Produit des diviseurs d’un entier (deuxième partie)

Dans la première partie de cet article, nous avions vu (entre autres) que si $n$ est un entier ne possédant qu’un seul facteur premier (c’est-à-dire $n=p^\alpha$ où $p$ est un nombre premier) alors le produit de tous les diviseurs de $n$ (que nous noterons $\pi(n)$ dans cet article pour plus de lisibilité; le signe $\prod$ désignera un produit) vaut $p^{\frac{\alpha(\alpha+1)}{2}}$ qui est égal à $n^{\frac{\alpha+1}{2}}$ .

De même, on avait vu que si $n=p^\alpha q^\beta$ (où $p,q$ sont des nombres premiers), alors

$\pi(n)=n^{\frac{(\alpha+1)(\beta+1)}{2}}$

Que se passe-t-il si $n$ possède un nombre quelconque de facteurs premiers ? D’après la tête des formules précédentes, on peut facilement conjecturer que si $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}$ alors

$\displaystyle{ \pi(n)=n^{\frac{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}{2}}}$

Nous allons montrer que cette formule est belle et bien vraie. Pour cela, nous allons effectuer une récurrence sur le nombre de facteurs premiers de $n$ . Comme nous l’avons rappelé ci-dessus, la formule est vraie si $n$ ne possède qu’un ou deux facteurs premiers.

On suppose que la formule est vraie pour tout entier possédant $r \geq 1$ facteurs premiers; il s’agit de montrer qu’elle est encore vraie pour tout entier à $r+1$ facteurs premiers.

On considère donc un entier $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} q^{\beta}$ qu’on notera encore $n= m \times s$ (avec $m=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}$ et $s=q^{\beta}$ ).

Un diviseur $d$ de $n$ est de la forme $d=x y$ où $x$ est un diviseur de $m$ et $y$ est un diviseur de $s$ . On peut ainsi partitionner l’ensemble des diviseurs de $n$ en disant qu’il est égal à $\bigcup_{y \text{ diviseur de }s} \{ xy | x \text{ est un diviseur de } m \}$ : la réunion, qui est indexée sur l’ensemble des diviseurs de $s$ , est donc disjointe, ce qui permet de regrouper astucieusement les termes lorsqu’on calculera le produit des diviseurs $\pi(n)$ . Plus précisément,

$\pi(n) = \prod_{y \text{ diviseur de }s} \left(\prod_{x \text{ est un diviseur de } m} xy \right)$

Le deuxième produit est composé d’autant de termes qu’il y a de diviseurs de $m$ , c’est-à-dire $(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)$ . On peut donc extraire $y$ de ce produit autant de fois qu’il apparaît, ce qui nous donne

$\pi(n) = \prod_{y} y^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)} \left(\prod_{x \text{ est un diviseur de } m} x \right)$

c’est-à-dire

$\Pi(n) = \prod_{y} y^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}\pi(m)$

A présent, nous pouvons sortir $\pi(m)$ du produit en le comptant autant de fois qu’il y a de diviseurs $y$ à $s=q^{\beta}$ , c’est-à-dire $\beta+1$ fois:

$\pi(n) = \pi(m)^{\beta+1} \prod_{y} y^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}$

On peut réécrire tout cela:

$\pi(n) = \pi(m)^{\beta+1} \pi(s)^{(\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}$

Il suffit à présent d’utiliser l’hypothèse de récurrence qui affirme que $\pi(m)= m^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)}{2}}$ et $\pi(s)=s^{\frac{\beta+1}{2}}$ . On obtient donc

$\pi(n)= m^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)}{2} (\beta+1)} s^{\frac{(\beta+1)}{2} (\alpha_1+1) \cdots (\alpha_r+1)}$

On a donc

$\pi(n)=(m.s)^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)(\beta+1)}{2} }=n^{\frac{(\alpha+1) \cdots (\alpha_r+1)(\beta+1)}{2}}$

ce qui prouve notre résultat au rang $r+1$ (ouf !)

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3 commentaires pour Produit des diviseurs d’un entier (deuxième partie)

un sup dit :

8 décembre 2012 à 17 h 27 min

Très belle démonstration

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Réponse
- blogdemaths dit :
  
  8 décembre 2012 à 21 h 48 min
  
  Merci !
  
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  Réponse
René Adad dit :

11 mai 2018 à 17 h 21 min

Bonjour, je pense qu’il y a un moyen un peu plus rapide pour atteindre la conclusion : dans l’expression $\pi(n)^2$, on peut regrouper chaque facteur $d$ (diviseur de $n$) avec le facteur $n/d$, ce qui montre que $\pi(n)^2=n^N$, où $N$ désigne le nombre de diviseurs de $n$. Par ailleurs, il est classique que $N=(1+\alpha_1)\ldots(1+\alpha_r)$, d’où le résultat.

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