Pourquoi 1+1=2 ?

Quand on dit aux gens qu’on fait des mathématiques , on a parfois droit à deux types de réactions. Soit on a droit au plaisantin qui nous fait une blague du type « Calcule-moi le cosinus de la racine carrée de Pythagore lolololol ». Soit on a droit au sceptique qui nous dit « J’ai jamais rien compris aux maths. D’ailleurs, pourquoi 1 et 1 font deux ? Qui me dit que c’est vrai ? »

Je vais soigneusement laisser de côté le calcul du cosinus de la racine carrée de Pythagore, et je vais essayer d’expliquer dans cet article pourquoi 1+1=2. Et comme on est des fous, on montrera même que 2+2=4.

De quoi parle-t-on ?

Prenons l’expression «1+1=2» (en mathématiques, on parle de prédicat ou de proposition). Avant de pouvoir dire si elle est vraie et pourquoi elle est vraie, essayons de comprendre ce qu’elle veut dire. Il y a quatre symboles différents dans cette expression. Le symbole «1», le symbole «2», le symbole «+» et le symbole «=». Si vous espérez savoir si 1+1=2, mieux vaut savoir ce que veut dire chacun de ces symboles. Et pourtant, si vous demandez leur signification à la personne qui vous questionne là-dessus, nul doute qu’elle ne saura quoi répondre. Faites le test. Demandez à votre interlocuteur ce que signifie chaque symbole. Riez.

Avant donc de montrer que «1+1=2», nous allons donc définir ce qu’on entend par cette expression. Il y a une jolie citation mathématique (due à un certain M. Sussman qui s’appelait Hector ou Gerald, je ne sais pas trop) qui dit:

En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d’appeler un opérateur auto-adjoint un « éléphant » et une décomposition spectrale une « trompe ». On peut alors démontrer un théorème suivant lequel « tout éléphant à une trompe ». Mais on n’a pas le droit de laisser croire que ce résultat a quelque chose à voir avec de gros animaux gris.

On peut donner tous les noms qu’on veut à des concepts mais il faut bien savoir de quoi on parle au final.

Qu’est-ce qu’un nombre ?

Je vais essayer d’expliquer comment les nombres entiers naturels (0, 1, 2, …) sont définis. Et croyez-moi, il y a du boulot. Plus un concept est basique, plus il faut retourner aux coeur des fondements.

Rappelons que les mathématiques sont une science déductive, basées sur un système d’axiomes. Cela signifie qu’on prend pour vrais un certains nombres d’énoncés de base (on ne les démontre pas. D’ailleurs à partir de quoi on les démontrerait ?) et à partir de ceux-ci, on en crée de nouveaux via des raisonnements logiques (au sens de la logique mathématique). Les axiomes de base des mathématiques d’aujourd’hui sont les axiomes donnés par deux mathématiciens qui s’appelaient Zermelo et Fraenkel. L’ensemble des axiomes qu’ils ont donné s’appelle la théorie ZF et sont à la base de la théorie des ensembles. Un des axiomes de cette théorie est le suivant:

• Axiome 1. Il existe un ensemble sans élément, qu’on appelle ensemble vide et qu’on note .

Nous sommes en mesure de construire le nombre 0. Par définition, on définit le nombre zéro (et on note 0) comme étant l’ensemble vide. De manière symbolique, on écrirait:

Pour construire les autres nombres, nous aurons besoin d’autres axiomes:

• Axiome 2. Si x est un ensemble, il existe un ensemble qui contient x. On le note {x}.
• Axiome 3. Si x et y sont deux ensembles, il existe un ensemble qui contient tous les éléments de x et tous les éléments de y. On le note .

Grâce à ces axiomes, nous pouvons construire un autre entier à partir de 0. Cet entier, nous l’appelerons un. Par définition, le nombre un (noté encore 1) sera l’ensemble:

De la même façon, on définira le nombre deux (et on le notera 2) à partir du nombre 1:

Si vous voulez une écriture explicite des nombres 1 et 2, vous pouvez remarquer que et que . De la même façon, on définirait le nombre 3 comme étant l’ensemble et on vérifierait que .

Représentation des nombres 0, 1 et 2 avec des ensembles.

A partir de là, on pourrait dire qu’on construit tous les nombres entiers « ainsi de suite »,  mais ce serait un peu de l’escroquerie. On va donc essayer d’être précis. On donne la règle formelle de construction suivante:

• Définition 1. Si est un nombre, on définit l’ensemble et on l’appelle le successeur de .

Par définition, on a (le successeur de 0 est 1), et (le successeur de 1 est 2). L’expression signifiera plus tard  (on le démontrera) mais pour l’instant on ne le sait pas. Ainsi, on construit tous les nombres avec cette règle. Dès qu’on a construit un nombre , on en construit un nouveau en prenant . Nous pouvons donc donner la définition d’un nombre:

• Définition 2. On dit qu’un ensemble est un nombre si:
  a) Soit
  b) Soit il existe un nombre tel que .

L’ensemble de tous les nombres

Le problème qui se pose à présent est: peut-on parler de l’ensemble de tous les ? Peut-on regrouper tous ces nombres que l’on construit au fur et à mesure dans un même ensemble ? Peut-parler de l’ensemble ? Eh bien, on ne peut pas le démontrer et pour pouvoir parler de cet ensemble, il nous faut un axiome supplémentaire. C’est qu’on appelle l’axiome de l’infini:

• Axiome 4. Il existe un ensemble I tel que:
  a) I contient
  b) Si est un élément de I, alors est aussi un élément de I.

Cet axiome impose en fait l’existence d’au moins un ensemble infini. Parmi tous ces ensembles qui contiennent dès qu’ils contiennent (on parle d’ensemble inductif), nous prendrons le plus petit au sens de l’inclusion. Bien entendu, il faudrait prouver qu’il existe un ensemble minimal pour cette propriété mais nous l’admettrons. Cet ensemble minimal sera ce qu’on appelle l’ensemble des nombres entiers naturels. La tradition et l’usage veulent qu’on note cet ensemble . Cette minimalité se traduit par la propriété suivante:

• Théorème 1. Si est un ensemble contenant et tel que alors .

Fonction successeur

Nous avons donc construit l’ensemble des nombres entiers naturels et en plus de cela, on obtient une fonction qu’on appellera successeur,  à savoir:

Il était important de pouvoir définir l’ensemble de tous les nombres justement pour pouvoir définir cette fonction (une fonction est définie avec un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée précis). Comme je l’ai dit plus haut, cette fonction représentera l’opération consistant à ajouter 1. Elle possède des propriétés remarquables:

• Théorème 2. La fonction vérifie les propriétés suivantes (appelées parfois axiomes de Peano):
  a)
  b)
  c) Si est un ensemble inclus dans tel que alors .

Traduction: Le point a) nous dit que 0 n’est le successeur de personne. Le point b) nous dit que la fonction successeur est injective: si deux nombres ont le même successeur, alors ils sont égaux. Le point c) est une conséquence du théorème 1 et s’appelle parfois le raisonnement par récurrence.

Jusque-là, nous avons défini ce que sont les nombres et ce qu’est le successeur d’un nombre. Nous sommes parés pour définir ce qu’on appelle l’addition de deux nombres.

Addition

Ce que nous voulons ici, c’est pouvoir définir une fonction (qu’on appellera l’addition) qui, à deux entiers naturels et associe un nouvel entier naturel qu’on notera . Si possible, on aimerait que cette fonction addition vérifie la propriété « Addition de 1 et de 1 égale 2» ainsi que « Addition de 2 et de 2 égale 4». Cette fonction sera définie par récurrence, mais il faut bien prendre garde à ce que cela soit possible (eh oui, rien n’est évident et tout est à prouver !). Pas de panique car on peut montrer le théorème suivant:

• Théorème 3. Soit un ensemble,   et une fonction de dans lui-même. Alors il existe une unique fonction telle que:
  a)
  b) , .

Si vous n’avez rien compris ne vous inquiétez pas, ce théorème signifie simplement qu’il est possible de définir une fonction par récurrence à partir d’un élément de départ et d’une relation de récurrence (!). (dans l’énoncé de ce théorème, l’image par f du successeur de n est définie à partir d’une expression dépendant de f(n) qui est supposé déjà défini).

On se donne à présent un entier naturel . Nous allons définir ce que veut dire d’ajouter à un nombre; autrement dit, on va définir la fonction « Addition par  » et cela se fait par récurrence:

• Définition 3. On définit l’expression par récurrence par:
  a) si ,
  b) si ,

Autrement dit, cette définition (b) nous dit que pour trouver , il suffit de prendre le successeur de (ici, représente puisque est le successeur de ). Nous pouvons remarquer, comme annoncé plus haut que car .

(Remarque: Pour ceux qui se demandent, pour définir l’addition rigoureusement on a utilisé le théorème 3 précédent en prenant et .)

Voilà, nous avons donc défini l’expression pour tout et ! Non sans mal… Mais ce n’est pas fini. Il reste à prouver le plus important. Notre cerise sur le gâteau.

Alors, pourquoi 1+1=2 ?

• Théorème 4.  Les propositions suivantes sont vraies:
  a) 1+1= 2
  b) 2+2=4

Démonstration: On utilise la définition de l’addition donnée précédemment. Rappelons simplement que le successeur de 0 est 1, que le successeur de 1 est 2, que le successeur de 2 est 3 et que le successeur de 3 est 4.

a)

b)

Q.E.D.

Notes:

Nous avons dit que l’axiome 4 s’appelle l’axiome de l’infini. Les axiomes 1, 2 et 3 portent aussi des noms: l’axiome 1 est l’axiome de l’ensemble vide, l’axiome 2 est l’axiome de la paire (enfin ici, une conséquence), l’axiome 3 est l’axiome de la réunion.

Il y a des axiomes que nous avons utilisé implicitement ici sans les mentionner afin de ne pas alourdir la présentation. La liste complète des axiomes de la théorie ZF est ici.

Si j’ai le temps, je posterai les démonstrations des théorèmes 1, 2 et 3 pour les curieux qui ne sont toujours pas convaincus… Il y en a toujours ! J’espère cependant avoir convaincu la plupart de mes lecteurs que 1+1=2.