erreur de raisonnement connue sous le nom d’Erreur du parieur. Les tirages sont indépendants et tout recommence à zéro à chaque fois ! C’est comme à Pile ou Face: si vous venez d’obtenir 10 fois Pile de suite, alors est-ce pour autant que Face aura plus de chances d’apparaître lors du 11ème lancer ? Eh bien non. C’est pareil pour l’Euro Millions: ce n’est pas parce qu’un nombre n’est pas sorti depuis longtemps qu’il a plus de chances de sortir au prochain tirage. A l’inverse, j’ai vu des sites affirmer que, puisqu’un numéro vient de sortir depuis peu, il ne faut pas le jouer car  il est censé ne pas réapparaître avant un bout de temps… ce qui est également absurde !

Voici le genre de conseils donnés sur certains sites (que je préfère ne pas nommer…) basés sur les statistiques de tous les tirages de l’Euro Millions. Vous apprécierez le vocabulaire numérologiste. Du grand n’importe quoi.

En revanche, ce qui est vrai, c’est qu’en moyenne sur un grand nombre de tirages, chaque numéro est retiré toutes les 10 fois. Pour prouver cela, nous allons calculer ce qu’on appelle le temps moyen de réapparition c’est-à-dire le nombre moyen de tirages qui s’écoulent pour qu’un numéro soit tiré à nouveau.

Si on répète les tirages de l’Euro Millions, nous avons dit que ce qui s’est passé au tirage précédent n’influence pas ce qui va se passer au tirage présent. Il s’agit d’un cas très très particulier de chaîne de Markov (rassurez-vous, vous n’avez rien besoin de connaître de la théorie des chaînes de Markov pour comprendre la suite). On peut représenter cette chaîne de Markov à l’aide d’un graphe (par exemple dans le cas de la boule numéro 50 histoire de fixer les idées, mais le principe est le même pour n’importe quel numéro):

Le nœud « 50 » correspond à l’événement: « Le numéro 50 est sorti lors du tirage ». Le nœud « non 50 » signifie: « 50 n’est pas sorti lors du tirage ». La flèche partant de « non 50 » et allant à « 50 » correspond à la probabilité de tirer 50 sachant qu’au tirage précédent on n’a pas tiré 50. Comme les événements sont indépendants, cette probabilité est bien 0,1. Idem pour les autres flèches.

On note le temps de retour en 50, c’est-à-dire le nombre de tirages qui sont effectués avant que le nombre 50 ne soit retiré de nouveau. Calculons par exemple la probabilité de l’événement « le numéro 50 vient d’être tiré et il n’est retiré que 4 tirages après »:

Dans le cas général, nous voyons (sur le même principe) que la probabilité de ne retirer 50 qu’après tirages est . Pour calculer l’espérance de cette variable (qui est par définition le temps moyen de réapparition), il faut pondérer chaque temps de réapparition par sa probabilité . Ainsi:

On peut montrer que le membre de droite converge vers 10 (par exemple en utilisant la formule ). Le temps moyen pour un numéro d’être retiré est donc de 10 tirages.

Conclusion: Bien que sur un tirage tout est possible et que rien ne dépend de ce qui s’est passé lors des parties précédentes, sur le long terme, chaque numéro possède un temps moyen de réapparition qui est de dix tirages. Cependant, cela ne veut absolument pas dire que si un numéro n’est pas sorti 9 fois alors il sortira la 10ème fois mais simplement que sur un grand nombre de tirages, une tendance de réapparition moyenne tous les 10 tirages se dégagera.

C’est un résultat difficile à concevoir intuitivement et cela sème sans doute le trouble chez le parieur. Lorsqu’on fait un grand nombre de tirages, on se rendra compte que chaque numéro est sorti en moyenne tous les 10 tirages, mais il se pourra par exemple qu’il se soit produit de nombreux tirages avant qu’un numéro donné ne ressorte (c’est le cas par exemple du numéro 48 qui n’est pas sorti pendant 82 tirages de suite !).

4) Comment alors réellement optimiser ses chances à l’Euro Millions ?

Pour cette partie, je vais suivre les analyses données par Jean-Paul Delahaye dans cet article dont je vais tenter de retranscrire quelques idées du mieux possible (en espérant qu’il ne m’en veuille pas !).

Puisqu’il n’y a rien que l’on puisse faire pour augmenter les probabilités qu’une grille sorte, autant augmenter l’argent ramassé dans le cas où on gagnerait. Il se trouve que, dans les règles de l’Euro Millions, si plusieurs personnes jouent et gagnent avec la même combinaison, alors les gains sont partagés. Puisque toutes les combinaisons sont équiprobables, le parieur a donc tout intérêt à choisir une combinaison qui est peu jouée par les autres joueurs. Encore faudrait-il savoir quels sont les numéros joués par les autres joueurs en général… Et ça, c’est pas facile à savoir car il se trouve que la Française des Jeux refuse volontairement de donner les statistiques sur les numéros et les grilles effectivement jouées par les parieurs. Comme le note J-P Delahaye à juste titre: « C’est assez étrange et malsain, puisqu’en se comportant ainsi, la Française des Jeux encourage les comportements superstitieux et décourage les comportements rationnels ».

Cela n’a pourtant pas empêché des statisticiens de retrouver les fréquences des numéros joués par les Français dans le cas du Loto (autre jeu de la Française des Jeux) en se basant sur l’unique information qu’on ne peut pas ne pas publier: les combinaisons gagnantes et le nombre de gagnants pour chacune ! On s’est donc rendu compte que les numéros les plus joués étaient le 7, le 9 et le 13. Si vous voulez augmenter vos gains à l’Euro Millions (dans le cas où votre grille est tirée), choisissez les numéros les moins joués par les Français: 32, 38, 39, 40 et 41.

Bon, je sais, vous allez me dire que maintenant que la France entière sait quelle combinaison jouer (car c’est bien connu, ce blog reçoit des millions de visites chaque jour), cela va diminuer le gain qu’on pourrait en tirer… Mais comme le dit J-P Delahaye: « Le fait que ces numéros les moins joués aient été publiés peut avoir une influence sur les prochains tirages, mais elle sera probablement assez faible et donc une grille utilisant des numéros parmi les moins joués dans le passé a toutes les chances d’être une grille peu jouée dans le futur. »

5) Mais quand même, n’y a-t-il pas un moyen sûr à 100% de gagner à l’Euro Millions ?

La seule stratégie gagnante à l’Euro Millions, avec une probabilité de 1, c’est de s’appeler la Française des Jeux (ou l’État Français). La raison principale en est que le taux de redistribution de l’Euro Millions est ridiculement bas: 50% uniquement. Pour une grille validée à 2 euros, seul 1 euro sera reversé dans la cagnotte des gains, le reste allant bien gentiment dans la poche de la Française des Jeux. Réjouissons-nous quand même: cela permet à l’État Français de collecter un peu (beaucoup d’argent) dans une sorte d’impôt joyeux, où les joueurs payent dans l’espoir d’obtenir un gain qui changerait leur vie. Alors certes, personne n’est obligé de jouer à ce jeu, mais quand on sait que ce sont les employés et les ouvriers qui jouent le plus (et cela se comprend bien que ce soit les classes les plus pauvres qui soient les plus tentées par le rêve d’une vie meilleure, rêve vendu à longueurs de publicités), on peut penser que ce jeu fait son beurre sur la misère des gens.  Pendant ce temps, cette entreprise a doublé son chiffre d’affaires depuis 2000, culminant à plus de 12 milliards d’Euros en 2013.

Bref, si vous voulez gagner à l’Euro Millions, n’y jouez pas.