Mathématiques muettes

Un bon schéma vaut mieux qu’un long discours paraît-il. Nous allons mettre cet adage en pratique ici, en présentant cinq démonstrations qui sont visuelles et qui n’ont pas besoin de mots. C’est mon petit cadeau de Noël pour vous, chers lecteurs !

1) Polarités

mathematiques_muettes_preuve1

\boxed{ \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2} }

Explication:

mathematiques_muettes_preuve1explication

Le triangle bleu est composé de 1+2+3+ \cdots + n blocs. Il forme la moitié d’un rectangle qui a pour largueur n et longeur n+1. Ce rectangle est donc composé de n\times (n+1) blocs. D’où la formule \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}.

2) Combinaison gagnante

mathematiques_muettes_preuve2

\boxed{ \sum_{k=1}^{n} k = {n+1 \choose 2}}

Explication:

mathematiques_muettes_preuve2explication

Il y a 1+2+3+ \cdots + n blocs bleus. Il y a n+1 blocs jaunes. Chaque bloc bleu correspond à un unique ensemble de deux blocs jaunes et chaque ensemble de deux blocs jaunes correspond à un unique bloc bleu. Comme il y a {n+1 \choose 2} façons de former un ensemble de deux blocs jaunes, on a donc bien \sum_{k=1}^n k = {n+1 \choose 2}.

3) Impair et gagne !

mathematiques_muettes_preuve3

\boxed{ \sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2 }

Explication:

mathematiques_muettes_preuve3explication
Il y a:

  • 1 bloc bleu
  • 3 blocs jaunes
  • 5 blocs bleus
  • 7 blocs jaunes

Ils forment à eux tous un carré de côté n+1. Ce carré contient donc (n+1)^2 blocs,  d’où \sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2.

4) Vers l’infini et au-delà

mathematiques_muettes_preuve4

\boxed{ \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{4^k} = \dfrac{1}{3}}

Explication:

mathematiques_muettes_preuve4explication

Le grand carré de côté 1 est formé de :

  • 3 petits carrés d’aire 1/4
  • 3 plus petits carrés d’aire 1/16
  • 3 plus petits carrés d’aire 1/64

Comme l’aire totale est de 1, on a donc 1 = 3 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{16} + 3 \times \frac{1}{64} + \cdots + 3 \times \frac{1}{4^k} + \cdots, ce qui, en divisant par 3 donne bien \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{4^k}=\frac{1}{3}

5) Échec et mat

mathematiques_muettes_preuve5_codé

\boxed{ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^{k-1}} = 4}

Explication:

On fait la somme de toutes les cases de cet échiquier infini de deux façons différentes:

✔ 1ère façon: On fait les sommes horizontalement:

mathematiques_muettes_preuve5explication_1ere_faconOn utilise le fait que chaque ligne a pour somme \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{n-1}} (somme des termes d’une suite géométrique de raison 1/2 et premier terme \frac{1}{2^n}). La somme totale de toutes les cases est donc: \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n-1}}= 2+1+1/2+1/4+.... =4.

✔ 2ème façon: On fait les sommes diagonalement:

mathematiques_muettes_preuve5explication_2eme_faconEn faisant la somme de toutes les cases de l’échiquier, on obtient donc la somme 1 \times 1 + 2\times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{8}+\cdots = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{2^{k-1}}.

Puisque la première et la deuxième façon donnent le même nombre au final, on a donc bien  \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^{k-1}}=4.

Notes:

-Comme certains l’auront remarqué, les figures ont été réalisées dans le jeu Minecraft.

-Je trouve la preuve n°2 particulièrement belle, car elle allie le géométrique, le visuel et la combinatoire.

-Pour ceux qui en veulent plus (oh oui, vous en voulez plus hein!), il existe tout un livre de preuves visuelles qui s’appelle Proofs without words (Tome 1 et 2) que vous pourrez acheter en revendant les cadeaux immondes que Tata Danielle vous aura offert cette année.

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9 commentaires pour Mathématiques muettes

  1. Très joli!

    Joyeux Noël et meilleuRs vœux, Pierre

  2. Anonyme dit :

    Toujours aussi intéressant !

    Remarque : dans « Impair et gagne ! », il manque des parenthèses autour de `2k+1`.

  3. Segovia dit :

    Bonjour,

    Je voulais vous remercier pour ce blog de qualité exceptionnelle que je viens de découvrir !
    Il est peu être un peu tard mais je voulais juste préciser que dans la partie 3) l’indexation de la somme devrait peut-etre commencer à k=0 ?

    Merci encore pour les belles choses que vous écrivez !

    Adrien Segovia

  4. Bouhedli dit :

    Excellent merci

  5. jean cartier dit :

    Merci

  6. abdelkader dit :

    Bonne continuation

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