Produit des diviseurs d’un entier (deuxième partie)

Dans la première partie de cet article, nous avions vu (entre autres) que si n est un entier ne possédant qu’un seul facteur premier (c’est-à-dire n=p^\alphap est un nombre premier) alors le produit de tous les diviseurs de n (que nous noterons \pi(n) dans cet article pour plus de lisibilité; le signe \prod désignera un produit) vaut p^{\frac{\alpha(\alpha+1)}{2}} qui est égal à n^{\frac{\alpha+1}{2}}.

De même, on avait vu que si n=p^\alpha q^\beta (où p,q sont des nombres premiers), alors

\pi(n)=n^{\frac{(\alpha+1)(\beta+1)}{2}}

Que se passe-t-il si n possède un nombre quelconque de facteurs premiers ? D’après la tête des formules précédentes, on peut facilement conjecturer que si n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} alors

\displaystyle{ \pi(n)=n^{\frac{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}{2}}}

Nous allons montrer que cette formule est belle et bien vraie. Pour cela, nous allons effectuer une récurrence sur le nombre de facteurs premiers de n. Comme nous l’avons rappelé ci-dessus, la formule est vraie si n ne possède qu’un ou deux facteurs premiers.

On suppose que la formule est vraie pour tout entier possédant r \geq 1 facteurs premiers; il s’agit de montrer qu’elle est encore vraie pour tout entier à r+1 facteurs premiers.

On considère donc un entier n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} q^{\beta} qu’on notera encore n= m \times s (avec m=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} et s=q^{\beta}).

Un diviseur d de n est de la forme d=x yx est un diviseur de m et y est un diviseur de s. On peut ainsi partitionner l’ensemble des diviseurs de n en disant qu’il est égal à \bigcup_{y \text{ diviseur de }s} \{ xy | x \text{ est un diviseur de } m \}: la réunion, qui est indexée sur l’ensemble des diviseurs de s, est donc disjointe, ce qui permet de regrouper astucieusement les termes lorsqu’on calculera le produit des diviseurs \pi(n). Plus précisément,

\pi(n) = \prod_{y \text{ diviseur de }s} \left(\prod_{x \text{ est un diviseur de } m} xy \right)

Le deuxième produit est composé d’autant de termes qu’il y a de diviseurs de m, c’est-à-dire (\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1). On peut donc extraire y de ce produit autant de fois qu’il apparaît, ce qui nous donne

\pi(n) = \prod_{y} y^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)} \left(\prod_{x \text{ est un diviseur de } m} x \right)

c’est-à-dire

\Pi(n) = \prod_{y} y^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}\pi(m)

A présent, nous pouvons sortir \pi(m) du produit en le comptant autant de fois qu’il y a de diviseurs y à s=q^{\beta} , c’est-à-dire \beta+1 fois:

\pi(n) = \pi(m)^{\beta+1} \prod_{y} y^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}

On peut réécrire tout cela:

\pi(n) = \pi(m)^{\beta+1} \pi(s)^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}

Il suffit à présent d’utiliser l’hypothèse de récurrence qui affirme que \pi(m)= m^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)}{2}} et \pi(s)=s^{\frac{\beta+1}{2}}. On obtient donc

\pi(n)= m^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)}{2} (\beta+1)} s^{\frac{(\beta+1)}{2} (\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}

On a donc

\pi(n)=(m.s)^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)(\beta+1)}{2} }=n^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)(\beta+1)}{2}}

ce qui prouve notre résultat au rang r+1  (ouf !)

Publicités
Cet article a été publié dans Non classé. Ajoutez ce permalien à vos favoris.

2 commentaires pour Produit des diviseurs d’un entier (deuxième partie)

  1. un sup dit :

    Très belle démonstration

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s