Somme des nombres impairs

En arithmétique, un carré est un nombre qui peut s’écrire comme le produit d’un nombre par lui-même. Par exemple, 9, 16 et 81 sont des carrés.
Comme le fait remarquer The Dude dans son article intitulé « Nombres mystérieux », lorsqu’on effectue la somme d’entiers impairs consécutifs en partant de 1, le nombre obtenu est un carré.  

Voici une façon plutôt géométrique de voir la chose. Comme en primaire, nous utiliser des petits carrés (autrefois utiles pour apprendre et comprendre le système décimal: 10 petits carrés formant une barre appelée dizaine, etc…).

Commençons avec 4 petits carrés. La propriété initiale affirme que 1+3 est un carré (ce qui est vrai puisque 4= 2 \times 2). Autrement dit, en prenant 1+3 petits carrés, on est capable de former un plus gros carré, comme sur le schéma ci-dessous:

Vous pouvez vous amuser à faire la même chose pour 1+3+5. A partir du carré ci-dessus, il suffit d’ajouter 5 petits carrés sur le contour pour obtenir un nouveau carré (composé de 9 petits carrés).

De même, pour montrer que 1+3+5+7 est un carré, on partira du carré obtenu à partir de 9 petits carrés puis y coller 7 nouveaux petits carrés, pour obtenir un grand carré composé de 16 petits carrés cette fois.  Nous venons donc d’esquisser une méthode, il reste à voir si elle marche lorsqu’on arrête la somme à un nombre impair quelconque.

Nous allons donc tentons de généraliser (c’est là que ça devient plus difficile) à partir de l’idée intuitée précédemment. Nous allons même montrer un résultat plus fort que la propriété de départ: si on prend un nombre impair quelconque, il s’écrit 2n+1 (avec n un certain entier) et la somme des entiers impairs de 1 à 2 n+1 vaut (n+1)^2. Pour cela, il faudra remarquer que pour construire un nouveau grand carré, il faut partir du carré précédent (comme pour l’exemple de 1+3+5). C’est ce principe que nous allons expliquer plus précisément.

Prenons un entier impair, que nous notons 2 n -1. On suppose que la somme des entiers impairs de 1 à 2 n-1 est n^2, c’est-à-dire que nous avons pu réorganiser tous nos petits carrés pour obtenir un grand carré de côté n.

Si on souhaite faire la somme des entiers impairs jusqu’à 2n+1, il faut partir de ce carré de côté n et ajouter 2n+1 petits carrés et voir si on peut obtenir un nouveau carré. Pour faire cela, on procède comme sur le schéma suivant:

Le carré de côté n est le carré rouge. On ajoute n petits carrés à droite (en bleu), n petits carrés en haut (aussi en bleu), et un petit carré blanc; on a donc ajouté n+n+1=2n+1 nouveaux petits carrés, et on obtient un grand carré de côté n+1.

Le grand carré est donc la somme de tous les entiers impairs de 1 à 2n+1. Et il est composé de (n+1)^2. Cela prouve bien notre propriété.

Publicités
Cet article a été publié dans Arithmétique. Ajoutez ce permalien à vos favoris.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s