Top 10 des nombres irrationnels

Dans un récent article du blog "division by zero", l’auteur nous a fait part de son top 10 des nombres transcendants. Rappelons qu’un nombre transcendant est un nombre qui n’est racine d’aucun polynôme à coefficients dans Q, l’ensemble des nombres rationnels.

Sur le même principe, j’aimerais proposer un top 10 des nombres irrationnels. Rappelons qu’un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Le fait qu’il existe des nombres irrationnels est connu depuis l’Antiquité.

(Notons aussi qu’un nombre transcendant est nécéssairement irrationnel mais qu’il existe des nombres irrationnels qui ne sont pas transcendants.)

  1. \sqrt{2} : sans doute le nombre irrationnel le plus connu et le plus célèbre. De même, on sait que pour tout nombre premier p, \sqrt{p} est irrationnel.
  2. Le nombre d’or \varphi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}: c’est une conséquence du premier point que ce nombre est irrationnel. En effet, si \varphi était rationnel, alors on aurait \varphi = \frac{p}{q} c’est-à-dire \sqrt{5}=\frac{2p-q}{q}, ce qui est absurde puisque \sqrt{5} est irrationnel.
  3. e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}: la constante d’Euler est un nombre irrationnel (et même transcendant), ce que prouva Euler en 1739. Ajoutons que e^r est aussi irrationnel si r est un nombre rationnel non nul.
  4. \pi: la constante la plus connue du monde des mathématiques est irrationnelle elle aussi, et cela a été prouvé pour la première fois au 18ème siècle.
  5. \zeta(3)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} : la constante d’Apéry. Le fait que ce nombre soit irrationnel n’est connu que depuis récemment, lorsqu’en 1979, Apéry en donna la première démonstration. On ne sait cependant toujours pas si ce nombre est transcendant ou non.
  6. \pi + e^{\pi}: irrationnalité prouvée par Nesterenko en 1996.
  7. log_n(m) où n et m sont deux entiers naturels tels que l’un possède un facteur premier que l’autre ne possède pas (facile à prouver: voir cet autre article à ce sujet).
  8. La constante d’Erdös-Borwein \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n - 1}: prouvé en 1948 par le (génial) Erdös.
  9. Si \sigma(n) représente la somme des diviseurs de l’entier n alors la série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sigma(n)}{n!} est irrationnelle.
  10. Last but not least: \sqrt{2}^{\sqrt{2}} est irrationnel. Cependant, puisque (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=2, on voit donc qu’un nombre irrationnel puissance un autre nombre irrationnel n’est pas nécessairement un nombre irrationnel.

Notons que l’irrationnalité des nombres 2^e, \pi^e et \pi^{\sqrt{2}} n’a toujours pas été établie.

Voir: http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html et http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/irrationality.html

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5 réponses à Top 10 des nombres irrationnels

  1. Abréviations R, N, Q, I, etc des ensembles de nombres.

    Sais-tu si l’ENSEMBLE des irrationnels a également une abréviation?

  2. Anonyme dit :

    Curieux, un exercice apparemment fréquent est de montrer qu’il existe deux irrationnels a et b tels que a^b soit rationnel, en utilisant √2^√2. Dans sa correction, on distingue deux cas selon la rationalité ou non de √2^√2, donc on fait comme si son irrationalité n’était pas connue.

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,743399,743819

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