Fermat et les Simpson

Dans un des épisodes des Simpson, on peut voir une égalité qui rappellera certainement des choses à certains d’entre vous:

Pour ceux qui ne verraient pas bien, il est écrit:

1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12}

Le grand théorème de Fermat serait-il contredit ? Où est l’arnaque ? On se doute bien que cette égalité est fausse (disons que du point de vue mathématique, on peut plus faire confiance à Wiles qu’aux Simpson).

Faisons le calcul pour s’en assurer. Puisque les chiffres considérés sont énormes, il serait trop long de faire les calculs à la main (sauf si on aime se faire mal ou si on est un adepte des soirées SM-athématiques). Commençons donc par utiliser la calculatrice de Google:

Bizarre… Les résultats annoncés sont semblables. Les nombres calculés sont visiblement arrondis, il faudrait pouvoir obtenir toutes les chiffres. Pour cela, utilisons le site WolframAlpha (ce site utilise le logiciel Mathematica, qui est un logiciel de calcul très puissant):

Nous voilà donc rassurés. Cela dit, ces deux nombres ont leurs huit premiers chiffres identiques, ce qui fait qu’à l’époque où l’épisode a été diffusé pour la première fois, la plupart des calculatrices n’étaient pas capables de distinguer 1782^{12} + 1841^{12} de 1922^{12}.

Mais cela valait-il bien la peine de faire tant de calculs et tant d’efforts juste pour prouver que cette égalité est fausse ?

Avant même de faire les calculs, je pouvais affirmer que cette égalité est fausse à cause d’un argument tout simple. Cet argument convaincra aussi tous les sceptiques (et ils sont nombreux) qui ne font pas confiance aux calculatrices (on a tous entendu un jour « Qu’est-ce qui me dit que la calculatrice a bon ? »).

Rappelons une règle très simple (parfois vue en primaire):

  • Le produit de deux nombres pairs est pair;
  • Le produit de deux nombres impairs est impair.

A quoi cela peut-il bien nous servir ? Tout simplement à dire que 1782^{12} est un nombre pair (car 1782 est lui-même pair) et que 1841^{12} est un nombre impair (car 1841 est impair).

Que peut-on dire de la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair ? C’est un nombre impair. Toujours. En particulier, 1782^{12} + 1841^{12} est impair.

Si l’égalité était vraie, cela entrainerait que 1922^{12} aussi est impair. Mais comme on l’a dit précédemment, ce nombre est pair car 1922 est lui-même pair. Visiblement, quelque chose cloche. Cette égalité est nécéssairement fausse.

Quelle est la morale de cette histoire ?

Avant d’utiliser une calculatrice, il faut toujours voir si on ne peut pas s’en passer. La preuve ici, on a réussi à s’épargner des calculs atroces juste à l’aide d’un peu de bon sens. Il est toujours bon de comprendre ce qui se passe avant même de sortir l’artillerie lourde. Comme disait Aimé Jacquet, « Tu vois, ça ne coûte pas plus cher de bien manger ! ».

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