Céviennes (première partie)

Dans un triangle, on appelle cévienne toute droite passant par un sommet du triangle et coupant la droite formant le support du côté opposé. Un bon schéma valant mieux qu’un long discours, voici deux figures (présentant les deux cas de figure possibles) montrant une cévienne issue du sommet A:

Cas n°1: la cévienne coupe le segment opposé.

Cas n°2: la cévienne ne coupe pas le segment opposé.

Il y a donc deux types de céviennes: celles qui coupent le segment opposé et celles qui ne le coupent pas. Désormais, lorsque nous parlerons de « cas n°1 », on fera référence à la première figure, et quand nous parlerons de « cas n°2 », nous évoquerons la situation correspondant à la deuxième figure.

On remarque tout de suite qu’il n’y a qu’une seule droite passant par A qui n’est pas un cévienne: il s’agit de la droite parallèle à (BC). Il existe donc une infinité de céviennes issues d’un sommet donné.

Parmi les céviennes, certaines sont très remarquables (et très connues !): il s’agit des médianes, des bissectrices et des hauteurs. Attention, la médiatrice d’un côté n’est en général pas une cévienne (puisqu’elle ne passe pas par le sommet opposé).

Le théorème de Ceva

Etant donné un triangle ABC, on se donne trois céviennes issues des sommets A, B et C, que l’ont note respectivement (AX), (AY) et (AZ), comme sur le schéma ci-dessous:

A quelle condition ces céviennes sont-elles concourantes ? On se doute bien que ces trois droites se couperont en un même point si les lieux des points X, Y et Z sur les droites (AX), (BY) et (CZ) sont dans une certaine « proportion ». Plus précisemment, on doit au mathématicien Giovanni Ceva la condition nécéssaire suivante (ainsi que le terme cévienne !):

Théorème: Dans un triangle ABC, si trois céviennes (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes, alors \frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=1

La fraction \frac{BX}{XC} représente en quelque sorte la proportion dans laquelle le point X coupe la droite [BC] (même dans le cas où X est en dehors de ce segment). Le théorème affirme donc que les proportions dans lesquelles X, Y et Z coupent les segments [BC], [CA] et [AB] doivent être liées (via la relation  \frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=1) pour que les céviennes soient concourantes.

Démonstration

La démonstration de ce théorème est tout à fait accessible à un élève de collège. La seule chose à connaître est la définition de l’aire d’un triangle: (base x hauteur)/2.

Préliminaires…

Commençons par une remarque primordiale: si deux triangles ont des hauteurs égales alors leurs aires sont proportionnelles à leurs bases. Pour préciser cela, regardons l’exemple suivant:

On s’intéresse ici aux triangles ABX et AXC: ils ont même hauteur h (et ce, que le point X soit situé sur le segment [BC] ou non. Pour simplifier,  on fera dans la suite toujours les schémas dans le cas où X appartient à [BC], mais tous les raisonnements suivants sont valables même si X est en dehors de ce segment) . L’aire A de  ABX vaut \frac{BX \times h}{2}. Quant à l’aire A' du triangle AXC, elle est de \frac{XC \times h }{2}. On en déduit donc l’égalité \frac{A}{A'}=\frac{BX}{XC}, qui signifie bien que les aires sont proprotionnelles aux bases. De la même manière, si on place un point P sur la droite (AX), le rapport des aires des triangles PBX et PXC sera égal à \frac{BX}{XC} (voir figure suivante).

Pour simplifier les notations, on notera (ABC) l’aire du triangle ABC. On a donc le tableau de proportionnalité suivant: \begin{array}{|c|c|c|} \hline BX & (ABX) & (PBX) \\ \hline XC & (AXC) & (PXC) \\ \hline \end{array}.

On sait que, dans un tableau de proportionnalité, on peut ajouter une colonne en soustrayant deux colonnes. Si on fait ceci en soustrayant la troisième colonne à la deuxième, on obtient le tableau de proportionnalité suivant: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline BX & (ABX) & (PBX) & (ABX) - (PBX) \\ \hline XC & (AXC) & (PXC) & (AXC) - (PXC) \\ \hline \end{array}.

Mais (ABX) – (PBX) = (ABP) et (AXC) – (PXC) = (APC). Nous pouvons donc conclure, puisque le tableau est de proportionnalité, que dans la situation décrite dans le schéma ci-dessus, \frac{BX}{XC}=\frac{(ABP)}{(APC)}.

Remarque: Ici, il faut faire attention. Si P est choisi en dehors de [XA], il se peut qu’on ait (ABX) + (PBX) = (ABP) et (AXC) + (PXC) = (APC). Dans ce cas, au lieu de soustraire la troisième colonne à la deuxième, il faut l’ajouter, et on obtient encore l’égalité \frac{BX}{XC}=\frac{(ABP)}{(APC)}. Voir les deux figures ci-dessous:

Cas n°1

Cas n°2

 

Remarque: Le lecteur attentif aura noté qu’il y a une troisième possibilité, celle où le point P est de telle sorte que (APX) – (ABX) = (ABP) et (PXC) – (AXC) = (APC). Là encore, le résultat tient toujours (en adaptant les raisonnements précédents…). Je vous laisse vous en convaincre tout seuls !

Retour au théorème !

Revenons donc à notre triangle ABC, et on suppose que nos trois céviennes (AX), (BY) et (CZ) sont coucourantes en un point P.

Nous venons de voir que \frac{BX}{XC}=\frac{(ABP)}{(APC)}. De la même manière, on peut montrer que \frac{CY}{YA}=\frac{(BCP)}{(ABP)} et que \frac{AZ}{ZB}=\frac{(APC)}{(BCP)}. Par suite:

\frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB} = \frac{(ABP)}{(APC)} . \frac{(BCP)}{(ABP)} . \frac{(APC)}{(BCP)} = 1

Tout s’est simplifié et le théorème est démontré !

Source: Geometry revisited, H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer

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