L’horloge de Berlin

- T’as vu la nouvelle horloge que je me suis achetée ?
– Nan, fais voir !
– Tiens, regarde:
deja_10h31.
– Trop cool !
– Mince, il est déjà 10h31, je suis en retard !

Fin de l’histoire. Ok, là vous allez dire que cette histoire n’a aucun sens. Et je ne pourrai que vous donner raison SAUF pour l’horloge. Il existe bel et bien une horloge comme sur le dessin et qui donne vraiment l’heure ! On peut la trouver à Berlin. La voici:

Pour l’anecdote, cette horloge a été inventée par un certain Dieter Binninger et elle fût installée pour la première fois en 1975 à Berlin.

Comme vous avez pu le constater, elle indique l’heure de manière plutôt étrange… Je vous propose d’essayer de comprendre son fonctionnement.

Explication du fonctionnement de l’horloge

Contrairement aux premières impressions, le principe  de cette horloge n’a rien de bien sorcier. L’idée est la suivante: chaque lampe allumée indique qu’une certaine durée de temps s’est écoulée. Plus précisément:

  • Chaque lumière de la première ligne représente 5 heures.
  • Chaque lumière de la deuxième ligne représente 1 heure.
  • Chaque lumière de la troisième ligne représente 5 minutes. (les lumières rouges indiquent les quarts d’heure)
  • Chaque lumière de la dernière ligne représente 1 minute.

Par exemple, quelle heure  indique l’horloge suivante ?quelle_heure_est_ilEh oui, il s’agit bien de 13h37 ! En effet:

  • deux lumières sont allumées dans la première ligne, donc cela donne 2x5h = 10h;
  • trois lumières sont allumées dans la deuxième ligne, ce qui donne 3x1h = 3h;
  • sept lumières sont allumées dans la troisième ligne, ce qui donne 7x5mn = 35mn;
  • deux lampes sont allumées dans la dernière ligne, ce qui donne 2x1mn = 2mn.

Il suffit ensuite d’additionner le tout: 10h + 3h + 35mn + 2mn = 13h et 37mn !

Mais pourquoi cette horloge est une vraie horloge ?

A priori, rien ne dit que chaque temps de la journée peut être représenté à l’aide de cette horloge (existence), ni même que chaque configuration de l’horloge ne peut représenter deux heures distinctes (unicité).

Nous allons donc prouver mathématiquement que c’est bien le cas et, pour cela, nous allons commencer par tout convertir en minutes. Comme vous le savez, dans une journée il y a 24 heures, ce qui fait 1440 minutes. Ainsi,

  • Chaque lumière de la première ligne indique que 5×60 = 300 mn se sont écoulées.
  • Chaque lumière de la deuxième ligne indique que 1×60 = 60 mn se sont écoulées.
  • Chaque lumière de la troisième ligne indique que 5 mn se sont écoulées.
  • Chaque lumière de la dernière ligne indique qu’1 mn s’est écoulée.

D’autre part, chaque temps de la journée, si on l’exprime en minutes écoulées depuis minuit, est représenté par un nombre entier compris entre 0 et 1440. Par exemple, 2h34 = 94 mn après minuit et 20h10 = 1210 minutes après minuit.

L’horloge de Berlin marche grâce à la proposition suivante:

Tout nombre entier N compris entre 0 et 1440 s’écrit de manière unique sous la forme:

N = c_1 \times 300 + c_2 \times 60 + c_3 \times 5 + c_4 \times 1

c_1, c_2 et c_4 sont des entiers compris entre 0 et 4 (inclus), et où c_3 est un entier compris entre 0 et 11 (inclus).

Le nombre c_1 donnera le nombre de lumières allumées dans la première ligne, le nombre c_2 le nombre de lumières allumées dans la deuxième ligne, etc.

Cette horloge représente 12h34. En effet, 12h34 = 754 mn = 2x300mn + 2x60mn + 6x5mn + 4x1mn

Cette horloge représente 12h34. En effet, 12h34 = 754 mn = 2x300mn + 2x60mn + 6x5mn + 4x1mn

Nous allons donc démontrer cette proposition pour voir que l’horloge de Berlin permet bien d’indiquer chaque moment de la journée. Vous allez le voir, la démonstration est similaire à celle qui donne l’existence et l’unicité de l’écriture d’un entier en base b.

Existence

Soit N est un entier avec 0 \leqslant N \leqslant 1440.

1ère étape: On effectue la division euclidienne de N par 300. On sait qu’il existe donc deux entiers c_1 et r_1 tels que:

N = c_1 \times 300 + r_1 \text{ avec } 0 \leqslant r_1 <300

Il reste à voir que c_1 est bien un nombre compris entre 0 et 4 inclus. Or, d’après la relation précédente, c_1 = \dfrac{N-r_1}{300}. Mais:

0 \leqslant N \leqslant 1440 \Rightarrow -300 < N-r_1 \leqslant 1440

donc

-1 < \dfrac{N-r_1}{300} \leqslant \dfrac{1440}{330} \simeq 4,8

Comme c_1 est entier, nous voyons ainsi que 0 \leqslant c_1 \leqslant 4.

2ème étape: On procède de manière similaire, et on effectue la division euclidienne du nombre r_1 précédent par 60. Il existe donc deux entiers c_1 et r_1 tels que

r_1 = c_2 \times 60 + r_2 \text{ avec } 0 \leqslant r_2 < 60

De la même manière qu’à la première étape, on va utiliser le fait que c_2 = \dfrac{r_1-r_2}{60} pour montrer que c_2 est un entier compris entre 0 et 4. Or, 0 \leqslant r_1 < 300 et 0 \leqslant r_2 <60 donc:

-1 < \dfrac{r_1 - r_2}{60} < \dfrac{300}{60}=5

Nous voyons ainsi que 0 \leqslant c_2 \leqslant 4. D’autre part,

N = c_1 \times 300 + r_1 = c_1 \times 300 + c_2 \times 60 + r_2.

 Vous voyez qu’en continuant ainsi les divisions euclidiennes successives, on arrivera à la propriété voulue…

3ème étape: On effectue la division euclidienne de r_2 par 5. Il existe donc deux entiers c_3 et r_3 tels que:

r_2 = c_3 \times 5 + r_3 \text{ avec } 0 \leqslant r_3 < 5

Cette fois-ci, nous allons voir que c_3 est compris entre 0 et 11 (inclus). En effet, on a c_3 = \dfrac{r_2 - r_3}{5} et comme 0 \leqslant r_2 < 60:

\dfrac{-5}{5} < \dfrac{r_2 - r_3}{5} < \dfrac{60}{5} =12

donc 0 \leqslant c_3 \leqslant 11. De plus,

N = c_1 \times 300 + c_2 \times 60 + r_2 = c_1 \times 300 + c_2 \times 60 + c_3 \times 5 + r_3

4ème étape: Pour finir, va-t-on faire la division euclidienne de r_3 par 1 ? Non ! (car faut pas déconner non plus, se lancer dans une division par 1 n’a rien de bien passionnant…). On va tout simplement poser c_4 = r_3 et comme on a vu que r_3 <5, on  a donc immédiatement 0 \leqslant c_3 \leqslant 4, ainsi que la relation

N = c_1 \times 300 + c_2 \times 60 + c_3 \times 5 + c_3 \times 1

Exemple en pratique: La preuve précédente nous donne évidemment un algorithme de décomposition pratique, et voici par exemple comment on a décomposé 12h34 = 754 mn:

754 = 2×300 + 154 = 2×300 + 2×60 + 34 = 2×300 + 2×60 + 6×5 + 4

Unicité

Pour l’unicité, nous allons supposer que N se décompose de deux façons différentes:

N= c_1 \times 300 + c_2 \times 60 + c_3 \times 5 + c_4 = c'_1 \times 300 + c'_2 \times 60 + c'_3 \times 5 + c'_4

ce qui, en faisant passer certains termes de l’autre côté, nous donne l’égalité :

(c_1 - c'_1)\times 300 + (c_2 - c'_2) \times 60 + (c_3 - c'3) \times 5 = c'_4 - c_4

d’où:

[(c_1 - c'_1)\times 60 + (c_2 - c'_2) \times 12 + (c_3 - c'3) ] \times 5 = c'_4 - c_4 (*)

Cela montre que l’entier c'_4 - c_4 est un multiple de 5. Mais, comme les nombres c_4 et c'_4 sont compris entre 0 et 4 inclus, on a aussi les inégalités suivantes: -4 \leqslant c'_4 - c_4 \leqslant 4. Vous en connaissez beaucoup des multiples de 5 compris entre -4 et 4 ? Il n’y en a pas énormément… Pour ne rien vous cacher, le seul est 0 ! Cela veut donc dire que c'_4 - c_4 = 0 et donc c'_4 = c_4.

L’égalité (*) devient alors:

[(c_1 - c'_1)\times 60 + (c_2 - c'_2) \times 12 + (c_3 - c'3) ] \times 5 = 0

et donc:

(c_1 - c'_1) \times 60 + (c_2 - c'_2) \times 12= c'_3 - c_3

Et là, rebelote, on suit le même raisonnement que précédemment, en commençant par factoriser:

[(c_1 - c'_1) \times 5 + (c_2 - c'_2) ] \times 12 = c'_3 - c_3 (**)

Et donc, c'_3 - c_3 est un multiple de 12, mais comme 0 \leqslant c_3 , c'_3 \leqslant 11, on en déduit que -11 \leqslant c'_3 - c_3 \leqslant 11. Puisque le seul multiple de 12 compris entre -11 et 11 est 0, on a donc bien c'_3 = c_3 !

On reprend ensuite l’équation (**), qui devient:

[(c_1 - c'_1) \times 5 + (c_2 - c'_2) ] \times 12 = 0

d’où:

(c_1 - c'_1) \times 5 = c'_2 - c_2 (***)

Bon, je pense qu’au bout de la troisième fois vous commencez à comprendre l’idée: c'_2 - c_2 est un multiple de 5 qui vérifie -4 \leqslant c'_2 - c_2 \leqslant 4, ce qui donne donc c'_2 = c_2. Et l’égalité (***) devient alors c_1 - c'_1 = 0 d’où c_1 = c'_1.

Voilà pour l’unicité. Joli, non ?

Votre propre horloge de Berlin !

J’ai écrit un programme qui affiche l’heure (en temps réel) comme l’horloge de Berlin. Voici une capture d’écran:

programme_horloge_de_BerlinCe programme a été écrit en Python, et s’il vous intéresse, le code est disponible dans le lien suivant: http://pastebin.com/6DCR9WQM

Note:

Une des raisons pour lesquelles nous avons pu faire cette décomposition est le fait que 1mn divise 5 mn, qui elles-mêmes divisent 60mn, qui elles-mêmes divisent 300mn.  Pour ceux qui aiment les horloges exotiques, voici un article sur Arxiv (lien direct vers le pdf) qui reprend cette idée, avec 1mn, 6mn, 30mn, 2h=120mn et 6h=360mn, pour créer une horloge triangulaire, dont voici quelques beaux exemples:

Horloge_triangulaire

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Full contact – Episode II

Dans l’article précédent, nous avons vu un problème de contact dont le but était de construire un cercle à la fois tangent à une droite et un cercle donnés. Je vous propose un deuxième problème de contact, où, cette fois-ci, le but n’est pas la construction d’un cercle mais le calcul de son rayon.

Le problème que je vais vous proposer ci-dessous est un sangaku. Les sangakus étaient des problèmes géométriques d’origine japonaise, qui étaient gravés sur des tablettes en bois et accrochés dans les temples. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter la page Wikipédia à ce sujet.

Le problème ! Le problème !

Voici sans plus attendre l’énigme à résoudre avec ce sangaku:

 Soit \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 deux cercles tangents, et d une droite tangente à ces deux cercles. On admet qu’il est possible de construire un troisième cercle qui est à la fois tangent aux cercles et à la droite. Question: si on connaît les rayons r_1 et r_2 des deux premiers cercles, que vaut le rayon r_3 du troisième cercle ?

Full_contact_II_sangaku_

Résolution

La résolution de ce problème utilisera la petite formule que nous avions démontrée dans l’ article précédent (Full contact – Episode I) (que je vous conseille d’aller lire !). Pour rappel, voici ce que nous avions démontré:

Full_contact_II_rappelSi on revient à notre sangaku, on peut appliquer notre formule trois fois:

Full_contact_II_sangaku_notations

  • \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 sont tangents donc: AB^2 = 4 r_1 r_2
  • \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_3 sont tangents donc: AC^2 = 4 r_1 r_3
  • \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 sont tangents donc: CB^2 = 4 r_2 r_3

D’autre part, comme les points A, B et C sont alignés, on a l’égalité AB = AC + CB et en élevant cette relation au carré, on a

AB^2 = AC^2 + 2 AC \times CB + CB^2

On remplace chaque distance par l’expression que nous avons vue ci-dessus:

4 r_1 r_2 = 4 r_1 r_3 + 2 \sqrt{4 r_1 r_3} \sqrt{4 r_2 r_3} + 4 r_2 r_3

c’est-à-dire:

4 r_1 r_2 = 4r_1r_3 + 8 r_3 \sqrt{r_1 r_2} + 4 r_2 r_3

Il reste à isoler r_3. En factorisant, on a:

4 r_1 r_2 = 4 r_3 ( r_1 + 2 \sqrt{r_1} \sqrt{r_2} + r_2)

Ce ne serait pas une petite identité remarquable, là ? Mais oui !

4 r_1 r_2 = 4 r_3 (\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2

Et on obtient:

\boxed{ r_3 = \dfrac{r_1 r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2} }

On pourrait s’arrêter là mais on peut mettre cette formule sous une autre forme que je trouve plus élégante. Commençons par prendre l’inverse de l’égalité précédente:

\dfrac{1}{r_3} = \dfrac{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2}{r_1 r_2}

Puis prenons la racine carrée dans les deux membres:

\dfrac{1}{\sqrt{r_3}} = \dfrac{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1}\sqrt{r_2}}

ce qui donne la belle formule:

\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{r_3}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}}

Cette formule fait penser à la formule obtenue en physique quand on met des résistances en parallèles !

Et la construction alors ?

Il est possible de construire le troisième cercle tangent à la règle et au compas, mais bien que la construction en elle-même ne soit pas trop dure, la justification est un peu plus subtile et je me suis donc bien gardé d’en parler dans cet article. Mais pour les gens intéressés, l’idée de la construction peut être vue ici… (attention, c’est en Anglais !).

Pour finir, des coordonnées

Pour terminer cet article, donnons un reformulation en termes de coordonnées qui peut être utile. On suppose qu’on s’est donné un repère et que la tangente commune aux cercles est l’axe des abscisses:

Full_contact_II_coordonneesOn suppose que les coordonnées des centres des deux premiers cercles sont connues. Quelles sont les coordonnées du centre du troisième cercle ? Nous voyons tout d’abord que son ordonnée est son rayon r_3= \frac{r_1 r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2}. Quant à son abscisse, il suffit de déterminer la distance AC pour la trouver. Or, si on réutilise les différentes formules vues précédemment, on  a AC = 2\sqrt{r_1 r_3}, donc AC =2 \sqrt{r_1} \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}=2r_1 \frac{\sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}

Ainsi, les coordonnées du troisième cercle tangent sont:

(x_1 + 2r_1 \dfrac{\sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}} ;\dfrac{r_1 r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} )^2})

 

Au final, ce n’était pas un problème si simple que cela, il y avait pas mal de boulot. Ils ne se foutaient pas de la gueule des gens quand ils posaient des sangakus à l’époque !

Note:

Pour l’anecdote, ce sangaku-ci (coup ça) fut posé en 1824 sur une tablette dans les environs de la préfecture de Gunma au centre du Japon (source).

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Full contact – Episode I

Un petit problème géométrique, ça vous dit ?

Soit \mathcal{C} un cercle et d une tangente à ce cercle en un point A du cercle. Soit B un autre point de la droite d. Comment construire le cercle \mathcal{C}' qui est à la fois tangent à la droite d au point B et au cercle \mathcal{C} ?

Vous pouvez méditer sur le schéma illustrant ce problème ci-dessous: Probleme_Full_contact_I

Prenez une feuille, une règle et un compas, ou bien utilisez Geogebra, et constatez par vous-même que le tracé de ce cercle n’est pas évident, même en tâtonnant. D’ailleurs, rien ne dit que ce cercle existe a priori, même si notre intuition géométrique ne laisse aucun doute quant à cet existence !

Double contact

Il s’agit ici de ce qu’on appelle un problème de contact, c’est-à-dire un problème où le but est de construire un cercle qui soit tangent à un (des) cercle(s) et/ou une (des) droite(s) donné(s). Ce problème que nous allons traiter n’est pas extrêmement ardu mais n’est pas non plus complètement évident.

J’ai cru entendre que la part de la géométrie dans l’enseignement secondaire est en net recul et que les problèmes de géométrie pure n’ont plus vraiment leur place dans les programmes de nos chers élèves (au détriment de la géométrie analytique, plus calculatoire donc demandant moins de réflexion…). Je me souviens pourtant que, quand j’étais élève en Seconde, notre professeur, qui était plutôt de la vieille école, aimait nous poser des exercices de géométrie du même type que celui que nous allons résoudre.

La démarche qu’il nous imposait de suivre était le schéma "Analyse/Synthèse". Dans l’analyse, nous cherchions les conditions nécessaires à l’existence du point/de la droite/du cercle demandé. Dans la synthèse, nous montrions que la condition est suffisante pour avoir l’existence de l’objet géométrique cherché. Je vous propose ici de suivre cette démarche, en espérant qu’elle puisse faire comprendre toute la beauté du raisonnement géométrique à mes lecteurs !

Mise au point sur les tangentes

Avant de procéder à notre étude, il serait bon de rappeler ce que signifie cette notion de tangence. Il y a plusieurs définitions équivalentes, mais la définition la plus intuitive est la suivante:

Définition: Deux cercles (ou un cercle et une droite) sont tangents si leur intersection est réduite à un seul point.

Et on peut démontrer la propriété suivante:

Propriété 1: Deux cercles sont tangents (extérieurement) si, et seulement si, la distance entre les centres de ces cercles est égale à la somme des deux rayons.

Full_contact_I_propriete_1

ainsi que la deuxième propriété qui suit (dont je suis sûr qu’on la voit au collège):

Propriété 2: Un cercle de centre \Omega et de rayon r' et une droite d sont tangents en un point B si, et seulement si,
a) (\Omega B) \perp d
b) \Omega B = r'Full_contact_I_propriete_2

Cette mise au point étant faite, nous pouvons y aller !

I) Analyse

Dans cette partie, on va supposer que le cercle à construire existe et voir quelles conditions son centre et son rayon vérifient. Nous allons mettre en place quelques notations: on note O le centre du cercle \mathcal{C} et \Omega le centre du cercle \mathcal{C}' que l’on cherche. On notera aussi r et r' les rayons de \mathcal{C} et \mathcal{C}'.

La difficulté dans l’analyse est de ne pas confondre les objets fixes (les hypothèses de l’énoncé) et les objets qu’on cherche à déterminer et dont on ne sait pas où ils se trouvent a priori. Pour faire cette distinction sur nos schémas, nous représenteront en noir les objet fixes et en rouge les objets à trouver:

Full_contact_I_analyse_1

Si le cercle \mathcal{C}' existe alors, puisqu’il est tangent à la droite d, on sait que les droites (\Omega B) et d sont perpendiculaires. Dit autrement, \Omega appartient à la droite perpendiculaire à d passant par B (on note d' cette droite):

Full_contact_I_analyse_2La perpendiculaire d' est représentée en noir car elle ne dépend que de B et de d, donc est fixe ! Cela nous fait donc un premier objet fixe sur lequel on est sûr que se situe \Omega. Il s’agit alors de savoir à quel niveau de cette perpendiculaire d' se situe ce point. Pour déterminer cela, il va falloir utiliser la deuxième hypothèse de l’énoncé, à savoir le fait que \mathcal{C} et \mathcal{C}' sont tangents:

Full_contact_I_analyse_3Le fait que ces cercles soient tangents se traduit par la condition O\Omega = r + r'. Si on reformule cela (et c’est là toute l’astuce !), cela signifie que le point O appartient au cercle de centre \Omega et de rayon r+r'.

Full_contact_I_analyse_4Si on note C le point d’intersection de ce cercle avec la perpendiculaire d', on remarque que ce point se situe à une distance r du point B et donc que le point C ne dépend ni de \Omega, ni de r' et est donc fixe ! A partir de là, on constate que le point \Omega est situé à la même distance de deux points entièrement connus, à savoir O et C et donc \Omega se situe sur le médiatrice de [OC] (noté \Delta sur le schéma).

Full_contact_I_analyse_5Nous voyons ainsi que pour construire \Omega, il suffit de prendre le point d’intersection de la droite d avec la médiatrice \Delta de [OC]. Peut-on faire plus simple ?  En fait, cette construction est si simple qu’elle a été présentée dans l’épisode n°164 des Télétubbies.

Non, ce n’est pas vrai, inutile de chercher cet épisode sur Youtube !

II) Synthèse

Il faut vérifier réciproquement que le point d’intersection de la médiatrice \Delta de [OC] avec la perpendiculaire à d passant par B est bien le centre d’un cercle qui est à la fois tangent à \mathcal{C} et à la droite d. On considère le cercle \mathcal{C} de centre \Omega et de rayon r':=\Omega B.

  • Ce cercle est tangent à d. En effet, comme \Omega appartient à la perpendiculaire d alors (\Omega B) \perp d. De plus, \Omega B= r' et donc la propriété 2 nous permet d’affirmer que la droite et le cercle sont tangents.
  • Ce cercle est aussi tangent à \mathcal{C}. Pour montrer cela, d’après la propriété 1, il suffit de montrer que O \Omega = r +r'. Mais comme \Omega est situé sur la médiatrice de [OC], O \Omega = OC. Et comme \Omega, B et C sont alignés, on a donc \Omega C = OB + BC = r' + r !

Résumé de la construction

Voici ce qu’il faut retenir de notre étude précédente si, à partir d’un cercle \mathcal{C} de rayon r, tangent à une droite d, vous souhaitez construire à la règle et au compas le cercle \mathcal{C}' qui est à la fois tangent à \mathcal{C} et à la droite d en un point B donné:

  1.  Tracez la perpendiculaire à d passant par B.
  2. Placez sur cette perpendiculaire le point C, situé à une distance égale à r de B (de l’autre côté que le cercle).
  3. Tracez la médiatrice de [OC]. On appelle \Omega l’intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire.
  4. Tracez le cercle de centre \Omega et de rayon \Omega B.
Fun fact: j'en ai chié pour faire cette animation

Fun fact: j’en ai chié pour faire cette animation.

Bonus: valeur du rayon !

La question subsidiaire que l’on pourrait poser ici est: quelle est la valeur du rayon r' ? Eh bien nous allons la déterminer bravement, ce qui nous donnera encore une fois une jolie formule. Full_contact_I_calcul_rayonComme vous le voyez sur le schéma, il n’y a pas besoin de plus que le théorème de Pythagore. En effet, nous voyons sur la figure que:

(r+r')^2 = (r-r')^2 + AB^2

donc

r^2 + 2rr' + r'^2 = r^2 - 2rr' + r'^2 + AB^2

et après simplification et regroupement des termes,

4 rr' = AB^2

d’où

\boxed{ r' = \dfrac{AB^2}{4r} }

 

Je ne sais pas vous mais moi je trouve qu’on lui a quand même bien réglé son compte à ce problème !

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Le théorème de Niven

Vous vous souvenez sans doute tous de ce fameux tableau des valeurs remarquables du cosinus, vu en classe de 3ème ou de Seconde:

valeurs_remarquables_du_cosinusSans doute vous rappelez-vous que, la première fois que vous avez vu ce tableau, toutes les valeurs du cosinus paraissaient très étranges – ces racines carrées sorties de nulle part – et que seules les valeurs 0, \frac{1}{2} et 1  étaient faciles à retenir (et à visualiser sur le cercle trigonométrique).

Si vous aviez eu un professeur sadique, peut-être vous a-t-il donné un tableau encore plus complet, avec encore plus de valeurs remarquables comme ci-dessous:valeurs_remarquables_du_cosinus_version_dingue

Et vous auriez vu qu’il n’y a toujours pas de valeur simple du cosinus hormis les fameux 0, \frac{1}{2} et 1. En fait, ce n’est pas votre professeur qui était sadique mais la fonction cosinus elle-même car, selon un théorème dû au mathématicien Ivan Niven, on pourrait continuer ce tableau indéfiniment en mettant encore plus d’angles \theta mais il n’y aura toujours que trois valeurs simples du cosinus: 0, \frac{1}{2} et 1 (qui correspondent respectivement aux angles \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3} et 0).

Dans cet article, nous allons tout simplement prouver cette propriété. Car en plus d’être un résultat surprenant, la démonstration de ce théorème est juste magnifique ! Quand je vous dis que les mathématiques, c’est de l’art…

Enoncé rigoureux du théorème de Niven

Il faut tout d’abord s’entendre sur ce qu’on entend par une valeur simple du cosinus. Ici, nous dirons que le cosinus a une valeur simple quand le cosinus est un nombre rationnel c’est-à-dire une fraction de deux entiers. Rappelons que l’ensemble des nombres rationnels se note \mathbb{Q}.

Il faut aussi s’entendre sur quels angles \theta on place dans le tableau des valeurs remarquables: ce seront les angles qui sont des multiples fractionnaires de \pi, c’est-à-dire les angles \theta de la forme \dfrac{a}{b}\pia et b sont des entiers. Par exemple, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{7}, \dfrac{4\pi}{13}

Voici donc l’énoncé du magnifique théorème de Niven (j’en tremble):

barreThéorème: Soit \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] un angle de la forme \theta = \dfrac{a}{b} \pi (avec a,b \in \mathbb{N}, b\neq 0).  Alors:

Si \cos\left( \theta \right) \in \mathbb{Q} alors \cos(\theta) = 0 , \dfrac{1}{2} \text{ ou } 1

(ce qui correspond donc respectivement à \theta = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{3} \text{ ou } 0).

 

Thm_de_Niven_figure

Dit autrement, le théorème de Niven dit que les seuls angles de la forme \frac{a \pi}{b} pour lesquels le cosinus (double flèches bleues sur la figure ci-dessous) est un nombre rationnel sont les angles 0, \frac{\pi}{3} et \frac{\pi}{2}

Aller, en route vers cette démonstration que je trouve si jolie car si simple ! (pour dire, je pense qu’elle est accessible à un élève de Terminale).

Nous allons décomposer cette démonstration en 3 lemmes dans lesquels nous utiliserons utilement la notion de polynômes à coefficients entiers. Qui l’eut crû ? Utiliser des polynômes pour un problème sur le cosinus…

Lemme n°1: une belle identité trigonométrique

barrelemme: Pour tout entier naturel n, et pour tout réel x

\boxed{\cos((n+1)x)= 2 \cos(nx)\cos(x) - \cos((n-1)x)}

 

Je reconnais que ce n’est pas une formule de trigo qu’on a l’habitude de voir, mais elle est sympa quand même.

Démonstration: On connaît la formule classique suivante:

\cos(A)+\cos(B) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})

qui est bien entendu équivalente à:

\cos(A) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})-\cos(B)

En posant A=(n+1)x et B=(n-1)x, on a donc

\cos((n+1)x) = 2 \cos(\frac{(n+1)x+(n-1)x}{2}) \cos(\frac{(n+1)x-(n-1)x}{2}) - \cos((n-1)x)

ce qui après simplification donne bien:

\cos((n+1)x) = 2 \cos(nx)\cos(x) - \cos((n-1)x)

  Lemme n°2: des "presque" polynômes de Tchebichev

A l’aide du lemme précédent et d’un raisonnement par récurrence, nous allons montrer que:

barrelemme: Pour tout entier naturel n, il existe un polynôme unitaire T_n de degré n dont les coefficients sont des nombres entiers et tel que:

\forall x \in \mathbb{R}, \,\, T_n\left(2\cos(x)\right)=2\cos(nx)

Rappelons qu’un polynôme unitaire est un polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1. Par exemple, X^2 +1 est unitaire, mais 5X^4 -3X + 1 ne l’est pas.

Démonstration:

■ Si n=1 alors on voit immédiatement que le polynôme T_1(x)=x convient.

■ Soit n est un entier naturel non nul quelconque. On suppose que pour tout entier naturel non nul k \leq n, on ait déjà construit un polynôme T_k vérifiant les conditions énoncées dans le lemme (on fait ici ce qu’on appelle une récurrence forte). Il s’agit alors de montrer l’existence d’un polynôme T_{n+1} unitaire à coefficients entier de degré n+1 tel que T_{n+1}(2\cos(x))=2\cos((n+1)x). On distingue deux cas:

a) si n+1=2 alors il suffit de prendre T_{n+1}(x)=T_2(x)=x^2-2 car

(2\cos(x))^2 - 2= 4 \cos^2(x) - 2 =4 (\frac{1+\cos(2x)}{2}) -2 = 2\cos(2x)

(On a utilisé ici la formule dite de réduction du carré).

b) si n+1>2, alors d’après le lemme précédent, on sait que :

\cos((n+1)x) = 2 \cos(nx)\cos(x) - \cos((n-1)x)

Donc, en multipliant le tout par 2, on a:

2\cos((n+1)x) = 2\cos(nx) 2\cos(x) - 2\cos((n-1)x)

Ainsi, la condition T_{n+1}(2\cos(x)) = 2\cos((n+1)x) est équivalente à

T_{n+1}(2\cos(x)) = 2 \cos(nx) 2\cos(x) - 2\cos((n-1)x)

et donc par hypothèse de récurrence, elle est encore équivalente à:

T_{n+1}(2\cos(x))=2\cos(x) T_n(2\cos(x)) - T_{n-1}(2\cos(x))

Cela incite donc à poser:

\boxed{T_{n+1}(x)= x T_n(x) - T_{n-1}(x)}

et on voit de suite dans ce cas que T_{n+1} est de degré n+1 et à coefficients entiers. CQFD.

Remarque: Comme le nombre n-1 apparaît à un moment donné, pour pouvoir utiliser l’hypothèse de récurrence il fallait s’assurer que n-1\geq 1 c’est-à-dire n+1 \geq 3. C’est pour cela que nous avons traité le cas n+1=2 à part.

Lemme n°3: racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers

Ce dernier lemme sera utile pour utiliser les polynômes T_n qu’on vient de déterminer.

barrelemme: Si P est un polynôme unitaire à coefficients entiers et s’il possède une racine qui est un nombre rationnel alors ce nombre est nécessairement entier.

Démonstration: Soit P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0 (où les a_i sont des nombres entiers) un polynôme unitaire de degré n (qu’on peut supposer strictement supérieur à 1 sinon le lemme est évident. Pourquoi ?) et soit \frac{p}{q} une racine de P (on peut toujours supposer p et q premiers entre eux). Alors P(\frac{p}{q})=0, ce qui nous donne:

(\frac{p}{q})^n + a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1} + \cdots + a_1 (\frac{p}{q}) + a_0=0

En multipliant les deux membres par q^n, on a:

p^n + a_{n-1}qp^{n-1} + \cdots + a_1 q^{n-1}p + a_0q^n=0

donc:

p^n = q( a_{n-1}p^{n-1} + \cdots + a_1 q^{n-2}p + a_0q^{n-1})

donc q divise p^n, mais comme q est premier avec p, cela n’est possible que si q=\pm 1 ! Donc, le nombre \frac{p}{q} est bien un nombre entier.

Le bouquet final

Nous sommes maintenant parés pour démontrer le théorème de Niven. Soit \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] un angle de la forme \theta = \dfrac{a}{b}\pi (a, b entiers). Quitte à multiplier le quotient \dfrac{a}{b} par 2 au numérateur et au dénominateur, on peut toujours supposer que \theta est de la forme \dfrac{2k}{m}\pi (par exemple, \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}). Cette forme sera très utile comme vous allez le voir…

Nous savons qu’il existe un polynôme T_m unitaire à coefficients entiers tel que:

\forall x, T_m (2\cos(x) ) = 2 \cos(mx)

En particulier, si x=\theta=\frac{2k}{m}\pi alors

T_m(2\cos(\theta))=2\cos(m \frac{2k}{m}\pi)

et là, hormis Steevie Wonder, tout le monde voit la simplification arriver à des kilomètres:

T_m(2\cos(\theta))= 2\cos(2k\pi) = 2

 Le nombre 2\cos(\theta) est donc racine du polynôme unitaire à coefficients entiers P = T_m(x) - 2. Donc, si on suppose que \cos(\theta) est un nombre rationnel, alors 2\cos(\theta) est un nombre rationnel qui est racine d’un polynôme unitaire à coefficients entiers. D’après le lemme 3, il s’ensuit que 2\cos(\theta) est nécessairement un nombre entier.

Mais, on sait aussi que si \theta \in [0; \frac{\pi}{2}] alors 0 \leqslant \cos(\theta) \leqslant 1 et donc 0 \leqslant 2 \cos(\theta) \leqslant 2. Ainsi, 2\cos(\theta) est un nombre entier compris entre 0 et 2 d’où:

2 \cos(\theta) = 0, 1, \text{ ou } 2

et donc les seules valeurs simples possibles pour le cosinus sont:

\cos(\theta) = 0, \frac{1}{2} \text{ ou } 1 !

CQFD.

Je ne sais pas si je vous l’ai dit, mais je trouve cette démonstration magnifique.

Note:

La démonstration suivie ici s’inspire largement de celle postée sur ProofWiki qui elle-même s’inspire de la preuve donnée par un certain Olmsted.

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Tableau périodique des mathématiciens

Je me suis amusé à remplir le tableau périodique des éléments chimiques avec des noms de mathématiciens en suivant le principe suivant: pour chaque symbole chimique, j’ai placé le nom d’un mathématicien dont le nom correspond aux lettres de ce symbole. Par exemple, le symbole chimique du Gallium est Ga, ce qui fait penser à Gauss.

Ce ne fut pas simple de remplir toutes les cases, et il a parfois fallu faire des choix quand plusieurs noms de mathématiciens convenaient. J’ai essayé du plus possible de mettre le nom de mathématiciens célèbres et de grande importance (même si malgré tout certains sont peu connus, comme vous le verrez). J’ai aussi essayé de balayer la plus large période historique possible: cela va de mathématiciens de l’Antiquité jusqu’à des mathématiciens du XXème siècle. Bonus: en cliquant sur chaque case, vous atterrirez sur la page Wikipédia expliquant un théorème, un lemme ou une notion qui a été inventée ou qui porte le nom de ce mathématicien. Trêve de blablas, voici le tableau au format PDF (cliquez sur l’image pour ouvrir le fichier):

Tableau_periodique_des_mathematiciens_miniature

Note:

Rendons à César ce qui est à César: pour créer ce joli tableau périodique, je me suis inspiré du code posté par un certain dénommé Ivan Griffin.

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