Un théorème au nom imprononçable

J’aimerais vous présenter un théorème de géométrie élémentaire qui a la particularité d’être beaucoup plus facile à comprendre qu’à nommer. Avant de donner le nom de ce théorème, expliquons-le (soyez patients !). On considère deux droites (D) et (D’) du plan, et on considère en outre une isométrie f qui envoie (D) sur (D’). Rappelons qu’une isométrie est une application affine qui conserve les distances. On peut montrer qu’il n’y a que cinq types d’isométries dans le plan:

  • l’application identité, bien évidemment (l’application qui « ne touche à rien »);
  • les rotations autour d’un point;
  • les symétries axiales (symétrie par rapport à une droite, la fameuse symétrie miroir)
  • les translations;
  • les symétries glissées, c’est-à-dire la composée d’une translation et d’une symétrie axiale (voir cette image pour ceux qui ne voient toujours pas).

Bref, tout cela pour dire qu’une isométrie est quelque chose de très simple à visualiser, et qu’on en manipule quotidiennement (ou presque) depuis le collège. Personnellement, j’en mange une dizaine au p’tit déj’ chaque matin sans prendre un gramme. Le régime Dukan n’a qu’à bien se tenir.

Je disais donc qu’on dispose d’une isométrie qui envoie une droite (D) sur une droite (D’). Autrement dit, tout point P de la droite (D) est envoyé sur un point P’=f(P) appartenant à (D’). On note I le milieu du segment [PP’] (voir schéma ci-dessous).

Les droites (D) et (D’) sont isométriques (via une symétrie glissée). Les images de P, A et B sont respectivement P’, A’ et B’. L’illusion d’optique peut faire penser que les distances PA, et AB ne sont pas conservées, c’est donc pour cela que la valeur des distances est affichée sur l’image. Les points I, J et K sont les milieux des segments auxquels ils appartiennent.

J’enfile mon plus beau costume de Julien Lepers et je pose une question: lorsque le point P parcourt la droite (D), quel ensemble décrit le point I ? Pour répondre, on fixe ce schéma calmement en respirant profondément et on comprend ce qui se passe juste au premier coup d’œil. Alors ? Bon, même un astigmate verrait que sur la figure ci-dessus les points I, J et K semblent alignés. Même le type de la pub Vu l’aurait vu. C’est pour dire.

Comme on peut s’en douter, I,J et K sont alignés. L’ensemble des points cherché semble être la droite rouge.

La propriété à énoncer est donc:

Lorsque le point P parcourt (D), l’ensemble décrit par le point I milieu de [PP’] est une droite ou un point.

En fait, la propriété dit plus précisément que les milieux des segments [PP’] sont tous distincts et alignés ou alors ne forment qu’un seul et même point (ce qui correspond au cas où f est une rotation d’angle 180° (aussi appelée symétrie centrale au collège). Cette propriété porte le doux nom de théorème de Hjelmslev. Oui, vous ne rêvez pas, pas moins de sept consonnes pour seulement deux voyelles. Qui dit mieux ?

(Au passage, puisqu’il faut bien trouver un intérêt pratique à ce blog, et qu’il est difficile de briller en société en parlant de mathématiques, voici une curiosité amusante qui vous permettra d’impressionner vos amis (si vous en avez, j’insiste): les trois mots de la langue française les plus longs ne contenant pas de voyelle sont brrr, grrr et pfft. Accessoirement, ça peut aussi vous servir à grignoter quelques points lors d’une passionnante partie de Scrabble, dans le cas d’un tirage particulièrement atroce, c’est-à-dire tout le temps.)

Pour ceux que ça amuse (ou les Saint-Thomas), vous pouvez vous rendre sur cette page pour un petit applet illustrant le théorème de Hjelmslev.

On m’aurait menti ?

Comme vous l’avez peut-être constaté par vous-même en faisant joujou avec l’applet, le fait d’être isométrique pour f n’a aucune incidence sur le résultat final. Il suffit en fait simplement que f soit une application affine pour que la propriété tienne toujours. Cela nous a permis au moins de rappeler ce qu’est une isométrie (et je suppose qu’historiquement, ce résultat a été découvert ou prouvé dans le cas des isométries par le bien nommé Hjelmslev) et de voir sur un exemple simple (puisqu’issu d’une isométrie !) ce qui se passait. De même, le fait que I soit le milieu ne joue pas de rôle particulier. On peut le choisir dans un rapport établi au préalable (par exemple, situé au 2/3 du segment [PP’]).

Passons à la démonstration. On veut montrer que l’ensemble des points I milieux des segments [PP’] forme une droite ou un unique point. L’application f est seulement supposée affine. Les notations seront celles du premier schéma ci-dessus. Le but est de montrer que J est sur le segment [IK] en montrant que J est le barycentre des points I et K (pour certains coefficients à déterminer). Le point A étant sur la droite (PB), il peut être écrit comme le barycentre des points P et B affectés de certains coefficients m et n, ce qu’on note A=bar{(P,m),(B,n)}. Puisque l’application f est affine, elle conserve le barycentre, ce qui signifie que A’=bar{(P’,m),(B’,n)}. Mais, I étant le milieu de [PP’], il est le barycentre du système {(P,m),(P’,m)} (isobarycentre). De même, K=bar{(B,n),(B’,n)}. Il ne nous reste plus qu’à utiliser l’associativité du barycentre pour conclure. En effet, J est le milieu de [AA’] donc J=bar{(A,m+n),(A’,m+n)} = bar{(P,m),(B,n), (P’,m), (B’,n)} = bar{(I,2m),(K,2n)}. CQFD

En prime, on peut aussi écrire J=bar{(I,m),(K,n)} (le barycentre est invariant par multiplication par un scalaire), ce qui signifie que J coupe le segment [IK] dans le même rapport que celui défini par les points A et A’ coupant respectivement [PB] et [P’B’]. Cette preuve n’a aucun intérêt, tout était déjà clair sur le schéma !

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3 commentaires pour Un théorème au nom imprononçable

  1. RB dit :

    …Hjelmslev. Oui, vous ne rêvez pas, pas moins de sept voyelles pour seulement deux consonnes. Qui dit mieux ? : Moi
    Hjelmslev : 7 consonnes + 1 voyelle en double

  2. Lesept dit :

    Est-ce que ce théorème ne peut pas être étendu à un autre type de courbe ? Par exemple, le lieu des milieux des points de deux paraboles, hyperboles (etc.) reliées par une isométrie est lui aussi une parabole, hyperbole, etc. ?

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