Mathématiques muettes

Un bon schéma vaut mieux qu’un long discours paraît-il. Nous allons mettre cet adage en pratique ici, en présentant cinq démonstrations qui sont visuelles et qui n’ont pas besoin de mots. C’est mon petit cadeau de Noël pour vous, chers lecteurs !

1) Polarités

$\boxed{ \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2} }$

Explication:

Le triangle bleu est composé de $1+2+3+ \cdots + n$ blocs. Il forme la moitié d’un rectangle qui a pour largueur $n$ et longeur $n+1$ . Ce rectangle est donc composé de $n\times (n+1)$ blocs. D’où la formule $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

2) Combinaison gagnante

$\boxed{ \sum_{k=1}^{n} k = {n+1 \choose 2}}$

Explication:

Il y a $1+2+3+ \cdots + n$ blocs bleus. Il y a $n+1$ blocs jaunes. Chaque bloc bleu correspond à un unique ensemble de deux blocs jaunes et chaque ensemble de deux blocs jaunes correspond à un unique bloc bleu. Comme il y a ${n+1 \choose 2}$ façons de former un ensemble de deux blocs jaunes, on a donc bien $\sum_{k=1}^n k = {n+1 \choose 2}$ .

3) Impair et gagne !

$\boxed{ \sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2 }$

Explication:

Il y a:

1 bloc bleu
3 blocs jaunes
5 blocs bleus
7 blocs jaunes
…

Ils forment à eux tous un carré de côté $n+1$ . Ce carré contient donc $(n+1)^2$ blocs, d’où $\sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2$ .

4) Vers l’infini et au-delà

$\boxed{ \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{4^k} = \dfrac{1}{3}}$

Explication:

Le grand carré de côté 1 est formé de :

3 petits carrés d’aire 1/4
3 plus petits carrés d’aire 1/16
3 plus petits carrés d’aire 1/64
…

Comme l’aire totale est de 1, on a donc $1 = 3 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{16} + 3 \times \frac{1}{64} + \cdots + 3 \times \frac{1}{4^k} + \cdots$ , ce qui, en divisant par 3 donne bien $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{4^k}=\frac{1}{3}$

5) Échec et mat

$\boxed{ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^{k-1}} = 4}$

Explication:

On fait la somme de toutes les cases de cet échiquier infini de deux façons différentes:

✔ 1ère façon: On fait les sommes horizontalement:

On utilise le fait que chaque ligne a pour somme $\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{n-1}}$ (somme des termes d’une suite géométrique de raison 1/2 et premier terme $\frac{1}{2^n}$ ). La somme totale de toutes les cases est donc: $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n-1}}= 2+1+1/2+1/4+.... =4$ .

✔ 2ème façon: On fait les sommes diagonalement:

En faisant la somme de toutes les cases de l’échiquier, on obtient donc la somme $1 \times 1 + 2\times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{8}+\cdots = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{2^{k-1}}$ .

Puisque la première et la deuxième façon donnent le même nombre au final, on a donc bien $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^{k-1}}=4$ .

Notes:

-Comme certains l’auront remarqué, les figures ont été réalisées dans le jeu Minecraft.

-Je trouve la preuve n°2 particulièrement belle, car elle allie le géométrique, le visuel et la combinatoire.

-Pour ceux qui en veulent plus (oh oui, vous en voulez plus hein!), il existe tout un livre de preuves visuelles qui s’appelle Proofs without words (Tome 1 et 2) que vous pourrez acheter en revendant les cadeaux immondes que Tata Danielle vous aura offert cette année.

9 commentaires pour Mathématiques muettes

Pierre LecomtePire dit :

25 décembre 2013 à 11 h 28 min

Très joli!

Joyeux Noël et meilleuRs vœux, Pierre

J’aimeJ’aime

Réponse
- blogdemaths dit :
  
  25 décembre 2013 à 13 h 12 min
  
  Merci 🙂
  Joyeux Noël Pierre !
  
  J’aimeJ’aime
  
  Réponse
Anonyme dit :

25 décembre 2013 à 13 h 36 min

Toujours aussi intéressant !

Remarque : dans « Impair et gagne ! », il manque des parenthèses autour de `2k+1`.

J’aimeJ’aime

Réponse
- blogdemaths dit :
  
  25 décembre 2013 à 14 h 08 min
  
  Merci, voilà qui est corrigé 🙂
  
  J’aimeJ’aime
  
  Réponse
Segovia dit :

28 février 2014 à 18 h 56 min

Bonjour,

Je voulais vous remercier pour ce blog de qualité exceptionnelle que je viens de découvrir !
Il est peu être un peu tard mais je voulais juste préciser que dans la partie 3) l’indexation de la somme devrait peut-etre commencer à k=0 ?

Merci encore pour les belles choses que vous écrivez !

Adrien Segovia

J’aimeJ’aime

Réponse
- blogdemaths dit :
  
  28 février 2014 à 21 h 10 min
  
  Tout à fait, l’indexation commence bel et bien à 0… je vais rectifier cela de suite…
  
  Merci pour vos encouragements ! 🙂
  
  J’aimeJ’aime
  
  Réponse
Bouhedli dit :

14 avril 2014 à 2 h 36 min

Excellent merci

J’aimeJ’aime

Réponse
jean cartier dit :

14 avril 2014 à 2 h 37 min

Merci

J’aimeJ’aime

Réponse
abdelkader dit :

12 juillet 2014 à 8 h 20 min

Bonne continuation

J’aimeJ’aime

Réponse