Carrés magiques (deuxième partie): constructions !

Dans l’article précédent (que je vous invite à aller consulter !), je mettais un lien vers une vidéo expliquant de manière très ludique ce que sont les carrés magiques. A présent, nous allons tenter d’expliquer comment trouver des carrés magiques 3×3. La méthode présentée permet de trouver tous ces carrés !

Tout d’abord, rappelons qu’un carré magique de taille 3×3 est un tableau de nombres entiers dans lequel la somme de chaque ligne, de chaque colonne, et de chaque diagonale vaut toujours le même nombre, appelé constante magique. L’exemple le plus connu (et le plus ancien, puisqu’il était probablement connu des mathématiciens Chinois 650 avant J.C.) est le suivant:


Comme vous pouvez le constater, la constante magique de ce carré est M=15. Avant de commencer notre étude des carrés magiques, je vous propose deux questions (auxquelles vous pouvez essayer de répondre avant même de lire la suite):

  1. Peut-on construire un carré magique de constante magique égale à 20 ?
  2. Peut-on construire un carré magique de constante magique égale à 21 ?

Premières définitions

Considérons un carré magique quelconque. Nous nommons chaque case par une lettre comme ci-dessous:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & i \\ \hline \end{array}

 Nous noterons:

  • M la constante magique, c’est-à-dire la somme commune à toutes les lignes, colonnes et diagonales;
  • S la somme totale de ce carré, c’est-à-dire la somme de tous les nombres situés dans les neuf cases;
  • C la colonne du milieu (b,e,h);
  • L la ligne du milieu (d,e,f);
  • D la diagonale principale  (a,e,i);
  • D’ l’autre diagonale (g,e,c).

D’autre part, nous noterons encore par C la somme de tous les éléments de la colonne du milieu (c’est-à-dire C=b+e+h). Idem pour L, D et D’.

Maintenant que les appellations sont en place, nous pouvons commencer à étudier notre carré !

Constante magique

Calculons de la somme S de tous les éléments du tableau:

S = (a+b+c) + (d+e+f) + (g+h+i)

S = M + M + M

La somme totale du tableau est donc égale à trois fois la constante magique: S=3M.

D’autre part, on voit que C, L, D, et D’ n’ont qu’une seule case en commun: la case e (voir le schéma ci-dessous).

Quand on fait la somme de C, L, D et D', chaque case n'est parcourue qu'une fois sauf la case centrale.


Lorsqu’on effectue la somme de C, L, D et D’, la case centrale est donc comptée 4 fois, alors que les autres n’apparaissent qu’une fois. Ainsi:

C+L+D+D'=S+3e

Mais, puisqu’on est en présence d’un carré magique, C, L, D et D’ sont tous égaux à M. En remplaçant dans l’égalité précédente, on obtient donc

4M=S+3e.

Mais comme on a vu que S=3 M, on a donc l’égalité:

4M=3M+3e

D’où M=3e. Le résultat à retenir est le suivant:

Dans un carré magique, la constante magique vaut le triple de la case centrale.

Ainsi, la constante magique est forcément un multiple de 3. Il n’existe donc pas de carré magique de constante magique égale à 20 !

Progressions arithmétiques

Avant de poursuivre, expliquons ce que sont trois nombres en progression arithmétique. On dit que trois nombres x, y et z sont en progression arithmétique s’il faut ajouter la même quantité pour passer de x à y, que pour passer de y à z. Par exemple, 4, 9 et 14 sont en progression arithmétique, car on passe de l’un à l’autre en ajoutant 5 à chaque fois. De même, 3, 10 et 17 sont en progression arithmétique.

Signalons que, comme on le voit facilement, pour que trois nombres x,y et z soient en progression arithmétique, il faut (et il suffit) que y-x=z-y.

Revenons à notre carré magique. Une de ses propriétés les plus remarquables que nous allons prouver est la suivante:

Dans un carré magique, les éléments de la diagonale D sont en progression arithmétique.

Ce résultat est aussi valable pour L, C et D’ mais nous n’allons le prouver que pour D. La démonstration est la même dans les autres cas.

Tout d’abord, on sait, puisque le carré est magique, que a+e+i=M, c’est-à-dire

a+e+i=3e

En soustrayant a et 2e à chaque membre, on obtient:

i-e=e-a

ce qui prouve que les nombres a, e et i sont en progression arithmétique. Vous pouvez vérifier sur l’exemple donné au début de l’article que les nombres situés sur C, L, D et D’ sont en progression arithmétique.


Forme générale d’un carré magique !

Revenons à notre carré magique étiqueté a, b, c, d, e, f, g, h, i. Les nombres a, e, et i sont en progression arithmétique donc il existe un entier r tel que: a=e-r et i=e+r.

De même, g, e, et c sont en progression donc il existe un autre entier s tel que g=e-s et c=e+s. Le carré magique est pour l’instant de la forme:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline e-r & b & e+s \\ \hline d & e & f \\ \hline e-s & h & e+r \\ \hline \end{array}

Puisque la somme de la première ligne vaut 3e (la constante magique), on a donc (e-r)+b+(e+s)=3e, d’où: b= e + (r-s). On trouve de la même manière les nombres h, d et f. Notre carré magique est donc de la forme:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline e-r & e+(r-s) & e+s \\ \hline e+(r+s) & e & e-(r+s) \\ \hline e-s & e-(r-s) & e+r \\ \hline \end{array}

Réciproquement, on voit bien que chaque ligne, chaque colonne, chaque diagonale de ce tableau a pour somme le même nombre: 3e. Tout carré magique est donc de cette forme !

Comment construire un carré magique alors ?

La méthode est la suivante:

  1. On choisit un nombre e (arbitraire) qui sera placé dans la case centrale (ou de manière équivalente, on choisit un multiple M de 3 qui sera notre constante magique, et on place le tiers de M dans la case centrale)
  2. On choisit arbitrairement deux nombres entiers r>0 et s>0 de tels sorte que e>r+s (pour que tous les nombres du tableau soient positifs).
  3. On remplit le tableau en suivant la formule donnée par le dernier tableau cité ci-dessus ou, plus simplement, en plaçant les progressions arithmétiques dans les diagonales et en complétant de manière à atteindre une somme M dans chaque ligne ou colonne.

Par exemple, si je souhaite construire un carré magique de constante magique égale à 21, je sais que la case centrale sera égale à 21/3=7. Je prends deux nombres r et s tels que leur somme est plus petite que 7, par exemple r=1 et s=4, ce qui donne deux progressions arithmétiques: 6, 7, 8 et 3, 7, 11. On a donc le tableau suivant pour le moment:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 6 & . & 11 \\ \hline . & 7 & . \\ \hline 3 & . & 8 \\ \hline \end{array}

On complète la première ligne pour que la somme donne 21, ce qui impose de mettre la nombre 4 dans la case b. On fait de même avec la 3ème ligne, etc… Ce qui donne le tableau suivant:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 6 & 4 & 11 \\ \hline 12 & 7 & 2 \\ \hline 3 & 10 & 8 \\ \hline \end{array}

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2 commentaires pour Carrés magiques (deuxième partie): constructions !

  1. RB dit :

    Juste pour signaler une petite erreur faite deux fois. Au début de l’article, la colonne du milieu, c’est beh et non pas bef. Idem plus loin, C=b+e+h et non pas b+e+f.
    Sinon merci pour l’exposition et la résolution du pb qui est limpide.

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