Qui veut gagner des neurones ?

Nous possédons 100 milliards de neurones (enfin certains en possèdent moins que ça… mais faisons l’hypothèse que nous soyons tous égaux dans ce domaine. C’est une hypothèse forte quand on voit certains candidats de télé-réalité, je le concède). On estime que chaque neurone est connecté à 10 000 autres neurones (ces chiffres proviennent de cet article de l’Inserm, à qui on peut faire confiance je pense).

Combien y a-t-il de connexions entre tous vos neurones au total dans votre petite (ou grosse) tête ?

Vous avez dit débile ?

Commençons par un cas simple(t), celui d’une personne qui aurait 5 neurones, chacun de ses neurones étant connecté à deux autres neurones. (Non mais t’as que 5 neurones et tu passes à la télé ? Non mais Allô quoi !). On peut représenter cette situation à l’aide d’un graphe à 5 sommets, chaque sommet étant relié à deux autres sommets:

5_neuronesLe nombre total de connexions neuronales est donc le nombre d’arêtes dans ce graphe. On voit donc qu’il y en a 5 dans ce cas.

Graphes réguliers

Imaginons à présent un ensemble de n neurones tels que chaque neurone soit connecté à k autres neurones (n et k étant deux entiers naturels non nuls). Nous noterons N(n,k) le nombre de connexions neuronales (c’est-à-dire, comme on l’a dit, le nombre d’arêtes dans un graphe comportant n sommets, et où chaque sommet est connecté à k autres sommets). Nous allons déterminer le nombre N(n,k) en fonction de n et k.

Un graphe dans lequel chaque sommet possède le même nombre d’arêtes k qui en partent s’appelle un graphe k-régulier. Voici quelques exemples de graphes réguliers avec le nombre N(n,k) (les images sont extraites de Wikipédia):

N(6,2)=

N(6,2)=6 arêtes

N(8,3)=

N(8,3)=12 arêtes

N(10,3)=

N(10,3)=15 arêtes

N(10,4)=

N(10,4)=20 arêtes

A partir de ces exemples, avez-vous deviné la formule générale donnant N(n,k) en fonction de n et k ? Aller, ce n’est pas bien dur…

Serre-moi la pince, vieux crabe

Numérotons les sommets du graphe de 1 à n et comptons les arêtes:

  • Il y a k arêtes qui partent depuis le sommet 1
  • Il y a k arêtes qui partent depuis le sommet 2
  • Il y a k arêtes qui partent depuis le sommet n.

Cela nous donnerait un total de n\times k arêtes. Ah bon ? En fait, nous avons compté plusieurs fois les arêtes. Par exemple, imaginons qu’une arête rejoigne le sommet 1 au sommet 2. Alors cette arête aura été comptée deux fois: une fois quand on compte les arêtes qui partent de 1, et une fois quand on compte les arêtes qui partent de 2. Et c’est tout (sous-entendu elle n’a été comptée nulle part d’autre puisque chaque arête n’est liée qu’à deux sommets uniquement).

Puisque chaque arête a été comptée deux fois, le nombre total d’arêtes est obtenu en divisant notre premier résultat par 2. Il y a donc  \dfrac{n\times k}{2} arêtes dans notre graphe.

Théorème: Dans un graphe à n sommets, si de chaque sommet partent k arêtes, alors le nombre total d’arêtes est de \dfrac{nk}{2}

Ce théorème porte un nom amusant car il s’appelle le « Lemme des poignées de mains ».  Traduction: dans un groupe de n personnes, si chaque personne a serré k mains, alors il y a eu \dfrac{nk}{2} poignées de mains au total.

Revenons à nos neurones

Dans votre tête, vous avez n=10^{11} neurones, chaque neurone étant relié à k=10^{4} autres neurones. Il y a donc environ 5.10^{14} connexions neuronales. Oui, vous lisez bien: cinq cents mille milliards de connexions neuronales. Et une portion de ces connexions vous a servi à lire et à comprendre cet article.

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