Top 10 des nombres irrationnels

Dans un récent article du blog « division by zero », l’auteur nous a fait part de son top 10 des nombres transcendants. Rappelons qu’un nombre transcendant est un nombre qui n’est racine d’aucun polynôme à coefficients dans $Q$ , l’ensemble des nombres rationnels.

Sur le même principe, j’aimerais proposer un top 10 des nombres irrationnels. Rappelons qu’un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Le fait qu’il existe des nombres irrationnels est connu depuis l’Antiquité.

(Notons aussi qu’un nombre transcendant est nécéssairement irrationnel mais qu’il existe des nombres irrationnels qui ne sont pas transcendants.)

$\sqrt{2}$ : sans doute le nombre irrationnel le plus connu et le plus célèbre. De même, on sait que pour tout nombre premier p, $\sqrt{p}$ est irrationnel.
Le nombre d’or $\varphi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}$ : c’est une conséquence du premier point que ce nombre est irrationnel. En effet, si $\varphi$ était rationnel, alors on aurait $\varphi = \frac{p}{q}$ c’est-à-dire $\sqrt{5}=\frac{2p-q}{q}$ , ce qui est absurde puisque $\sqrt{5}$ est irrationnel.
$e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$ : la constante d’Euler est un nombre irrationnel (et même transcendant), ce que prouva Euler en 1739. Ajoutons que $e^r$ est aussi irrationnel si r est un nombre rationnel non nul.
$\pi$ : la constante la plus connue du monde des mathématiques est irrationnelle elle aussi, et cela a été prouvé pour la première fois au 18ème siècle.
$\zeta(3)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$ : la constante d’Apéry. Le fait que ce nombre soit irrationnel n’est connu que depuis récemment, lorsqu’en 1979, Apéry en donna la première démonstration. On ne sait cependant toujours pas si ce nombre est transcendant ou non.
$\pi + e^{\pi}$ : irrationnalité prouvée par Nesterenko en 1996.
$log_n(m)$ où n et m sont deux entiers naturels tels que l’un possède un facteur premier que l’autre ne possède pas (facile à prouver: voir cet autre article à ce sujet).
La constante d’Erdös-Borwein $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n - 1}$ : prouvé en 1948 par le (génial) Erdös.
Si $\sigma(n)$ représente la somme des diviseurs de l’entier n alors la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sigma(n)}{n!}$ est irrationnelle.
Last but not least: $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est irrationnel. Cependant, puisque $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=2$ , on voit donc qu’un nombre irrationnel puissance un autre nombre irrationnel n’est pas nécessairement un nombre irrationnel.