Quelques problèmes de Noël

La fin d’année est proche, et à quelques heure de la venue du gentil Papa Noël, je vous propose de patienter en vous creusant les méninges sur les problèmes suivants. Je précise qu’ils ne sont pas difficiles, peut-être juste astucieux parfois, et encore…

Problème 1

Un chasseur dort dans une tente. Le matin, il se lève, puis parcourt une ligne droite de 10km vers le Nord. Il s’arrête alors pour manger. Puis, il reprend sa route et parcourt à nouveau une ligne droite de 10km vers le Nord. Il se retrouve alors de retour à sa tente.

Où se situe sa tente ?

Problème 2

Quelle est la forme développée de l’expression P ci-dessous comprenant 26 facteurs ?

P = (x-a)(x-b)(x-c)…(x-z)

Problème 3 (que je viens d’inventer !)

Voici un petit énoncé qui vient tout juste de me venir à l’esprit.

Combien de nombres premiers à 10 chiffres peut-on former à partir des chiffres 0, 1, 2, 3, …, 9 en utilisant une fois, et une seule, chacun de ces chiffres ?

Remarque 1: Par exemple (pour bien comprendre l’énoncé), les nombres 2980674135 et 1234567890 ne sont pas premiers…

Remarque 2: Cela n’a aucune importance, mais on accepte les nombres à 10 chiffres commençant par 0. Par exemple, 0123498765 (qui est plus simplement le nombre 123498765 qui n’est pas premier).

Remarque 3: Pour ceux qui souhaiteraient tester tous ces nombres un à un, je leur conseille un peu de patience car il y a 10! = 3 628 800 tels nombres. Cela dit, un ordinateur fait sans doute cela très vite. Peut-être.

Pour ceux qui sèchent, les solutions sont données ci-dessous, mais avant cela, voici un flocon de von Koch, un exemple très simple de fractale:

Solution 1

Sa tente se situe dans un rayon de 10km autour du Pôle Nord !

Solution 2

P=0 car il y a le facteur (x-x) à un moment donné…

Solution 3

Il n’y a aucun tel nombre premier. En effet, la somme des chiffres d’un tel nombre est 0+1+2+3+…+9=45 qui est divisible par 9. On en déduit donc que le nombre initial est lui aussi divisible par 9.

Un tel nombre ne peut donc pas être premier.

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3 commentaires pour Quelques problèmes de Noël

  1. Bruno K dit :

    Pour la première question je vois plutôt un rayon de 5 km autour du pôle nord.

  2. Ivan M dit :

    Je crois plutôt qu’il est dans un rayon $r$ km du pôle nord, où $r \in ]0;10[$. Car si il se trouve à exactement 10 km du pôle nord et qu’il parcourt 10 km vers le nord alors il se retrouve au pôle. Quel est le sens dans ce cas d’aller vers le nord?

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